Цели урока. В ходе урока учащиеся смогут:
- проводить классификацию утверждений на истинные утверждения и ложные утверждения;
- анализировать предложенный текст;
- находить среди предложенных утверждений общие утверждения или утверждения типа "хотя бы один";
- проводить доказательство истинности или ложности утверждений;
- работать в группе.
Материалы к уроку:
1. Учебник математики в 5 классе, глава 1, §3, п.2 и п.3. ( Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон "Математика, 5 класс". Часть 1.)
2. Карточки с записанными утверждениями:
- Все натуральные числа больше 1.
- Некоторые произведения А.С. Пушкина написаны в прозе.
- Любое натуральное число делится на 2.
- Произведение двух натуральных чисел может быть больше их суммы.
- Сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на три.
- Сумма двух натуральных чисел не всегда делится на 3.
- Сумма любых двух чисел из множества {21; 15; 81; 27; 1215; 45} делится на 3.
- Сумма любых двух соседних натуральных чисел число нечетное.
Ход урока.
I. Мотивация.
Для актуализации знаний, приобретенных учащимися на предыдущем уроке, учитель предлагает ответить детям на следующие вопросы:
- Над какой темой мы работали на последнем уроке математики? (Утверждения.)
- Что такое утверждение? (Утверждение – это предложение, в котором есть тема – то, о чем говорится в предложении, и рема – то, что сообщается о теме.)
- Какие бывают утверждения? (Утверждения бывают истинные и ложные.)
Учитель обращает внимание учащихся на вывешенные на доске карточки с записанными на них утверждениями и предлагает провести их классификацию по основанию «истинность утверждения», то есть распределить утверждения на два столбика «Истинные утверждения» и «Ложные утверждения», проводя обоснование своего выбора.
Учащиеся, предлагая различные варианты классификации, испытывают затруднения в обосновании отнесения утверждений к той или иной группе. Выясняется, что для того, чтобы выполнить данное задание, необходимо научиться доказывать истинность или ложность утверждений. Учитель предлагает учащимся записать в тетрадь тему урока "Доказательство истинности или ложности утверждений" и провести исследование.
2.Исследование.
Исследование проводится в малых группах по 3-4 человека в каждой. Группам предлагается два задания: три группы выполняют задание 1, три группы – задание 2.
Задание 1.
- Прочитать в учебнике пункт 2 из параграфа 3 "Общие утверждения" (стр.61-62).
- Найти среди утверждений, вывешенных на доске, общие утверждения.
- Провести доказательство истинности или ложности выбранных утверждений, опираясь на примеры, приведенные в тексте.
Задание 2.
- Прочитать в учебнике пункт 3 из параграфа 3 "Хотя бы один" (стр. 67).
- Найти среди утверждений, вывешенных на доске, утверждения типа "хотя бы один".
- Провести доказательство истинности или ложности выбранных утверждений, опираясь на примеры, приведенные в тексте.
3.Обмен информацией.
Группы отчитываются о проделанной работе.
4.Организация информации.
Исходя из результатов работы групп, учащимся предлагается првести классификацию утверждений. В процессе обсуждения выясняется, что среди предложенных утверждений есть утверждения двух типов: общие и типа "хотя бы один".
К общим утверждениям относятся следующие утверждения:
- все натуральные числа больше 1;
- любое натуральное число делится на 2;
- сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на три;
- сумма любых двух чисел из множества {21; 15; 81; 27; 1215; 45} делится на 3;
- сумма любых двух соседних натуральных чисел число нечетное.
К утверждениям типа "хотя бы один" относятся:
- некоторые произведения А.С. Пушкина написаны в прозе;
- произведение двух натуральных чисел может быть больше их суммы;
- сумма двух натуральных чисел не всегда делится на 3.
Для доказательства ложности общего утверждения, то есть для опровержения данного утверждения, достаточно привести "контрпример". В то же время для доказательства истинности общего утверждения привести даже большое число примеров недостаточно.
У учащихся возникнут трудности с доказательством истинности или ложности утверждений "сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на три", "сумма любых двух соседних натуральных чисел число нечетное", так как привести "контрпримеры", опровергающие данные утверждения, они не смогут, а для доказательства истинности у детей недостаточно знаний. Возникшая проблема может быть использована на следующем уроке в качестве мотивации.
В противоположность общим утверждениям, истинность утверждения типа "хотя бы один" можно доказать с помощью примера. Вопрос о доказательстве ложности утверждений типа "хотя бы один" не рассматривается на уроках, так как для большинства детей является достаточно сложным, поэтому утверждения этого типа подобраны так, чтобы можно было доказать их истинность. Этот вопрос можно рассмотреть на внеклассных занятиях.
Таким образом, в результате распределения данных утверждений на истинные и ложные утверждения получится следующая классификация:
| Истинные утверждения | Ложные утверждения |
| сумма любых двух чисел из множества {21; 15; 81; 27; 1215; 45} делится на 3 | все натуральные числа больше 1 |
| некоторые произведения А.С. Пушкина написаны в прозе | любое натуральное число делится на 2 |
| произведение двух натуральных чисел может быть больше их суммы | |
| сумма двух натуральных чисел не всегда делится на 3 |
Доказать истинность утверждений "сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на три", "сумма любых двух соседних натуральных чисел число нечетное" учащиеся смогут только на следующем уроке, поэтому они пока не включены в таблицу.
5.Связывание информации.
Итогом обсуждения, организованного на предыдущем этапе, может быть составление таблицы.
Доказательство истинности или ложности утверждения
| Тип утверждения | Доказательство истинности | Доказательство ложности |
| Общее | ? | Привести контрпример |
| «Хотя бы один» | Привести пример | ? |
6.Подведение итогов. Рефлексия.
В процессе беседы выясняется, в какой мере достигнуто решение проблемы, в каком направлении может быть продолжена работа над этой темой.
7. Применение.
Учащимся предлагается выполнить следующие задания:
1. Среди приведенных утверждений найдите общие утверждения, утверждения типа "хотя бы один" и утверждения, не относящиеся к этим двум типам утверждений.
- Можно найти существительное, состоящее из семи различных букв.
- В доме может быть больше 10 этажей.
- Некоторые люди носят очки.
- Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.
- У кошки четыре ноги.
- Акулы – хищные рыбы.
- Костя Иванов – отличник.
- В пустыне Сахара иногда идет дождь.
- Некоторые медведи зимой не спят.
- Император Франции Наполеон 1 умер в 1815 году.
Организовать выполнение этого задания можно следующим образом: двум группам предложить найти общие утверждения, двум – утверждения типа "хотя бы один", двум - утверждения, не относящиеся к этим двум типам утверждений. Затем проводится обсуждение правильности выполнения задания.
2. Правильно ли проведено доказательство утверждений?
- Все натуральные числа делятся на 7: например, 14:7=2.
- В русском языке некоторые глаголы начинаются с буквы "и": например, "игрушка" начинается с буквы "и".
- Все имена существительные состоят из 5 букв: например, существительное "книга" состоит из 5 букв.
- Любое число, оканчивающееся цифрой 3, делится на 3: например, 63:3=21.
- Есть числа, оканчивающееся цифрой 3, которые делятся на 3: например, 63:3=21.
- В русском языке некоторые имена существительные состоят из 5 букв: например, существительное "книга" состоит из 5 букв.
Каждой группе предлагается выяснить правильность доказательства только одного утверждения, затем проводится обсуждение предложенных ответов со всем классом.
3. Придумайте различные способы формулировки утверждений:
- Все птицы имеют крылья.
- Некоторые птицы не умеют летать.
Данное задание выполняется фронтально.