Использование свойств квадратичной функции при решении задач с параметрами

Число лежит между корнями квадратного уравнения с параметром.

Дано квадратное уравнение с параметром А(а)х²+В(а)х+С(а)=0 и число d. Выясним, при каких условиях число d лежит между корнями данного уравнения.

*Так как число лежит между корнями уравнения, то их должно быть два, т.е. D>0.

*Если ветви параболы направлены вверх, т.е. А(а)>0, то по свойству соответствующей квадратичной функции (на промежутке (х_М;х_Б) у<0) f(d)<0.

 

*Если ветви параболы направлены вниз, т.е. А(а)<0, то по свойству соответствующей квадратичной функции (на промежутке (х_М;х_Б) у>0) f(d)>0.

 

Получили: х_М<d<x_{Б U}

Покажем, что условие D>0 выполняется за счет условия A(a)?f(d)<0 (методом от противного): пусть D не больше 0, тогда D<0 или D=0.

Если D<0, A(a)>0, то по свойству соответствующей квадратичной функции для любого dR f(d)>0, что противоречит условию A(a)*f(d)<0.

Если D<0, A(a)<0, то по свойству соответствующей квадратичной функции для любого dR f(d)<0, что противоречит условию A(a)*f(d)<0.

Если D=0, A(a)>0, то по свойству соответствующей квадратичной функции для любого dR f(d)0, что противоречит условию A(a)*f(d)<0.

Если D=0, A(a)>0, то по свойству соответствующей квадратичной функции для любого dR f(d)0, что противоречит условию A(a)*f(d)<0.

Значит, при выполнении условия A(a)?f(d)<0 условие D>0 выполняется автоматически.

х_М<d<x_{Б U} A(a)*f(d)<0

Число лежит по одну сторону от корней квадратного уравнения с параметром.

Дано квадратное уравнение с параметром А(а)х²+В(а)х+С(а)=0 и число d. Выясним, при каких условиях число d лежит справа от корней данного уравнения (аналогично рассматривается случай когда число d лежит слева от корней данного уравнения).

*Так как число лежит справа от корней уравнения, то их должно быть не менее одного, т.е. D>0.

*Если ветви параболы направлены вверх, т.е. А(а)>0, то по свойству соответствующей квадратичной функции (на промежутке (х_Б; +) у>0) f(d)>0.

*Если ветви параболы направлены вниз, т.е. А(а)<0, то по свойству соответствующей квадратичной функции (на промежутке (х_Б; + ) у<0) f(d)<0.

*И не зависимо от направления ветвей при расположении числа d справа от корней данного уравнения должно выполняться и условие х_ВЕРШ<d, так как по свойству квадратичной функции х_М<х_ВЕРШ<х_Б<d при D>0 или х_М=х_ВЕРШ=х_Б<d при D=0.

Получили: х_М,Б<d _U

Аналогично: х_М,Б>d _U

По данной теме у меня есть подборка заданий, которые я предлагаю вашему вниманию.

1). При каких значениях параметра а число а лежит между корнями уравнения 2х²-2(2а+1)х+а(а-1)=0?

Решение:

х_М<а<x_{Б U} f(а)<0 2(2а²-2(2а+1)а+а(а-1))<0 -2a²-6a<0 a (- ;-3)U(0;+).

2) При каких значениях параметра а число 1 лежит между корнями уравнения ах²+ах2=0?

Решение:

х_М<1<x_Б a*f(1)<0 a(a+a-2)<0 2a(a-1)<0 a(0;1).

3) При каких значениях параметра а один корень уравнения 2ах²+2х-3а-2=0 больше –2, а другой меньше –2?

Решение:

х_М<-2<x_Б  2a*f(-2)<0 2a(8a-4-3a-2)<0 2a(5a-6)<0 a(0;1,2).

4) При каких значениях параметра а один из корней уравнения х²-2ах+2а²-4а+3=0 меньше 1, другой больше 2?

Решение:

.

5) При каких значениях параметра а промежуток (2;3) лежит между корнями уравнения (а-2)х²-2(а+3)х+4а=0?

Решение:

.

6) При каких значениях параметра а корни уравнения (а²+а-2)х²+(2а-3)х+а=0 лежат по разные стороны от 1?

Решение:

х_М<1<x_Б (a²+a?2)*f(1)<0 (a²+a-2)(a²+4a-5)<0 (a-1)²(a+2)(a+5)<0 a (-5; -2).

7) При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а+1)х²-3ах+4а=0 больше 1?

Решение:

.

8) При каких значениях параметра а корни уравнения ах²-(а+1)х+2=0 меньше 1?

Решение:

.

9) При каких значениях параметра а оба корня уравнения (2-а)х²-3ах+2а=0 не меньше 0,5?

Решение:

Мы должны найти такие значения параметра, при которых выполняется условие х_М,Б0,5,поэтому задача разбивается на две подзадачи:

*Один из корней равен 0,5, другой больше 0,5.

х=0,5 0,25(2-а) -1,5а+2а=0 а=-2 4х²+6х-4=0 х=0,5 или х=-2- не удовлетворяет решению задачи.

*Оба корня больше 0,5.

.

Ответ:

10) При каких значениях параметра а уравнение х²+6х+а=0 не имеет положительных корней?

Решение:

Мы должны найти такие значения параметра, при которых выполняется условие х_М,Б0,поэтому задача разбивается на четыре подзадачи:

*Уравнение совсем не имеет корней, а значит и положительных тоже. Квадратное уравнение не имеет корней при условии, что D<0; D=36-4а.

36-4а<0 a(9;+ ).

*Уравнение имеет один неположительный корень.

*Уравнение имеет два корня, один из которых 0, а другой отрицательный.

*Уравнение имеет два отрицательных корня.

Ответ: a (9;+ )U{0;9}U (0;9) U a [0;+ ).

11) При каких значениях параметра а корни уравнения х²+х+а-3=0 превосходят число а?

Решение:

12) При каких значениях параметра а корни уравнения (2а+3)х²+(а+1)х+4=0 больше –2, но меньше 0?

Решение:

Мы должны найти такие значения параметра, при которых выполняется условие ?2<х<0,поэтому задача разбивается на две подзадачи:

*Линейное уравнение имеет корень с условием -2<х<0.

2а+3=0 а=-1,5 -0,5х+4=0 х=8 – не удовлетворяет условию задачи.

*Квадратное уравнение имеет корни с условием -2<х<0.

Ответ:

13) При каких значениях параметра а корни уравнения х²-2ах+а²-1=0 лежат в промежутке ?

Решение:

Мы должны найти такие значения параметра, при которых выполняется условие 2х4,поэтому задача разбивается на три подзадачи:

*Уравнение имеет один из корней х=2, а для другого (если есть) выполнено условие 2х4.

х=2 4-4а+а² -1=0 а²-4а+3=0 а=1 или а=3.

Если а=1, то х²-2х=0 х=0 или х=2 –не удовлетворяет условию задачи.

Если а=3, то х²-6х+8=0 х=2 или х=4 –удовлетворяет условию задачи а=3.

*Уравнение имеет один из корней х=4, а для другого (если есть) выполнено условие 2х4.

х=4 16-8а+а²-1=0 а²-8а+15=0 а=5 или а=3.

Если а=5, то х²-10х+24=0 х=4 или х=6 –не удовлетворяет условию задачи.

Значение параметра а=3 уже проверяли.

*Уравнение имеет корни с условием 2<x<4.

Ответ: а=3.

14) При каких значениях параметра а выражение ах²+4х+3а+1 принимает положительные значения при всех х>0?

Решение:

Мы должны найти такие значения параметра, при которых промежуток (0;+ )принадлежит решению неравенства ах²+4х+3а+1>0,поэтому задача разбивается на несколько подзадач:

*Линейное неравенство.

а=0 4х+1>0 x (-0,25;+ ) – удовлетворяет условию задачи а=0.

*Квадратичное неравенство. Из возможных шести случаев решения подходят три.

а) Ветви параболы направлены вверх и уравнение ах²+4х+3а+1=0 не имеет корней.

б) Ветви параболы направлены вверх и единственный корень уравнения ах²+4х+3а+1=0 не больше 0.

в) Ветви параболы направлены вверх и корни уравнения ах²+4х+3а+1=0 меньше 0.

г) Ветви параболы направлены вверх и один из корней уравнения ах²+4х+3а+1=0 равен 0, а другой меньше 0.

.

Ответ: a(1;+ )U{0;1}U (0;1) a[0;+).