Првило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а,в) = d.
Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Хо ; уо) уравнения ах + ву = 1; числа СХо , Суо составляют решение уравнения ах + ву = с.
Решить в целых числах (х,у) уравнение
5х - 8у = 19 … (1)
Решение.
Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.
Знаем, что если Н.О.Д.(а;в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)
имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Хо = 7; уо =2.
Итак, пара чисел (7;2) - частное решение уравнения (1).
Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)
Вопрос: Как имея одно решение записать все остальные решения?
Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у - 2) =0.
Отсюда х – 7 = 
. Из полученного равенства видно, что
число (х – 7) будет целым тогда и только тогда,
когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n
какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где
n 
Z.
Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:
Z.
Второй способ. Решение уравнения относительно одного неизвестного.
Решаем это уравнение относительно того из
неизвестных, при котором наименьший (по модулю)
коэффициент. 5х - 8у = 19 
х = 
.
Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.
Если у = 0, то х = 
=
.
Если у =1, то х = 
=
.
Если у = 2, то х = 
=
= 7 Z.
Если у =3, то х = 
=
.
Если у = 4 то х = 
=
.
Итак, частным решением является пара (7;2).
Тогда общее решение: n Z.
Третий способ. Универсальный способ поиска частного решения.
Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а,в) = 1 существуют целые числа х,у такие, что ах + ву = 1.
План решения:
1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.
2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.
8 = 5 
1 +
3.
5 = 3 
3 = 2 
.
Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 - 2 
= 3 – (5 - 3 )
=
= 3 - 5
=
3
= (8 - 5
- 5
8
2 -5
= 5
(-2).
Итак, m = -3, n = -2.
2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19m; уо =19n.
Отсюда получим: Хо =19
; уо =19 
.
Пара (-57; -38)- частное решение (1).
3. Общее решение уравнения (1): 
n Z.
Четвертый способ. Геометрический.
План решения.
1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.
2. Запишем частное решение уравнения (1).
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1
Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие
-ю
часть полной окружности. За 8 шагов получим все
вершины правильного вписанного в окружность
8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов.
На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с
начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще
прошли 
- ю
часть окружности, так что х = у + .
Итак, Хо = 5, уо =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.
2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19
уо =19
3. Общее решение уравнения (1): 
n Z.