Теорема Птолемея в тригонометрии

Бойко Людмила Владимировна, учитель

Легче, кажется, двигать
самые планеты, чем постичь их
движение.
Клавдий Птолемей

С именем Птолемея (l l в. н. э.) связаны наибольшие достижения греческой тригонометрии. И хотя Птолемей не знал синусов, косинусов, тангенсов, он, опираясь на труды Гиппарха(190 – 125 г. г. до н. э.) составил знаменитые таблицы хорд дуг окружностей. Заметим, что работать с хордами или с синусами – это фактически одно и то же, поскольку синус равен половине такой ходы. (рис 1)

, где < AOK = < BOK = ∞ и AK = BK =

Таблицы хорд Птолемея, сохранившиеся до наших дней, соответствуют таблице синусов от 0° до 90° (через 0,25°)- с пятью верными знаками после запятой.

Понятно, что таблица, была в первую очередь, вызвана к жизни потребностями астрономии. Она появилась в главной работе Птолемея «Альмагест». Наряду с тригонометрией на плоскости, в ней содержались элементы сферической тригонометрии, и прилагался каталог на 1028 звёзд. «Альмагест» для того времени давал полную картину мироздания. Не забудем, что по геоцентрической системе Птолемея мир прожил почти 13 столетий – вплоть до эпохи Коперника.

Нас же интересует теорема Птолемея, которая в древности звучала так: прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противоположных сторонах.

Рассмотрим редко встречающееся в литературе доказательство теоремы Птолемея.

Докажем, что произведение диагоналей вписанного в круг четырехугольника равна сумме произведений его противоположных сторон, или, согласно рис. 2 ef =ас +bd

Заметим, что (внешний угол треугольника АВК ) и из треугольника АКD .Тогда .Очевидно, что

(1)

Проведем ВD ‖ АС (рис. 3)

Очевидно, что АΝВС равнобедренная трапеция и АΝ = ВС =Ь; ΝС = АВ =а;

. (так как в трапеции АΝВС Δ АDТ и Δ СТВ имеют равную площадь ) Четырехугольник АΝСD состоит из двух треугольников: DСΝ и DАΝ , а его площадь есть сумма площадей этих треугольников.

Поскольку (вписанные, опираются на одну и ту же дугу), то

. Так как (стягивает такую же дугу, что и ) то и ( учитывая сказанное в начале).

Таким образом или

(2)

Сравнив (1) и (2) получим

Теорема Птолемея доказана .Однако остается вопрос как Птолемей , составляя таблицы хорд, пользовался своей знаменитой теоремой. Это было так!

Пусть в круге радиуса R известны хорды АВ=a АС=b .Требуется найти ходу ВС. =х, соответствующую разности дуг АС и АВ (рис. 4)

Решение
Проведем диаметр АD и найдем длины отрезков ВD и СD; из прямоугольного ΔАВD

ВD= n = . Из прямоугольного Δ АСD СD = t = .

Применим теорему Птолемея для четырехугольника АВСD:
, откуда . Зная, теперь хорду дуги ВС, Птолемей находил половину дуги ВС. При этом он пользовался формулой, аналогичной современной формуле:

. Рассмотрим современное доказательство этой формулы.

Пусть в равнобедренном ΔАВС (Ь = с, ) проведены высоты АН и ВD (рис. 5)

Треугольники НDС и АВС подобны. Тогда , или СН = СDb (1)

Но из Δ АСН и а = 2СН = 2.

Из Δ АВD СD =Ь – АD, где АD = сcosα =b cosα , тогда СD = Ь – b cosα = Ь (1 – cosα)

Подставим полученное значение в равенство (1): откуда получим: . Эта формула позволяла Птолемею , вычислив, хорду дуги 6°, находить хорды дуг в 3°, 1,5°, 0,75°. Птолемей делил окружность на 360°, а диаметр на 120 частей и записывал на основании теоремы Пифагора: , что соответствует современной формуле

Способ вычисления хорд соответствующих дуг с помощью теоремы Птолемея совпадает с известными нами формулами тригонометрии: и

Разберемся, почему это так.

Пусть ΔАВС вписан в окружность радиуса R (рис. 6) Проведем диаметр СD .Обозначим и . По теореме Птолемея для четырехугольника АDВС имеем: с СD = а АD + ЬВD.

По теореме синусов для ΔАВС, найдем . Из прямоугольного ΔСВD, где как вписанный, опирающися на диаметр, найдем . По теореме синусов для ΔАВD имеем и .