Вход в Личный кабинет

Подписка

  • Цветной журнал с электронными приложениями;
  • Бумажные и электронные версии;
  • Скидки постоянным подписчикам.

Вы можете ознакомиться с номером журнала.

Оформить подписку

Пересечение кривых поверхностей плоскостью и прямой линией

Разделы: Преподавание технологии


Цели урока:

  1. Рассмотреть вопрос о построении точек, получаемых при пересечении кривых поверхностей плоскостью и прямой линией.
  2. Выявить общий прием решения.
  3. Развитие пространственных представлений и логического мышления.
  4. Формирование графической культуры учащихся.

Ход урока

Пересечение поверхности с плоскостью

При пересечении какой-либо поверхности Ф с плоскость Σ получается некоторого вида плоская фигура, называемая сечением q : q = Ф ∩ Σ.

Если поверхность Ф многогранная, то ее сечение q плоская ломаная линия.

Если поверхность Ф кривая, то ее сечение q плоская кривая, проекции которой строят по отдельным точкам.

Сначала строят опорные точки кривой q:

  • экстремальные точки – самая близкая и самая удаленная относительно плоскостей проекций Π1, Π2, Π3.
  • точки видимости, принадлежащие очерковым линиям поверхности.

Затем дополнительно строят случайные (промежуточные) точки кривой q .

Если секущая плоскость Σ проецирующая, то на той плоскости проекций, которой она перпендикулярна, линия q вырождается в отрезок прямой линии.

Задача 1. Построить сечение пирамиды плоскостью Σ Π1 (рис.1).

Рисунок 1

Решение. Сечение q – ломаная линия. Ее вершины 1, 2, 3 – точки пересечения ребер пирамиды с плоскостью Σ : 1=SА ∩ Σ, 2= SВ ∩ Σ, 3= SС ∩ Σ ; q2 ≡ Σ2, т.к. Σ Π2 ; отмечаем точки 12, 22, 32 и строим 11 принадлежащую S1A1, 21 принадлежащую S1В1, 31 принадлежащую S1С1. Соединяем построенные точки с учетом их видимости. Т.к. грань SACотносительно плоскости проекций Π1 невидима, то отрезок 1-3 (11 - 31) тоже невидим.

Задача 2. Построить сечение тора Ф плоскостью Σ Π2 (рис.2).

Решение. q = Ф ∩ Σ, q – плоская кривая; q2 = Σ 2, т.к. Σ Π2; q2 – отрезок А2В2, q1– кривая. Строим проекции точек q по их принадлежности соответствующим линиям поверхности тора.

Опорные точки кривой q следующие:

  • высшая точка А принадлежит m, m - фронтальный полумеридиан тора; А2 принадлежит m2, А1 принадлежит m1;
  • низшие точки В, В´ принадлежит a, а – экватор тора;В2, В2´ принадлежат a2, В1, В1´ принадлежат a1;
  • точки видимости С, С´ относительно профильной плоскости проекций Π3. принадлежат профильному меридиану тора. Точки С, С´ и случайные точки 1, , 2, строятся с помощью параллелей тора, которым принадлежат эти точки.

Рисунок 2

Алгоритм построения

1. Через 12, 22 провести фронтальную проекцию p2 параллели p: I2, I2´ принадлежат p2;

2. Построить горизонтальную проекцию p1 параллели p: окружность радиуса R;

3. Построить I1, I1´ принадлежат p1.

Остальные точки строятся так же.

Все точки кривой q относительно Π1 видимые.

Линии видимости относительно Π2 m(m1).

Сечение цилиндра вращения плоскостью

В сечении могут быть получены следующие линии:

  1. Окружность, если секущая плоскость Г (Г2) оси i(i2).
  2. Эллипс, если секущая плоскость Σ (Σ2) не параллельна и не перпендикулярна оси i(i2).
  3. Две образующие, если секущая плоскость θ (θ2) параллельна оси i(i2) (рис.3).

    Рисунок 3

    Сечение сферы плоскостью

    В сечении всегда получается окружность (рис.4).

    Рисунок 4

    Сечение конуса вращения плоскостью

    В сечении могут быть получены все виды плоских алгебраических кривых второго порядка:

    1. Эллипс, если секущая плоскость Σ (Σ2) не параллельна ни одной образующей конуса. В частном случае вместо эллипса в сечении получится окружность: Г (Г2) i (i2) (рис.5);

      Рисунок 5

    2. Парабола, если секущая плоскость Σ (Σ2) параллельна одной образующей конуса (рис.6);

      Рисунок 6

    3. Гипербола, если секущая плоскость Σ (Σ2) параллельна двум образующим конуса (рис.7)

      Рисунок 7

      или две образующие, если секущая плоскость Σ (Σ2) проходит через вершину S(S2) конуса (рис.8).

      Рисунок 8

    Пересечение прямой с поверхностью

    В пространстве даны прямая a и поверхность Ф. Определить точки M и N пересечения прямой a и поверхности Ф: M,N = a∩Ф (рис.9). M и N – общие точки прямой a и поверхно