Урок в 10-м классе "Решение задач по теме «Площади фигур»"

Разделы: Математика

Цели:

  1. повторить и систематизировать теоретические и практические знания, умения и навыки по изучаемой теме;
  2. совершенствовать навыки решения задач по теме «Площади фигур»;
  3. подготовка к ЕГЭ.

Подробный план:

  1. организационный момент – 1 минута;
  2. вступительное слово, постановка целей – 3 минута;
  3. повторение материала (работа в парах), решение простейших задач – 10 минут;
  4. решение задачи № 1 – 12 минут;
  5. решение задачи № 2 – 10 минут;
  6. задача № 3. Составление плана решения – 7 минут;
  7. выставление оценок, разбор домашнего задания, подведение итогов – 2 минуты.

ТСО и материал к уроку:

  1. набор чертежных принадлежностей,
  2. мультимедийный проектор,
  3. таблица «Площади плоских фигур»,
  4. две трехстворчатых магнитных школьных доски,
  5. набор магнитов,
  6. карточки «Площади», с задачами и с домашним заданием.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Вступительное слово, постановка целей

Окружающий нас мир состоит из различного сочетания плоских и объемных фигур (здесь возможна презентация с показом различных объектов – мостов, зданий и т. д.). В какой бы сфере не работал человек, работает ли он с природным материалом, конструирует ли различные сооружения, работает в астрономии, он должен знать свойства геометрических фигур и тел, уметь находить их объемы, площади, измерения…

В этом году вы начинаете изучать новый для вас раздел геометрии – стереометрия. И для успешного изучения стереометрии, необходимо хорошо знать свойства плоских фигур. И тема сегодняшнего урока –  РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ ПЛОЩАДИ ФИГУР.

 

3. Повторение

Что же мы знаем о площадях фигур? Перед вами на доске – таблица с формулами площадей. Площади каких плоских фигур вам известны? Я вам сейчас предлагаю решить три простых задачи на повторение. У вас на каждой парте лежат  карточки с заданиями  на повторение. Сейчас вы, должны решить эти задачи. 1 вариант решает первую задачу, 2 вариант решает вторую задачу. А для тех, кто быстро решит, дополнительная третья задача. В тетрадях можете делать небольшие пометки. На решение задач вам 5 минут.

Приложение 1

Решение – 1

S фигуры = S квадрата – 2S треугольников.

S квадрата = 4 ∙ 4 = 16

S∆ = ½ ∙ 1 ∙ 4 = 2

S фигуры = 16 – 2 ∙ 2 = 12

Решение – 2

S = BM ∙ CD = 2 ∙ 15 = 30

AD = S : BK = 30 : 6 = 5

Решение – 3

СH = 6 : 2 = 3 (катет леж. п/в угла в 30)

S = ½ ∙ (4 + 10) ∙ 3 = 21

Ученики решают – учитель ходит по классу, может где-то помогает. Посмотреть, когда большинство справится, остановить. Один ученик с первого варианта – рассказывает решение задачи. Потом – второй вариант. Затем: «Кто решил дополнительную задачу?»

При решении вы пользовались формулами вычисления площадей плоских фигур, и каждый из вас получил таблички с набором формул.

Приложение 2.

 

4. Ну а сейчас решим задачу по теме «Площади», которая была представлена на ЕГЭ в 2002 году. (условие в презентации)

Основание ВС равнобедренного треугольника АВС равно 30 см. Высота BD, проведенная из вершины основания к боковой стороне равна 24 см. Найдите площадь треугольника.

Вопросы ученикам:

  • Что дано в задаче?
  • Что найти?
  • Как найти площадь?
  • Что для этого нужно знать?

1 человек у доски делает чертеж и краткое условие, все в тетрадях.

рис.1

Дано: ∆АВС – равнобедренный,

АВ = АС, ВС = 30 см,

ВDАС, BD = 24 см,

___________________________

Найти: S∆ABC

Анализ:

  • Что найти? (площадь)
  • Что неизвестно для нахождения (из того, что дано)? (АС)
  • Как мы можем найти? (по частям)
  • Какую часть сначала найдем? (ДС)
  • Каким соотношением воспользуемся? (теорема Пифагора)
  • К какой фигуре на чертеже применим? (∆ВДС)
  • Какой треугольник? (прямоугольный)
  • Чем является ДС? (катетом)
  • Как найдем? (ВС2 – ВД2 и извлечем корень)
  • Нашли ДС, что остается найти? (АД)
  • Как мы можем найти АД? (?)
  • АД неизвестно, а неизвестное мы обозначаем как? (х)
  • Я СТАВЛЮ Х НАД АД
  • Тогда можем ли мы написать полностью, чему равно АС? (да)
  • А треугольник у нас какой? (равнобедренный)
  • СВОЖУ К ТОМУ, ЧТО ДЕТИ ДОЛЖНЫ СКАЗАТЬ, ЧТО МЫ БУДЕМ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЕ
  • А какое уравнение? (ПОДВОЖУ К ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА ИЗ ∆АВД)
  • Нашли х. Что дальше? (АС и площадь). Решаем. Те, кто решит быстро, попробуйте найти другие способы.
    1. рассмотрим ∆ВDС: BDC = 90°
    2.  по теореме Пифагора
    3. АД = х, тогда АС = х + 18, а так как ∆АВС – равнобедренный, АВ = АС = х + 18
    4. Рассмотрим ∆АВД: ВДА = 90°
    5. По теореме Пифагора  (х + 18)2 = х2 + 242
      х2 + 36х + 182 = х2 + 242
      36х = 242 - 182
      х = 7
    6. АС = 7 + 18 = 25 (см)
    7. (см2)
  • Что использовали в этой задаче? Какие свойства и формулы?
  • Кто решил задачу другим способом?
  • Есть еще способы решения этой задачи. Я предлагаю найти вам их дома.

 

5. А сейчас мы решим задачу, которая была представлена на ЕГЭ в этом году. (условие в презентации)

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ, равная 10, образует с основанием угол, косинус которого равен √2/10.

  • Что дано в задаче?
  • Что найти?

Запишем краткое условие. (рисунок по мере анализа появляется в презентации)

Дано: ABCD – равноб. трапеция.

AB=CD

AC=10 cм

___________________________

Найти:  SABCD

  • Что неизвестно для нахождения? (основания)
  • Какой еще элемент надо провести? (высота)
  • Какие фигуры, кроме трапеции вы видите на рисунке? (треугольники)
  • Обратим внимание на ∆АСН. Какой он? (прямоугольный)
  • Что в нем известно? (косинус угла и гипотенуза)
  • Что можем найти? (катеты)
  • В каком порядке? (АН, потом НС.)
  • ОБСУЖДАЕМ КАК
  • Какое дополнительное построение надо выполнить, чтобы получить фигуру, равновеликую трапеции, площадь которой можно легко найти? (нужно провести высоту из точки А к меньшему основанию)
  • Обозначим точку пересечения – К.
  • Найдите на рисунке фигуру, площадь которой легко найти (прямоугольник АКСН)
  • Как будут называться фигуры: прямоугольник и трапеция? (равновеликие)
  • То есть эти фигуры обладают свойством... Каким? (площади равны)
  • Почему площади равны? (они состоят из равных фигур)
  • Каких? Почему равны? По какому признаку?
  • Итак, чтобы найти площадь трапеции, мы можем найти… (площадь прямоугольника)
  • Что для этого необходимо знать? (стороны)
  • Назовите их (СН, АН)
  • Решаем
  • Те, кто решит быстро, попробуйте найти другие способы.
    1. ,
    2. По теореме Пифагора
    3. Достроим трапецию до прямоугольника. ∆АКВ = ∆СНД, значит SABCD = SAKCH.
    4. SAKCH = АН ∙ НС =  = SABCD
  • Что использовали в этой задаче? Какие свойства и формулы?
  • Кто решил задачу другим способом?
  • Есть еще способы решения этой задачи. Я предлагаю найти вам их дома.

 

6. А в последней задаче, которую мы с вами рассмотрим, я предлагаю вам составить план решения. Итак…(условие в презентации)

В параллелограмме ABCD угол А = 60°, диагональ ВD перпендикулярна стороне AB. Прямая, проходящая через середину отрезка BD – точку М, параллельно AD, пересекает сторону AB в точке К. МК = 3. Найдите площадь ∆ AMD.

  • Что дано?
  • Что найти?

Сделайте в своих тетрадях самостоятельно рисунок к задаче.

Сравним.

Трудности при изображении?

Предлагаю вам самостоятельно составить план решения.

ПЕРЕД ЭТИМ ЕСТЕСТВЕННО РАЗОБРАТЬ НЕМНОГО.

Далее 1 ученик у доски записывает план. Его корректировать.

ПЛАН:

  1. КМ – средняя линия ∆ АВД
  2. АД = 2КМ
  3. АДМ из ∆ АВД
  4. АВ = ½ АД (по свойству прямоугольного треугольника)
  5. ВД2 = АД2 – АВ2 (по теореме Пифагора)
  6. МД = ½ ВД
  7. S∆АМД = ½ МД ∙ АД ∙ sin 30°

 

7. На карточках с формулами, с другой стороны, две задачи. Это ваше домашнее задание. Приложение 3. Ну а сегодня на уроке мы решили с вами несколько задач по планиметрии, применяли при этом теоретические знания и практические умения и навыки. Это всё будет необходимо вам для успешного усвоения курса стереометрии.

Я в свою очередь хочу вам пожелать успехов в учебе, не только по математике, но и по остальным дисциплинам. Ведь от того, как и чему вы научитесь, какой опыт приобретете в школе, будет зависеть ваша дальнейшая жизнь и дальнейшие успехи. Удачи вам. Урок закончен. До свидания.

Приложение 4 – часть презентации к уроку.

Литература:

  1. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 10-е изд. - М.: Просвещение, 2000.
  2. Единый государственный экзамен: Математика: реальные варианты / авт.-сост. В. В. Кочагин, Е. М. Бойченко и др. – М.: Астрель, 2007 – (Федеральный институт педагогических измерений)
  3. Гаврилова Н. Ф. Поурочные разработки по геометрии: 9 класс. – М.: ВАКО, 2005
  4. Шеломовский В. В. ЕГЭ 2004 – Математика – Мурманск: МГПУ, 2004
  5. Интернет-порталы www.ege.edu.ru, www.fipi.ru.