Вход в Личный кабинет

Подписка

  • Цветной журнал с электронными приложениями;
  • Бумажные и электронные версии;
  • Скидки постоянным подписчикам.

Вы можете ознакомиться с номером журнала.

Оформить подписку

Готовимся к экзаменам. Обобщающий урок в 9-м классе по теме "Прогрессии"

Разделы: Преподавание математики


ТИП УРОКА: интегрированный с мультимедийным сопровождением.

ЦЕЛИ:

  1. обобщить знания по теме “Прогрессии”, повторить все формулы по теме;
  2. показать актуальность темы, ее применение в жизнедеятельности человека;
  3. развивать творческие способности учащихся;
  4. продолжить подготовку к выпускному экзамену.

ОБОРУДОВАНИЕ:

  1. таблица “Прогрессии”;
  2. компьютерное обеспечение (презентация учеников).

ПЛАН УРОКА:

  1. вводная часть (исторические сведения о прогрессиях);
  2. сообщение цели урока;
  3. проверка домашнего задания (презентация учащимися своих задач;
  4. решение задач;
  5. задание на дом;
  6. самостоятельная работа (разноуровневая).

ХОД УРОКА

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ: ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРОГРЕССИЯХ

(сообщают ученики)

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

В древнеегипетском папирусе Ахмеса (ок. 2000 до н.э.) приводится задача: “Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась 1/8 меры”.

В этой задаче речь идет об арифметической прогрессии. Условие задачи, пользуясь современными обозначениями, можно записать так: S=10, d=1/8, а1, а2, …, а10.

В одном древнегреческом папирусе приводится задача: “Имеется 7 домов, в каждом по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна.”

Решение этой задачи приводит к сумме пяти членов геометрической прогрессии.

О прогрессиях и их суммах знали древнегреческие ученые. Так, им были известны формулы n первых чисел последовательности натуральных, четных и нечетных чисел.

Архимед (3 век до н. э.) для нахождения площадей и объемов фигур применял “атомистический метод”, для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел и показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Отдельные факты об арифметической и геометрической прогрессиях знали китайские и индийские ученые. Об этом говорит, например, известная индийская легенда об изобретателе шахмат.

В древней индии шах Шерам посулил любую награду за интересную игру, к которой он долгой время не потерял бы интерес. Ученый Сета изобрел шахматы и попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью - еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки. К ужасу шаха он не мог выполнить пожелание ученого. Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членной геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Вот это число:

18 446 744 073 709 551 615. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли.

Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 - 1855), который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1+100, 2+99 ит. д. равны, он умножил 101 на 50, т. е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ (Приложение 2)

(учащиеся должны были придумать задачу на арифметическую или геометрическую прогрессию с применением жизненных ситуаций и создать презентацию своей задачи)

(свои задачи демонстрируют сами учащиеся)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (по сборнику для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе автора Л.В. Кузнецовой)

Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию класс решает по вариантам. Первый вариант - на арифметическую, второй - на геометрическую. Затем проводится устный обмен решениями. От к5аждого варианта по одному человеку решают на доске.

1 вариант:

№6.1(1) (2 балла)

Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а десятый член равен 14,4.

Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

№6.17(1) (4 балла)

Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 150.

№6.29(1) (6 баллов)

Решить уравнение (Х+1)+(Х+5)+(Х+9)+…+(Х+157)=32000.

2 вариант:

№6.8(1) (2 балла)

В геометрической прогрессии двенадцатый член равен трем в пятнадцатой степени и четырнадцатый член равен трем в семнадцатой степени. Найдите первый член.

№6.26(1) (4 балла)

Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, а четвертый равен 24.

№6.36(1) (6 баллов)

Сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 3069?

ЗАДАНИЕ НА ДОМ

Из сборника Л. В. Кузнецовой решить на выбор из раздела 6 по две задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии. Работу сдать через неделю.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

(по разноуровневым дидактическим материалам)

1 уровень:

№5 (а, в) (стр. 28)

Представить в виде обыкновенной дроби число: а) 0,(7), в) 0,4(6).

2 уровень:

№4 (стр. 63)

Второй член бесконечной геометрической про