Урок тригонометрии "Различные способы решения уравнения sinx + cosx = 1"

Разделы: Математика

Образовательные, развивающие и воспитательные цели урока:

  1. ликвидировать пробелы в знаниях и систематизировать умения и навыки по теме “Решение тригонометрических уравнений”;
  2. развивать математическую речь, логику рассуждений при применении знаний в указанной учителем ситуации;
  3. воспитывать умение слушать товарищей, корректность в ведении дискуссии, умение видеть красоту математических образов.

Техническая оснащенность урока: компьютеры.

План сдвоенного урока.

  1. Подготовка к работе.
  2. Математический диктант по проверке тригонометрических формул.
  3. Различные аналитические способы решения уравнения sin x + cos x = 1.
  4. Графические способы решения уравнения sin x + cos x = 1 (в компьютерном классе).
  5. Подведение итогов урока.

I. Повторение по теме “Уравнения”.

Вопросы для повторения.

  • Что называется уравнением?
  • Что означает решить уравнение?
  • Что называется корнем уравнения?
  • При каких операциях в ходе решения уравнения могут появиться посторонние корни?
  • А когда может произойти потеря корней?

II. Сообщение темы урока, знакомство с целями.

Урок посвящён способам решения уравнения sin x + cos x = 1.

III. Ход работы.

Учитель:

Я буду ставить перед вами задачу, определив способ решения, а вы будете именно этим способом решать данное уравнение, используя различные приёмы. Работать будете на листочках. Кто раньше решит, выйдет и приведёт своё решение на обороте доски (такую возможность будут иметь одновременно 4 ученика).

По окончанию работы и сдачи листочков на проверку класс обсудит приведённые на доске варианты решений. Затем начнётся следующий этап работы. Не забывайте каждый раз подписывать листочки.

Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1.

I способ. Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим два приёма:

Приём 1:

Разделим обе части уравнения на :

Приём 2:

Воспользуемся алгоритмом решения уравнений вида а sin x + b cos x = c.

применительно к уравнению sin x + cos x, имеем:

Подпишите листочки.

  1. Изложите на листочках алгоритм использования вспомогательного угла при решении уравнений вида a sin x + b cos x =0.
  2. Запишите формулу применения синуса дополнительного угла для выражения sin x + cos x.
  3. Теперь выразите sin x + cos x через косинус дополнительного угла.
  4. Кто раньше закончит работу, покажет свои варианты ответов на доске.

II способ. С помощью универсальной тригонометрической подстановки.

Запишите формулы универсальной подстановки для sin x, cos x . Кто первый закончит, покажет на доске.

(1)

Выводы: Обращение к функции tgx / 2 предполагает, что cosx / 2 0, т.е. x 2n, n Z.

При таком переходе возможна потеря решений, т.к. исходное уравнение имело смысл при всех значениях переменной х, в том числе и при x = + 2n, n Z.

Есть вероятность того, что они могут оказаться корнями исходного уравнения,

поэтому надо проверить, не являются ли значения x = + 2n, n Z решениями данного уравнения.

Проверка:

sin ( + 2n) + cos( + 2n) = 1

0 + ( - 1 ) = 1

-1 1.

Следовательно, x = + 2n, n Z.

Решением уравнения не является и переход к функции tgx / 2, в данном случае потери решения за собой не повлечёт. Итак, по формулам (1) из исходного уравнения sin x + cos x = 1, получаем:

III способ. Сведение к однородному уравнению.

Возможно, ли получить из данного уравнения однородное уравнение?

Надо перейти к аргументу x/2 и применить формулы половинного аргумента к функциям в левой и правой частях уравнения sin x + cos x = 1.

Написать на листочках формулы, которые при этом используются, и то однородное уравнение, которое получится. Получили однородное уравнение второй степени.

2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin2x/2 = sin2x/2 + cos2x/2 (2)

Подпишите листочки и решите данное однородное тригонометрическое уравнение второй степени

2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin2x/2 = sin2x/2 + cos2x/2,

2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin2x/2 - sin2x/2 - cos2x/2 = 0

sinx/2*cosx/2 - sin2x/2 = 0

Это уравнение можно решить, используя различные приёмы.

Приём 1.

Разделим обе части уравнения на cos 2 x/2, т.к. cos 2 x/2 0

Ответ: {2n; /2 + 2k}, где n, k Z

Приём 2.

Рассмотрим решение уравнения (2) способом разложения на множители:

sinx/2*cosx/2 - sin2x/2 = 0,

sinx/2*(cosx/2 - sinx/2) = 0,

a) sinx/2 = 0,

x = 2n, n Z;

b) cosx/2 – sinx/2 = 0

1 - tgx/2 = 0

x = /2 + 2k, k Z.

Ответ : {2n; /2 + 2k}, где n, k Z.

IV способ. Преобразование суммы в произведение.

Запишите формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Кто первый закончит работу, воспроизведёт её на доске. Используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, решить данное уравнение:

Приём 1.

а) Выразим cos x через sin(/2 – x):

О т в е т : {2n; /2 + 2k}, где n, k Z

Приём 2.

sin x + cos x = 1

б) Выразим sin x через cos (/2 – х):

V способ. Применение формул половинного и двойного аргумента.

Напишите формулы тригонометрических функций двойного аргумента и половинного аргумента.

Запишите: sin x + cos x = 1; sin x = 1- cos x,  приведите левую и правую части уравнения к аргументу х/2, используя формулы двойного и половинного угла, и решите получившееся уравнение.

2sinx/2 * cosx/2 = 2 sin2x/2 ,

sinx/2 * cosx/2 = sin2x/2 ,

a) ctgx/2 = 1,

x = /2 + 2k, k Z.

b) sinx/2 = 0,

x = 2n; n, Z

Ответ: {2n; /2 + 2k}, где n, k Z.

Или это уравнение можно решить делением обеих частей на cos2x/2.

VI способ. Возведение обеих частей уравнения в квадрат:

sin x + cos x = 1,

(sin x + cos x) 2 = 1,

2 sin x cos x + 1= 1,

2 sin x cos x = 0,

sin x cos x = 0,

При возведении в степень возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней, т.е. получается уравнение-следствие. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в квадрат чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.

При возведении в квадрат обеих частей уравнения sin x + cos x = 1, мы производим эту же операцию и с частями "теневого" уравнения (- sin x - cos x = 1), поскольку результат этих действий будет один и тот же.

Следовательно, по окончании решения, обязательно следует производить отбор корней.

1. Проверим корни вида x = j:

a)

Значит, значения x = 2k, k Z, являются решениями исходного уравнения.

b)

х= j , при j = 2k + 1, k Z.

следовательно, значения x = 2(k+1), где k Z, не являются решениями исходного уравнения.

2. Проверяем корни вида x = /2 + j, j Z:

а)

j = 2n : x = /2+ 2n, где n Z.

Значит, значения x = /2+ 2n, где n Z являются решениями исходного уравнения.

b)

x = /2 + 2(n+1); n Z.

следовательно, значения x = /2 + 2(n+1); n Z не являются решениями исходного уравнения.

Ответ : {2n; /2 + 2k}, где n, k Z.

VII способ. Замена cos x выражением :

Проверив результат, убеждаемся, что из серии x = k, k Z решением исходного уравнения являются только значения х вида: x = 2h, где h Z при k = 2h.

Ответ : {2h; /2 + 2n}, где n, h Z.

VIII способ. Графическое решение уравнения sin x + cos x = 1.

Предварительно проводится фронтальная беседа.

1. Что значит решить уравнение графически?

2. Как можно решить графически данное уравнение?

1. Построить в одной системе координат графики функций:

Абсциссы точек пересечения графиков функций и являются решением данного уравнения.

2. Построить график функции y = sin x+ cos x –1.

Абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс являются решением исходного уравнения.

3. Построение графиков на экране компьютера:

Прежде чем приступить к работе на компьютере, повторим элементы компьютерной грамотности, позволяющие построение графиков.

  1. Что такое масштаб применительно к ЭВМ?

    2. Масштаб – количество точек на экране, приходящееся на единицу значения.

  2. Что называется пикселем?

    3. Пиксель – наименьший объект графической среды, характеризующийся координатой Х и У (это точка на экране).

  3. С помощью какого оператора можно построить точку на экране?

    4. Pset (x, y), c).

  4. C помощью, какого оператора устанавливается новая система координат?

    5. Window (x1, y1) – (x2, y2).

  5. Рассказать о порядке построения линий осей координат на экране.

    6. Line (x, y) – (x2, y2), c

  6. Назовите операторы, которые обеспечивают надписи на осях координат.

    7. Locate x, y: PRINT "Y".

  7. Что собой представляет график на экране?

    8. Набор точек.

  8. Что обеспечивает развёртку графика по осям координат?

    9. Цикл.

Выполняем решение систем (1) на компьютере по соответствующим программам.

IV. Домашнее задание:

Решить различными способами уравнение sinx – cosx = 1 или любое другое уравнение.

V. Итог урока.