Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний через дидактические игры.
Вид урока: «Урок-КВН».
Цель урока:
1. Проверить умения учащихся применять знания, полученные на уроке при решении нестандартных задач.
2. Развивать логическое мышление;
3. Воспитывать сознательное отношение к учёбе;
4. Прививать любовь к математике.
Организационные формы общения: групповая, индивидуальная.
Структура урока:
- Мотивационная беседа с последующей постановкой цели (игровой замысел).
- Сообщение правил игры.
- Входной контроль – игровые действия, в процессе которых происходит актуализация опорных знаний.
- Игровые действия, в процессе которых раскрывается познавательное содержание, происходит воспроизведение и коррекция учебных знаний.
- Итог игры, подведение итогов урока.
- Творческое домашнее задание.
- Рефлексия.
Ход урока
Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой.
А. Н. Колмогоров.
1. Беседа с учащимися
Выступление учителя
Сегодня мы проведём не совсем обычный урок. Прогрессию вы уже изучили на уроках алгебры, но, к сожалению рамки урока, не дают раскрыть все возможности, всю красоту математики, показать, где тот или иной материал можно применить в жизни. Этим мы и займёмся сегодня. Попытаемся посмотреть некоторые аспекты применения прогрессии в решении нестандартных задач. А решать такие задачи нам поможет игра. Итак! Играем в КВН!
2. Сообщение правил игры
* Класс разбивается на две команды (арифметическая и геометрическая прогрессия), которые решают задачи. С помощью жребия выбирается код команды «крестик» или «нолик». Выигрывает та команда, которая набирает больше количество своих знаков.
Оформление: на доске расположена таблица с названием конкурсов, каждая графа которой содержит определённое задание.
Если команда выиграла конкурс, то в таблице вместо названия конкурса проставляется код команды – «крестик» или «нолик», так участники конкурса могут следить за ходом игры.
( арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, эмблемы а1, а2, …, b1, b2… соответственно)
* Выбирается жюри и счётная комиссия (всего 3 человека из числа родителей, учителей и учащихся 10–11 классов)
3. Разминка (кто больше даст правильных ответов за минуту)
1. Предмет для демонстрации симметрии? (зеркало);
2. Цифровой знак, обозначающий отсутствие величины? (нуль);
3. Чему равен вес соли, которую надо съесть, чтобы хорошо узнать человека? (пуд);
4. Третья степень числа ? (куб);
5. Французский миллиард? (биллион);
6. Приплюснутый круг? (овал);
7. Какой параметр необходимо знать, чтобы найти площадь круга? (радиус)
8. Английская мера длины, давшая имя героине известной сказки? (дюйм)
9. Последовательница нуля? (единица);
10. Заменитель числа один при счёте? (раз)
11. Между плюсом и минусом? (нуль);
12. Дуэт в кубе? (восемь)
13. Этим математическим способом размножаются простейшие организмы (деление);
14. Единица со свитой из шести нулей? (миллион) и другие вопросы в зависимости от подготовленности класса.
4. Приветствие.
1) Восстанови формулы и объясни, каждая команда для своей прогрессии, кто быстрее. Объяснение ведёт один из членов команды, после того, как все формулы размещены:
1. Определение прогрессии –
2. Разность прогрессии –
3. Знаменатель прогрессии –
4. Обозначение прогрессии –
5. Формула п-го члена –
6. Формулы суммы п членов прогрессии –
7. Характеристическое свойство прогрессии –
(Ответы заранее заготовлены, члены команды их должны разместить на магнитных досках и защитить).
2) Обнаружьте связь между двумя прогрессиями (к обеим командам):
-4, -3, -2, -1, 0, 1,2,3,4,5,6,7,8.
1/16, 1/8, ?, ?, 1, 2,4,8, 16, 32, 64, 128, 256.
5. Конкурс поисковый.
1) Используя характеристическое свойство прогрессии, найти три последовательности чисел, которые представляют прогрессию соперника.
2) Каждой команде предлагается задача. Сколько ударов сделают настенные часы за сутки, если они бьют только один раз в час, отбивая число часов?
6. Конкурс подвижный. (Бесконечная геометрическая прогрессия).
Учащийся делает шаги к столу учителя (1 шаг, 0,5 шага, 0,25 и т.д.) Можно ли дойти до стола, если расстояние 3 метра?
Ответ: нет, т.к. это бесконечно убывающая прогрессия, её сумма равна 2 (вычисляют учащиеся).
7. Конкурс капитанов. Немного истории.
(Дети могут подобрать и другой исторический материал)
Слово «прогрессия» латинского происхождения означает «движение вперёд» (как и слово, «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэца (V – VI вв.) Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским математикам. математические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». Так, в одной из клинописных табличек вавилонян предлагается найти сумму первых девяти членов геометрической прогрессии 1; 2; 2 2…; 2 n-1;….
Вот другая задача, которую решали в Древнем Вавилоне во втором тысячелетии до новой эры: «10 братьев, 1 и две трети мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом – на сколько он выше?»
Здесь требуется по сумме первых десяти членов геометрической прогрессии 1 и двух третьей мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному восьмому члену определить разность арифметической прогрессии.
В папирусе Ахмеса предлагается задача: « У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из колоспа может выпасти по семи мер ячменя. Как велики числа этого ряда и какова их сумма?»
Отметим также, что Архимед знал, что такое геометричес кая прогрессия, и умел вычислять сумму любого числа её членов. Правило нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии была известна П.Ферма ( XVII в.)
В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» (X–XI вв.) содержатся выкладки о приплоде от скота и пчёл за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с определённого участка земли и т.д. Итак, первые задачи на прогрессии возникли из наблюдений над явлениями природы и из исследования общественно-экономических явлений, к которым применимы законы арифметической и геометрической прогрессии.
Интересные задачи на прогрессии есть в «Арифметике» Магницкого.
8. Конкурс эрудитов.
Какую историческую задачу на нахождение суммы геометрической прогрессии вы знаете? (Притча об индийском царе Шерам, слуга Шета – создатель шахмат). Царь должен был отдать слуге 2 64 – 1 = 1844674407370953161518,5 * 10 18 зерна. Столько пшеницы можно собрать с поверхности земли в 2000 раз больше чем земля. Если засеять всю землю, включая моря, то за пять лет рассчитается.
Более древняя задача (две тысячи лет) о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда.
Задача № 1 «Деление хлеба» (Решают обе команды)
Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего, пятый больше четвёртого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше остальных. Сколько нужно дать каждому?
Задача № 2 «Про черта» (Решают обе команды)
Однажды чёрт постучал в окно богатому купцу и предложил такую сделку: « Я буду ежедневно в течении 30 дней приносить тебе по 100000 р. А ты мне в первый день за 100000 р. дашь 1 к. во второй день за 100000 р. – 2 к. и так каждый день будешь увеличивать число денег в два раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнём».
Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней он получит от чёрта 3000000 р. На следующий день и согласился. Кто в этой сделке проиграл?
Задача №3 Из другого старинного русского учебника математики, носящего пространственное заглавие: «Полный курс чистой математики, сочинённый артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике (1795)»
«Вознаграждение воина»
Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 коп., за другую 0 2 коп., за третью – 4 коп. и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 665 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран.
Задача № 4
В стариной арифметике Магницкого находим задачу:
«Покупка лошади» (2 команда)
Мужик продавал за 156 руб. лошадь, но покупателю показалось это дорого. Тогда продавец предложил другие условия:
«Если цена лощади высока, то купи только её подковные гвозди, а лощадь получишь бесплатно в придачу. Гвозде в каждой подкове шесть. За первый гвоздь дай мне ? коп., за вторую – ? коп., за третью 1 коп. и т.д.
9. Подведение итогов
Определяются победители, они и получают высший балл на уроке, а другая команда – на балл ниже. Учителю даётся право оценить несколько учащихся в зависимости от их активности на уроке.
10. Домашнее задание
1) Задача Пифагора (580 – 500 гг. до н.э.) Найти сумму п первых нечётных натуральных чисел: 1+3+5+…+(2п – 1).
2) Составить самостоятельно сценарий игры с соседом по парте, на данную тему, придумав новые конкурсы.
11. Рефлексия.
В конце урока обязательно провести беседу с учащимися, в которой выяснить, что нового они узнали на уроке, понравилась ли им игра, что необходимо изменить, чтобы было ещё интереснее.