Вход в Личный кабинет

Подписка

  • Цветной журнал с электронными приложениями;
  • Бумажные и электронные версии;
  • Скидки постоянным подписчикам.

Вы можете ознакомиться с номером журнала.

Оформить подписку

Построение графиков функций, содержащих знак модуля

Разделы: Преподавание математики


Цель урока: получение более широких знаний о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Задачи урока: использование различных методов исследования: теоретический и практический (решение задач), а так же исследовательский, расширение познавательного интереса к изучению алгебры, углубление знаний по теории модуля и решение задач, выходящих за пределы школьных учебников.

Оборудование: мультимедийное оборудование, компьютер, классная доска, планшет, творческие тетради, копировальная бумага.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Вступительное слово учителя.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т.п.

Модуль объемного сжатия (в физике) - отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

3. Повторение

Чтобы глубоко изучать данную тему, нужно вспомнить простейшие определения, которые нам будут необходимы. Вопросы:

  1. Что называется уравнением? (Уравнение – это равенство, содержащее переменные.)
  2. Что называется уравнением с модулем? (Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Привести пример уравнения с модулем, используя планшет.)
  3. Что значит решить уравнение? (Решить уравнение – это значит, найти все его корни, или доказать, что корней нет. Привести пример уравнения, используя планшет).
  4. Используя планшет, изобразить график функции y=x, y=-x, y=x+2, y=2x.

В математике модуль имеет несколько значений, но сегодня мы поработаем с одним из них.

Модуль - абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. Любое число можно изобразить точкой на координатной прямой. Расстояние этой точкой от начала отсчёта на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом отсчёта числовой прямой. Вопросы:

1. Что называется модулем данного числа? (Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой от начала этой прямой, называется модулем данного числа.)

2. Как обозначается модуль? (Модуль некоторого числа а обозначается |а| .)

Геометрический смысл модуля удобно использовать при решении некоторых уравнений.

Работа у доски.

Решим уравнение |х-6| = 9. Если число 6 мы изобразим точкой А (рисунок 1), то по определению модуля следует, что точка х стоит от точки А на 9 единиц. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет координату х = 6 + 9 = 15, а вторая имеет координату

х = 6-9 = -3.

Следовательно, данное уравнение имеет два решения: х = 15 и х = -3.

Объяснение нового материала.

Теоремы, доказательства, следствия.

При решении уравнений, содержащих несколько выражений со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля.

Определение. Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна , если а меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа а, |а|≥0.

4. Объяснение нового материала.

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа а≠0 равна большему из двух чисел а или -а.

Доказательство:

1. Если число а положительно, то отрицательно, т. е. -а < 0 < а. Отсюда следует, что -а < а. Например, число 7 положительно, тогда -7 - отрицательно и -7< 0 < 7 отсюда -7 < 7. В этом случае |а| = а, т. е. |а| совпадает с большим из двух чисел а и - а.

2. Если а отрицательно, тогда положительно и а < - а, т. е. большим числом является . По определению, в этом случае, |а| = - снова, равно большему из двух чисел и а.

Следствие 1. Из теоремы следует, что |-а| = |а|.

В самом деле, как |-а|, так и |а| равны большему из чисел и а, а значит, равны между собой

Следствие 2. Для любого действительного числа а справедливы неравенства а≤|а|, -а≤|а|.

Умножая второе равенство -а≤|а|, на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: а≤|а|, а≥-|а|, справедливые для любого действительного числа а. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем:

-|а|≤а≤|а|.

Работа у доски.

Решим уравнение |2х-12|+|6х+48|=160. Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащего знак модуля: 2х-12=0, х=6; 6х+48=0, х= -8.

Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: х<-8, -8≤ х <6, х≥6 (рисунок 2).

Решение этого уравнения рассматривается в каждом промежутке отдельно.

В промежутке х<-8 оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны. Поэтому в этом промежутке при записи уравнения без знаков модуля знаки этих выражений меняем на противоположные. Получим уравнение –(2х-12) –(6х+48)=160. откуда х=-24,5. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку. Значит, оно является решением данного уравнения.

Во втором промежутке -8≤х<6 первое выражение отрицательно, а второе положительно. Следовательно, в этом промежутке уравнение запишется так:

-(2х-12)-(6х+48)=160. Откуда х=25 не принадлежит к промежутку.

В третьем промежутке х≥6 оба выражения положительны. Следовательно, в этом промежутке уравнение запишется так:

(2х-12)+(6х+48)=160. Откуда х=15.8. Значит, решением данного уравнения будут значения х =-24,5 и х=15,8

Для построения графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений у, отобразить симметрично относительно оси Ох. Это вытекает из определения модуля числа.

Функция у= |х|.

Рассмотрим график функции у=|х|, где |х| означает абсолютную величину, или модуль, числа х.

Построим её график, пользуясь определением абсолютной величины. При положительных х имеем |х|=х, т. Е. этот график совпадает с графиком у=х и является лучом, проходящим через начало координат под углом 45° к оси абсцисс. При х<0 имеем |х|=-х, значит, для отрицательных х график у=|х| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.

Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных значений х) легко получить из первой, если заметить, что функция у=|х| четная, так как |-a|=|a|. Значит, график этой функции симметричен относительно оси Оу, и вторую половину графика можно получит, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных значений (рисунок 3).

Рассмотрим функция у=-|х|.

График функции у=-|х| получается симметричным отображением графика

у= |х| относительно оси х (рисунок 4).