Введение
Решение задач по теории вероятностей удобно проводить в виде сдвоенного урока-практикума. Главная задача урока-практикума – усиление практической направленности обучения. Урок-практикум должен быть не только тесно связан с изученным материалом, но и способствовать его прочному, неформальному усвоению. В данной методической разработке представлен творческий урок-практикум с привлечением в обычный урок театральных средств и атрибутов. Театрализованный урок привносит в учебные будни атмосферу праздника, позволяет студентам проявить инициативу. Наполнение сценария миниатюры практическим материалом требует от студентов серьезных усилий в работе с учебником, первоисточником, научно-популярной литературой по теме, что способствует развитию у них интереса к математике. Подготовка к такому уроку предполагает совместную деятельность преподавателя и студентов. А на самом уроке преподаватель выполняет организаторскую роль.
Урок начинается со вступительного слова преподавателя. Затем инициативная группа студентов разыгрывает миниатюры (каждая миниатюра содержит задачи по теории вероятностей). Студенты решают предложенные задачи, в случае необходимости преподаватель приходит им на помощь. При постановке миниатюр используется минимум декораций и костюмов. Несколько характерных деталей превращают студента в действующее лицо. На заключительном этапе урока преподавателем подводятся итоги, по возможности повторяется и обобщается использованный на нем материал, а также оценивается работа студентов.
Вступительное слово преподавателя
В практической деятельности людям постоянно приходится сталкиваться с разнообразными случайными событиями. Как показывает практика, если какие-то опыты многократно повторяются (носят массовый характер), то появление в них интересующих нас событий подчиняется некоторым законам. Изучением закономерностей, присущих массовым случайным событиям, и занимается теория вероятностей.
Изучение азартных случайных игр восходит к ранней истории теории вероятностей, и даже сейчас эти игры доставляют множество тренировочных задач. Около 1654г. любитель математики шевалье де Мере консультировался с Блезом Паскалем (знаменитым математиком, естествоиспытателем и философом) относительно вопросов, связанных с игрой в кости. Игра в кости была известна уже за пять тысячелетий до новой эры. Наибольшее распространение она получила на Ближнем Востоке, а в средние века оттуда пришла в Европу. Играющие поочередно подбрасывали одну, а чаще две или три кости одновременно и подсчитывали сумму выпавших очков. Рассмотрим несколько задач, связанных с игрой в кости.
Сценарий урока-практикума
Миниатюра 1. Задача шевалье де Мере
Действующие лица: Шевалье де Мере, Б.Паскаль, слуга.
За первым столом сидит де Мере и бросает кости, за вторым сидит Б.Паскаль и гусиным пером делает какие-то записи. Входит слуга и идет к де Мере.
Слуга. Мой господин шевалье де Мере заметная фигура при дворе Людовика XIV. Философ и литератор, он знаком со многими европейскими математиками. Шевалье большой любитель азартных игр, распространенных при дворе.
Де Мере. Бросок за броском кидаю я кости друзья! Наверно есть в этом какой-то закон, узнаю его ль я когда? Бросая кости, я стараюсь просчитывать различные комбинации и пытаюсь уловить какие-то закономерности в выпадении различных сумм. Так, при бросании трех костей я подсчитал, что 11 очков можно получить шестью различными способами (подходит к доске и делает записи)
6-4-1, 6-3-2, 5-5-1, 5-4-2, 5-3-3, 4-4-3
и 12 очков также можно получить шестью способами
6-5-1, 6-4-2, 6-3-3,5-5-2, 5-4-3,4-4-4.
А так как число исходов, при которых получаются в сумме 11 и 12 очков равны между собой, то и вероятности получения 11 и 12 очков тоже должны быть равны между собой! (возвращается к столу). Но, наблюдая в течение длительного времени за игрой в кости и тщательно подсчитывая возможные исходы игры, я заметил, что те, кто ставит на 11 очков, выигрывает чаще, чем те, кто ставит на 12! Вот здесь и возникает противоречие между расчетами и реальными шансами на выигрыш. Интересно, как объяснит этот парадокс мой друг, блестящий математик Блез Паскаль? (Сворачивает письмо, завязывает его лентой и отдает слуге.)
Слуга несет письмо Паскалю и с поклоном вручает его. Паскаль читает письмо.
Паскаль. Вопрос интересен, кто спорит друзья! Ответ на него постараюсь найти. (Подходит к доске и пишет.) Дело в том, что исходы, которые рассматривал де Мере, не являются равновозможными. Например, комбинация 6-4-1 может возникнуть при шести различных исходах бросания костей (641), (614), (461),(416), (164), (146). В то же время комбинация 4-4-4 возникает при единственном исходе (444).Нетрудно вычислить количество способов выпадения суммы от 3 до 18 при бросании трех костей.
Сумма очков |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
Число способов |
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
25 |
27 |
27 |
25 |
21 |
15 |
10 |
6 |
3 |
1 |
Паскаль отправляет со слугой письмо де Мере.
Де Мере. Ну что же, друзья! Все ясно здесь мне. (Обращается к студентам.) Найдите вероятность выпадения 11 и 12 очков при бросании трех костей.
Решение
При подбрасывании трех игральных костей возможно 6*6*6=216 несовместных, единственно возможных и равновозможных исходов. Появлению события А (сумма выпавших очков равна 11) благоприятствуют 27 исходов, поэтому
Появлению события В (сумма выпавших очков равна 12) благоприятствуют 25 исходов, поэтому
Миниатюра 2. Задача мушкетеров
Действующие лица: Д, Артаньян, Атос, англичанин.
За столом сидит угрюмый человек в камзоле, перед ним остатки трапезы и кубок с вином.
Разговаривая, заходят два мушкетера.
Атос. Дорогой Д, Артаньян! Сегодня я проснулся в шесть часов утра и не знал чем заняться. Тогда я сошел в зал, где увидел англичанина, который торговал у барышника лошадь и предложил ему поиграть в кости. Ставкой в игре была моя лошадь.
Д, Артаньян. И что же? Надеюсь, Вам повезло!
Атос. Нет. Я проиграл лошадь, зато потом отыграл седло.
Д, Артаньян. Что же Вы проделали еще?
Атос. Когда я проиграл лошадь - девять против десяти, каково?- мне пришло в голову поиграть на Вашу, любезный Д, Артаньян!
Д, Артаньян. Я надеюсь, что Вы не осуществили этого намерения?
Атос. Напротив, я привел его в исполнение немедленно. Я сыграл и проиграл ее!
Д, Артаньян. Мою лошадь?
Атос. Вашу лошадь. Семь против восьми - из-за одного очка…
Д, Артаньян. К черту! Мы остались без лошадей!
Атос. У меня есть на этот счет одна идея.
Д, Артаньян. Атос, Вы пугаете меня!
Атос. Послушайте, Вы, кажется, давно не играли, Д, Артаньян. Следовательно, Вам должно везти!
Д, Артаньян. Предположим, что дальше?
Мушкетеры подходят к англичанину, сидящему за столом.
Атос. Сударь, не желаете сыграть? Мой друг ставит два седла против лошади!
Англичанин (в сторону). Так, два седла стоят триста пистолей. Стоит рискнуть. Хорошо, господа, я согласен.
Д, Артаньян, дрожа, бросает две кости и с ужасом смотрит на них.
Атос. Три очка. Неважный ход, приятель… Вы сударь получите лошадей с полной сбруей!
Англичанин, торжествуя, не глядя, бросает на стол кости. Д, Артаньян отвернулся, чтобы скрыть досаду.
Атос. Вот так штука. Какой необыкновенный ход! Я видел его всего четыре раза за всю мою жизнь: два очка!
Англичанин обернулся и онемел от изумления; Д, Артаньян обернулся и онемел от радости.
Д, Артаньян обращается к студентам: «Вычислите вероятность моего хода».
Решение
Общее число возможных исходов при бросании двух костей равно n = 6*6 = 36. Событию А (сумма выпавших очков равна трем) благоприятствуют два исхода (12) и (21). Следовательно, вероятность хода Д, Артаньяна равна
Р (А) =2/36=1/18 |
|
0,06. |
Англичанин спрашивает студентов: «Найдите вероятность моего необыкновенного хода».
Решение
Общее число возможных исходов при бросании двух костей равно 36. Событию В (сумма выпавших очков равна двум) благоприятствует один исход (11). Поэтому вероятность хода англичанина равна
1/36 |
|
0,03. |
Атос. Найдите вероятность события, происшедшего на Ваших глазах!
Решение
Надо вычислить вероятность того, что при первом броске выпало три очка и при втором броске выпало два очка, то есть найти вероятность произведения событий А и В.
Р(А*В) = Р(А)*Р(В) |
|
0.06*0,03 |
|
0,0018. |
Миниатюра 3. Генуэзская лотерея
Действующие лица: Ведущий, два организатора лотереи.
За столами сидят организаторы. Перед первым стоит коробка с бочонками от игры «лото», перед вторым коробка с лотерейными билетами. Обе коробки красочно оформлены. Входит ведущий.
Ведущий. В 16 веке в итальянском городе Генуе получила большое распространение лотерея. История возникновения ее такова: в городе ежегодно избирались по жребию пятеро из ста сенаторов в «светлейшую коллегию» В связи с этим событием для генуэзцев устраивалась лотерея. Игроки должны были угадать эту пятерку. В зависимости от числа угаданных фамилий они получали соответствующий выигрыш. В1620 г. фамилии сенаторов были заменены числами от 1 до 90. Игра получила название генуэзской лотереи и широко распространилась по всей Европе. В некоторых странах она сохранилась и сейчас. Устроители лотереи продают билеты, на которых стоят числа от 1 до 90. Есть билеты, на которых стоят одно, два, три, четыре или пять чисел.
Первый организатор. Подходите!
Второй организатор. Подходите! Покупайте лотерейные билеты!
- Фортуна обязательно улыбнется Вам, и Вы получите приз! В случае выигрыша билета с одним числом выдается вознаграждение в 15 раз больше стоимости билета.
- В случае выигрыша билета с двумя числами – в 270 раз больше!
- При выигрыше билета с тремя числами – в 5500 раз больше!
- Если выиграет билет с четырьмя числами – в 75000 раз больше!
- Счастливчик, у которого выиграет билет с пятью числами, получит приз в 1000000 раз больше стоимости билета!!
Рекламируя лотерейные билеты, организаторы проходят по кабинету и раздают всем лотерейные билеты.
Ведущий. Начинается розыгрыш. Из коробки, содержащей бочонки с номерами от 1 до 90, вынимают наугад только пять бочонков. Выигрывают те билеты, на которых все числа совпадают с числами на бочонках, вынутых из коробки.
Студенты проверяют числа на своих билетах.
Ведущий. Многие люди пытались разбогатеть с помощью генуэзской лотереи, но почти всех ждало разочарование. Найдите вероятность выигрыша при покупке билета с одним числом.
Решение
Число возможных исходов равно |
|
из них благоприятных |
|
Откуда вероятность выигрыша равна Р (А) = 5/90=1/18 |
|
0,056. |
Первый организатор. Найдите вероятность выигрыша при покупке билета с двумя числами.
Решение
Число возможных исходов равно |
|
из них благоприятных |
|
Следовательно, вероятность выигрыша равна |
Р (В) = 10/4005 |
|
0,0025. |
Второй организатор. Найдите вероятность выигрыша при покупке билета с тремя числами.
Решение
Число возможных исходов равно |
|
из них благоприятных |
|
Поэтому вероятность выигрыша равна Р(С) = 10/117480 |
|
0,000085. |
Ведущий. Найдите вероятность выигрыша при покупке билета с четырьмя числами.
Решение
Число возможных исходов равно |
|
из них благоприятных |
|
Значит вероятность выигрыша равна Р(Д) = 5/2555190 |
|
0,000002. |
Первый организатор. Найдите вероятность выигрыша при покупке билета с пятью числами.
Решение
Число возможных исходов равно |
|
из них благоприятных |
|
Отсюда вероятность выигрыша равна Р(Е) = 1/43949268 |
|
0,000000022. |
Ведущий. Другой картины мы и не должны были ожидать: не будут же устроители лотереи тратить силы и энергию, чтобы прогореть на этом деле. Хотя от случайностей никто не застрахован. Может случиться так, что продано очень мало билетов и при этом в одном из них угаданы все пять чисел. В этом случае устроители лотереи терпят огромные убытки. Чтобы этого не произошло, они должны продать как можно больше билетов. Чем больше билетов продано, тем больше прибыли. Поэтому организаторы лотереи заинтересованы в хорошей рекламе. Вот что писал по этому поводу Лаплас: «Большинство людей, играющих в лотерею, не знают, сколько шансов в их пользу и сколько противоположных…Без сомнения, все испугались бы огромного числа проигранных ставок, если бы могли его знать; но прилагаются старания, наоборот, к тому, чтобы придать наибольшей гласности выигрыш, гласности, которая становится новой причиной возбуждения к этой пагубной игре».
Миниатюра 4. Палач и звездочет
Действующие лица: звездочет, властелин, палач.
За столом сидит звездочет в мантии и конической шляпе, украшенной звездами, и читает рукопись. Входит властелин в короне.
Властелин. Звездочет! Твои последние предсказания об ожидающих нас несчастьях опять не сбылись! Ты не способен читать книгу звезд. За свои ложные предсказания ты будешь казнен!
Звездочет (падает перед властелином на колени). О, мудрый и справедливый повелитель! Помилуй меня! Язык звезд сложен и, тем не менее, иногда я делал правильные предсказания!
Властелин. В память о твоих заслугах, я даю тебе последний шанс. Вот тебе два черных и два белых шара. Ты должен их распределить по двум урнам.
Входит палач с двумя кубками и ставит их на второй стол.
Палач. Я выберу наугад одну из урн и вытащу из нее наугад один шар. Если шар будет черный, то тебя ожидает казнь. Если шар будет белый, то ты будешь помилован.
Звездочет (обращаясь к студентам). Каким образом я должен разместить шары в урнах, чтобы обеспечить себе максимальную возможность спастись?
Решение
Рассмотрим события.
А: палач выберет первую урну;
В: палач выберет вторую урну;
С: палач достанет из первой урны белый шар;
Д: палач достанет из второй урны белый шар;
Е: звездочет будет помилован.
Найдем вероятность того, что звездочет будет помилован при всех вариантах раскладки шаров по урнам. Р(Е) = Р(А)* Р(С) + Р(В)*Р(Д)
1) Пусть звездочет положит в каждую урну по одному белому и одному черному шару.
|
Вероятность спасения звездочета равна 1/2. |
2) Пусть звездочет положит в одну урну два белых шара, а в другую – два черных шара. |
|
|
Вероятность спасения звездочета также равна 1/2. |
3) Пусть звездочет положит в одну урну белый шар, а в другую урну белый и два черных шара. |
|
|
Вероятность спасения звездочета равна 2/3. |
4) Пусть звездочет положит в одну урну черный шар, а в другую черный и два белых шара. |
|
|
Вероятность спасения звездочета равна 1/3. |
5) Пусть звездочет положит все четыре шара в одну урну. |
|
|
Вероятность спасения звездочета равна 1/4. |
Таким образом, чтобы иметь наибольшие шансы спастись, звездочет должен положить в одну урну белый шар, а в другую белый и два черных шара.
Миниатюра 5. Вероятность в спецовке
Действующие лица: кладовщик, мастер, рабочий.
Эпизод 1
На столе стоят коробки. Кладовщик в халате сортирует детали. Входит мастер.
Мастер. Примите на склад 50 болтов. Из этих болтов 25 изготовлено первой бригадой, 15 – второй и 10 – третьей.
Кладовщик. Хорошо. Кладите болты в эту коробку.
Мастер уходит. Входит рабочий.
Рабочий. Мне для ремонта станка нужен болт. На складе есть болты?
Кладовщик. Да, пожалуйста! В этой коробке лежат нужные Вам болты. Берите любой.
Рабочий берет болт и задает вопрос студентам. Какова вероятность того, что я взял болт, изготовленный второй или третьей бригадой?
Решение
Рассмотрим события.
А: деталь изготовлена второй бригадой;
В: деталь изготовлена третьей бригадой;
С: деталь изготовлена второй или третьей бригадой.
Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = |
|
Эпизод 2
На столе стоит коробка с надписью «БРАК». Кладовщик подходит к ней и кладет в нее восемь деталей, заглядывает в коробку и берется за голову.
Кладовщик. Что же я наделал! Я совсем забыл, что в коробке лежало 4 такие же бракованные детали. Теперь они все перемешались.
Входит рабочий.
Рабочий. Выдайте мне, пожалуйста, две детали.
Кладовщик. Возьмите любые две детали из этой коробки.
Рабочий берет наугад две детали и уходит.
Кладовщик (обращается к студентам). Найдите вероятность того, что обе детали, взятые рабочим, окажутся стандартными.
Решение
Рассмотрим события.
А: первая взятая деталь стандартная;
В: вторая взятая деталь стандартная.
Вероятность того, что первая взятая деталь стандартная, составляет Р(А) = 8/12 = 2/3. Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартная первая деталь, т.е. условная вероятность события В, равна РА(В) =7/11.
Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:
Р(АВ) = Р(А) РА(В) = |
|
Миниатюра 6. Студент на экзамене
Действующие лица: преподаватель, студент Коля, студент Витя.
Идет урок. За одним столом сидят студенты, за другим преподаватель.
Преподаватель. В конце занятия хочу напомнить, что через месяц начинается экзаменационная сессия. Всего на экзамен выносится 56 теоретических вопросов. В билет включается два теоретических вопроса и одна задача.
Студенты между собой. Ужас! Кошмар! 56 вопросов! Разве выучишь их все?
Прошел месяц. Преподаватель ставит на стол табличку «ЭКЗАМЕН».
Коля. Привет! Как подготовился?
Витя. Нормально! Знаю 50 теоретических вопросов и 22 задачи. Как думаешь, сдам экзамен отлично?
Коля. Ну, не знаю… (обращается к студентам) Найдите вероятность того, что мой приятель при такой подготовке сдаст экзамен отлично.
Решение
Рассмотрим события.
А: студент ответит на два теоретических вопроса;
В: студент решил задачу.
С: студент сдаст экзамен отлично.
Чтобы отлично сдать экзамен студент должен ответить на оба вопроса по теории и решить задачу. Следовательно, вероятность события С найдется по теореме умножения вероятностей
Р(С) = Р(А) Р(В)
Найдем вероятность события А.
Число всех возможных комбинаций 56 вопросов по два составляет
Т.к. студент подготовил только 50 вопросов, то число исходов, благоприятствующих событию А равно
Значит вероятность события А равна
Вероятность события В определяется тем, что студент знает решение 22 задач из 28 возможных:
Вычислим вероятность события С
Заключительное слово преподавателя
Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским математиком П.Лапласом (1749-1827) в книге «Аналитическая теория вероятностей». В предисловии автор писал: «Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами из теории вероятностей». Сейчас, пожалуй, нет области знания, в которой не использовались бы методы теории вероятностей. В которой не использовались бы методы теории вероятностей. Применение вероятностно-статистических методов стало традиционным во многих науках. К ним относятся физика, геодезия, теория измерений и др.
В последнее время теория вероятностей стала использоваться в таких науках, где этого и нельзя было ожидать. Это медицина и биология, военная наука и космонавтика, теория стихосложения и лингвистика, психология и теория обучения… На старших курсах вы познакомитесь при изучении дисциплин специального цикла с теорией надежности, статистически контролем качества, основой которых являются вероятностные методы.
Преподаватель подводит итоги и оценивает работу студентов на занятии.
Список литературы
1. Л.П.Шибасов, З.Ф.Шибасова За страницами учебника математики - М.: Просвещение,1997.
2. Л.В.Тарасов Мир, построенный на вероятности – М.: Просвещение, 1984.