Вход в Личный кабинет

Пособия для подготовки школьников к сочинению

«Виды сочинений по литературе. 10-11 классы». Методическое пособие для учителя.

«Виды сочинений по литературе. 10-11 классы». Методическое пособие для учителя.

75 руб.

«Сочинение? Легко! 10-11 классы». Пособие для учащихся общеобразовательных организаций

«Сочинение? Легко! 10-11 классы». Пособие для учащихся общеобразовательных организаций

50 руб.

«Подготовка и проведение итогового сочинения по литературе». Методические рекомендации для образовательных организаций

«Подготовка и проведение итогового сочинения по литературе». Методические рекомендации для образовательных организаций

Бесплатно


Уже в продаже в электронном виде в Личном кабинете!

Построение графиков функций, содержащих знак модуля

Разделы: Преподавание математики


Цель урока: получение более широких знаний о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Задачи урока: использование различных методов исследования: теоретический и практический (решение задач), а так же исследовательский, расширение познавательного интереса к изучению алгебры, углубление знаний по теории модуля и решение задач, выходящих за пределы школьных учебников.

Оборудование: мультимедийное оборудование, компьютер, классная доска, планшет, творческие тетради, копировальная бумага.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Вступительное слово учителя.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т.п.

Модуль объемного сжатия (в физике) - отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

3. Повторение

Чтобы глубоко изучать данную тему, нужно вспомнить простейшие определения, которые нам будут необходимы. Вопросы:

  1. Что называется уравнением? (Уравнение – это равенство, содержащее переменные.)
  2. Что называется уравнением с модулем? (Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Привести пример уравнения с модулем, используя планшет.)
  3. Что значит решить уравнение? (Решить уравнение – это значит, найти все его корни, или доказать, что корней нет. Привести пример уравнения, используя планшет).
  4. Используя планшет, изобразить график функции y=x, y=-x, y=x+2, y=2x.

В математике модуль имеет несколько значений, но сегодня мы поработаем с одним из них.

Модуль - абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. Любое число можно изобразить точкой на координатной прямой. Расстояние этой точкой от начала отсчёта на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом отсчёта числовой прямой. Вопросы:

1. Что называется модулем данного числа? (Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой от начала этой прямой, называется модулем данного числа.)

2. Как обозначается модуль? (Модуль некоторого числа а обозначается |а| .)

Геометрический смысл модуля удобно использовать при решении некоторых уравнений.

Работа у доски.

Решим уравнение |х-6| = 9. Если число 6 мы изобразим точкой А (рисунок 1), то по определению модуля следует, что точка х стоит от точки А на 9 единиц. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет координату х = 6 + 9 = 15, а вторая имеет координату

х = 6-9 = -3.

Следовательно, данное уравнение имеет два решения: х = 15 и х = -3.

Объяснение нового материала.

Теоремы, доказательства, следствия.

При решении уравнений, содержащих несколько выражений со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля.

Определение. Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна , если а меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа а, |а|≥0.

4. Объяснение нового материала.

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа а≠0 равна большему из двух чисел а или -а.

Доказательство:

1. Если число а положительно, то отрицательно, т. е. -а < 0 < а. Отсюда следует, что -а < а. Например, число 7 положительно, тогда -7 - отрицательно и -7< 0 < 7 отсюда -7 < 7. В этом случае |а| = а, т. е. |а| совпадает с большим из двух чисел а и - а.

2. Если а отрицательно, тогда положительно и а < - а, т. е. большим числом является . По определению, в этом случае, |а| = - снова, равно большему из двух чисел и а.

Следствие 1. Из теоремы следует, что |-а| = |а|.

В самом деле, как |-а|, так и |а| равны большему из чисел и а, а значит, равны между собой

Следствие 2. Для любого действительного числа а справедливы неравенства а≤|а|, -а≤|а|.

Умножая второе равенство -а≤|а|, на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: а≤|а|, а≥-|а|, справедливые для любого действительного числа а. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем:

-|а|≤а≤|а|.

Работа у доски.

Решим уравнение |2х-12|+|6х+48|=160. Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащего знак модуля: 2х-12=0, х=6; 6х+48=0, х= -8.

Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: х<-8, -8≤ х <6, х≥6 (рисунок 2).

Решение этого уравнения рассматривается в каждом промежутке отдельно.

В промежутке х<-8 оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны. Поэтому в этом промежутке при записи уравнения без знаков модуля знаки этих выражений меняем на противоположные. Получим уравнение –(2х-12) –(6х+48)=160. откуда х=-24,5. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку. Значит, оно является решением данного уравнения.

Во втором промежутке -8≤х<6 первое выражение отрицательно, а второе положительно. Следовательно, в этом промежутке уравнение запишется так:

-(2х-12)-(6х+48)=160. Откуда х=25 не принадлежит к промежутку.

В третьем промежутке х≥6 оба выражения положительны. Следовательно, в этом промежутке уравнение запишется так:

(2х-12)+(6х+48)=160. Откуда х=15.8. Значит, решением данного уравнения будут значения х =-24,5 и х=15,8

Для построения графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений у, отобразить симметрично относительно оси Ох. Это вытекает из определения модуля числа.

Функция у= |х|.

Рассмотрим график функции у=|х|, где |х| означает абсолютную величину, или модуль, числа х.

Построим её график, пользуясь определением абсолютной величины. При положительных х имеем |х|=х, т. Е. этот график совпадает с графиком у=х и является лучом, проходящим через начало координат под углом 45° к оси абсцисс. При х<0 имеем |х|=-х, значит, для отрицательных х график у=|х| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.

Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных значений х) легко получить из первой, если заметить, что функция у=|х| четная, так как |-a|=|a|. Значит, график этой функции симметричен относительно оси Оу, и вторую половину графика можно получит, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных значений (рисунок 3).

Рассмотрим функция у=-|х|.

График функции у=-|х| получается симметричным отображением графика

у= |х| относительно оси х (рисунок 4).

Функции у=|х|+2, у=|х|-2

Этот график легко построить непосредственно. Однако мы его получим из графика у=|х|. Составим таблицу значений функций у=|х|+2 и сравним её с такой же таблицей, составленной для у=|х|, выписав эти таблицы рядом. Ясно, что из каждой точки первого графика у=|х| можно получить точку второго графика у=|х|+2, увеличив |х| на единицу. Значит, чтобы получить точки второго графика, надо каждую точку первого сдвинуть на 2 вверх, т.е. второй график получается из первого сдвигом вверх на 2.

Сравним этот график с графиком у=|х|. Если х=а, у=|а| - точка первого графика, то точка х=а, у=|а|-1 будет лежать на втором графике. Поэтому каждая точка (|а|, |а|-1) второго графика может быть получена точки (а, |а|) первого графика сдвигом вниз на 2 единицы, и весь график получается, если у=|х| сдвинуть вниз на 2 единицы (рисунок 5).

Функции у=|х+2|, у=|х+2|

График этой функции мы тоже можем получить из графика у=|х|. Напишем опять рядом две таблицы: для у=|х| и для у=|х+2|. Если сравнивать значения этих функций при одинаковых х, то окажется, что для некоторых х ордината первого графика больше, чем для второго, а для некоторых наоборот.

Однако, если внимательно посмотреть на правые столбцы этих двух таблиц, связь между таблицами можно установить. Именно вторая функция принимает те же самые значения, что и первая, только принимает их на две единицы раньше, при меньших значениях. Значит, из каждой точки первого графика у=|х| получается точка второго графика у=|х|+2, сдвинутая на 2 влево; например из точки (-2, 2) получается точка с координатами (-3, 2). Поэтому и весь график у=|х|+2, получится, если сдвинуть график у=|х| на 2 влево вдоль оси абсцисс (рисунок 6).

Функция у=а|х|

График функции у=а|х| получается растяжением графика у=|х| вдоль оси у в а раз при а>1 и сжатием вдоль этой оси в 1 раз при 0<а<1 (рисунок 7).

Функция у=||х-2|-3|

  1. Строим график функции у=|х|.
  2. Строим график функции у=|х-2|.
  3. Строим график функции у=|х-2|-3.
  4. Применяем к графику у=|х-2|-3 операцию «модуль» (рисунок 8).

Функции у=|2х-4|+|6+3х|. Находим корни каждого выражения, стоявшего под знаком модуля: 2х – 4 = 0; 6 + 3х = 0, х = -2. В результате ось Ох разбиваем на три промежутка. В каждом промежутке выражение, стоящее перед знаком модуля, имеет определенный знак. Опускаем знаки модуля, берём выражение в каждом промежутке с соответствующим знаком:

  1. х<-2, у = -(2х-4)-(6+3х)=-5х-2;
  2. –2≤ х < 2, у= -( 2х-4)+(6+3х)=х+10;
  3. х≥ 2, у = 2х-4+6+3х = 5х+2

Получим в каждом промежутке выражение функции без знака модуля. Строим график функции в промежутке. При правильном построении в области определения график должен представлять непрерывную линию (рисунок 9).

5. Итог урока.

Использую копировальную бумагу по вариантам построить график функции: у=|х-4|+2 (у=|х+4|-2).

6. Домашнее задание.

В творческой тетради составить функции, содержащие знак модуля, и построить их графики.

Литература.

  1. Детская энциклопедия. М., «Педагогика», 1990.
  2. Глейзер Г. И. История математики в школе. М. «Просвещение», 1982.
  3. Дынкин Е.Б., Молчанова С.А. Математические задачи. М., «Наука», 1993.
  4. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. М., «Просвещение», 1987.
  5. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. М., «Просвещение», 1989.
  6. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. Издательство Московского университета, 1974.

Приложение