Вход в Личный кабинет

Подписка

  • Цветной журнал с электронными приложениями;
  • Бумажные и электронные версии;
  • Скидки постоянным подписчикам.

Вы можете ознакомиться с номером журнала.

Оформить подписку

"Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия". 10-й класс

Разделы: Преподавание математики


Предметные цели:

создать методическими средствами психолого-педагогические условия для усвоения понятий:

  1. БУГП
  2. СУММА БУГП

и применения их при решении ключевых задач:

  1. Алгоритм распознавания БУГП
  2. Вычисление суммы БУГП.

Цели личностного развития:

установление содержательных связей БУГП с элементами субъектного опыта учащихся в изучении математики по линиям тождественных преобразований, уравнений и действительных чисел.

Ход занятия (занятие состоит из 2-х уроков)

Урок 1.

1 этап: Диагностика усвоения материала по теме: “Действия с иррациональными числами”.

Самостоятельная работа, которая выполняется индивидуально каждым учащимся. Оперативная обратная связь осуществляется с помощью разбора решений примеров непосредственно по окончании самостоятельной работы.

Содержание самостоятельной работы:

(Задания приведены с ответами).

По окончании работы проводится анализ результатов работы и оперативный разбор ошибок.

2 этап. Актуализация знаний, необходимых для изучения нового материала.

Работа осуществляется в форме фронтальной беседы с элементами организации поисковой деятельности. Полученные результаты фиксируются в тетрадях.

Содержание фронтальной работы:

1. Повторение:

а) определения понятия геометрической прогрессии (ГП);

б) формулы n-ого члена ГП;

в) формулы суммы n первых членов ГП.

2. Получение нового результата:

Рассмотрим формулу суммы n первых членов ГП:

.

При эту формулу можно переписать в виде: или , из чего следует формула

Положим в этом равенстве , тогда получим

, домножим обе части равенства на , получим

, а отсюда вытекает полезное тождество:

(Доказательство приведенных формул см. Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра и математический анализ. 10 класс”, М., “Просвещение”, 1992г., стр.45).

В результате обсуждения, в процессе которого осуществляется конкретизация вновь полученного обобщенного знания, учащиеся приходят к выводу, что ранее изученные формулы разности квадратов и суммы и разности кубов представляют собой частные случаи выведенных формул:

Таким образом, удаётся установить содержательную связь БУГП с линией тождественных преобразований.

3 этап. Создание мотивации для формирования понятий БУГП и суммы БГУП.

Особенный интерес представляет обсуждение наглядной демонстрации существования суммы бесконечного числа слагаемых. Работа осуществляется фронтально, используются элементы исследовательской деятельности.

Содержание этапа:

1. В процессе введения определения БУГП рассматриваются особенности ГП с ¦q¦ < 1. Затем формулируется определение БУГП и решаются ключевые задачи распознавания БУГП:

а) в условии задана ГП; выяснить, является ли она БУГП;

б) в условии задана последовательность; выяснить, является ли она БГУП.

Вторая задача соответствует более высокому уровню сложности: сначала требуется выяснить, выяснить, является ли последовательность ГП;

затем - является ли она БУГП?

1) ;

2) .

Эти задачи могут быть рассмотрены как а) и как б). В процессе закрепления используются упражнения:

15 (3)

Доказать, что ГП является бесконечно убывающей::-27, -9, -3,…

16(3)

Выяснить, является ли ГП бесконечно убывающей:

(см.Алимов и др.)

Для введения понятия суммы БУГП целесообразно продолжить обсуждение задачи 2) и представить сумму слагаемых с помощью графической интерпретации:

Вывод формулы суммы БУГП проводится в соответствии с материалом учебника Ш.А.Алимов и др. “Алгебра и начала анализа.10-11”, М., “Просвещение”, 2003г., стр.11-14.

Обсуждение полученного результата создает условия для психологического принятия наличия конечной суммы бесконечного числа слагаемых.

Подводятся промежуточные итоги, на доску выносятся основные результаты.

Урок 2 (продолжение).

4 этап. Формирование алгоритма вычисления суммы БУГП.

Работа организована индивидуально у доски и в тетрадях с дифференцированной степенью самостоятельности. Критерием достижения положительного результата этапа является знание всеми учащимися алгоритма нахождения суммы БУГП. Коррекция осуществляется с помощью взаимопроверки. Используются упражнения

18(1,2) Найти сумму БУГП:

1. Ответ:

2. , Ответ:

а также упражнения из дидактических материалов по алгебре и началам анализа Б.Г.Зива и В.А. Гольдича, с/р №2, упражнения 1 из вариантов 1 и 2.

Найти сумму БУГП:

1. Ответ: 40,5

2. Ответ: 32.

Желающим, справившимся с общим заданием раньше других, предлагается обратная задача:

Известна сумма БУГП и второй член прогрессии. Нужно найти первый член прогрессии и знаменатель:

дано: =-0,5; S=1,6;

найти q и .

За самостоятельное решение этой задачи выставляется отдельная оценка.

5 этап. Первичное обобщение и включение нового знания в систему субъектного опыта учащихся.

Установление содержательных взаимосвязей БУГП с линиями уравнений и действительных чисел.

Фронтально решается задача распознавания БГУП. С помощью этой задачи, с одной стороны, осуществляется диагностика достижения положительного результата предыдущих этапов урока, с другой стороны, полученные результаты позволяют осуществить содержательные взаимосвязи по выше указанным линиям.

Из предложенных последовательностей выбрать БУГП:

1) =3; q=2.

2) =-4; q=.

3) 4;2;1; и т.д.;

4)=1; q=x; x>2;

5)