Метод неопределенных коэффициентов и его универсальность

Разделы: Математика


Применение метода неопределённых коэффициентов основано на следующих двух теоремах.

Теорема №1 (о многочлене, тождественно равном нулю).

Если при произвольных значениях аргумента x значение многочлена f(x) = а0+ а1х + а2х2 +...+ а nxn, заданного в стандартном виде, равно нулю, то все его коэффициенты а0, а1, а2, ..., аn равны нулю.

Теорема №2 (следствие теоремы № 1).

Пусть и f(x) = а0+а1х +...+ а nxn, и g (x)= b 0+ b 1х + b 2х2 +...+ bnxn.
Для того чтобы f(x)= g(x)необходимо и достаточно, что бы а0= b0, а1 = b1, а2 = b 2 , ..., а n= bn
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие использование метода неопределенных коэффициентов.

Деление многочлена на многочлен.

Пример 1. Выполнить деление многочлена х5 – 6х3 + 2х2 -4 на многочлен х2х + 1.

Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х5 – 6х3 + 2х2 -4 = (х2х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х2х + 1). Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 5 – 2 = 3.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид:

Q(x) = q 3x3 + q 2x2 + q 1x + q0,
R(x) = r 1x + r0.
Подставим Q(x) и R(x): х5 – 6х3 + 2х2 -4 = (х2 – х + 1)( q 3x3 + q 2x2 + q 1x + q0) + r 1x + r0.

Раскроем скобки в правой части равенства:

х5 – 6х3 + 2х2 -4 =
= q 3x 5 + q 2x4 + q 1x3 + q 0x2 – q 3x4 - q 2x3 - q 1x2 –q 0 x + q 3x3 + q 2x2 + q 1x + q 0 + r 1x + r0 =
= q 3x 5 + (q2 – q3) x4 + (q1 - q 2 + q3) x3 + (q0 - q 1 + q2) x2 + (q1 – q0 +r1) x + q0 +r0.

Для отыскания неизвестных коэффициентов получаем систему уравнений:

q0 +r0. = - 4, решая которую, получаем q3 =1, q2 =1, q1 =-6,  q0 =-5, r1 = 1, r0 = 1.

Ответ: Q(x) = x3 + x2 - 6x - 5, R(x) = x + 1.

Пример 2. Выполнить деление многочлена х7 –1 на многочлен х3 + х + 1.

Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х7 –1 = (х3 + х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х3 + х + 1).

Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 7– 3 = 4.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид: Q(x) = q 4x4 + q 3x3 + q 2x2 + q 1x + q0,
R(x) = r 2x2 + r 1x + r0.

Подставим Q(x) и R(x):

х7 –1 = (х3 + х + 1) (q 4x4 + q 3x3 + q 2x2 + q 1x + q0 ) + ( r 2x2 + r 1x + r0 ).

Раскроем скобки в правой части равенства:

х7 –1= q 4x 7 + q 3x6 + q 2x5 + q 1x4 + q 0x 3 + q 4x5 + q 3x4 + q 2x3 + q 1x2 + q 0 x +  q 4x4 + q 3x3 + q 2x2 +q 1x + q 0 + r 2x2 +r 1x + r0.
х7 –1= q 4x 7 + q 3x6+(q2 + q4) x5+(q1+ q3) x4+(q0 + q 2 + q3) x3+(q1 + q2 +r2) x2 +(q0 +r1) x+( q0 +r0).

Получаем систему уравнений:

их которой получаем: q4=1, q3 = 0, q2= -1, q1 = -1, q0 =1, r2 = 2, r1 =0 , r0 = -2.

Ответ: Q(x) = x4 - x2 - x + 1, R(x) = 2x2 - 2.

Расположение многочлена по степеням.

Возьмем функцию Поставим перед собой задачу «расположить многочлен по степеням f(x) по степеням (х-х0).

Задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов а0, а1, ..., аn. В каждом конкретном случае эти числа найти легко. Действительно, расположим многочлены, находящиеся в левой и правой частях равенства, по степеням x. Так как мы имеем тождество, то (по теореме № 2) коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны между собой. Приравняв коэффициенты правой части соответствующим заданным коэффициентам левой, мы придем к системе n+1 уравнений с n+1 неизвестными а0, а1, ..., аn , которую нужно решить.

Пример 3. Расположим многочлен по степеням.

Решение. Полагаем:


Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему:

Решая систему, находим:

Ответ: .

Пример 4. Расположим f(x) = х4 - 8х3 + 24х2 - 50х + 90 по степеням (х-2).

Решение: Полагаем х4 - 8х3 + 24х2 - 50х + 90 

Ответ: f(x) =

Представление произведения в виде многочлена стандартного вида.

Пример 5. Не выполняя действий, представим в виде многочлена стандартного вида произведение (х - 1)(х + 3)(х + 5).

Решение: Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене равен 1, а свободный член равен (- 15), тогда запишем:

(х - 1)(х + 3)(х + 5) = х3 + ах2 + вх - 15, где а и в - неизвестные коэффициенты.

Для вычисления их положим х = 1 и х = - 3, тогда получим:

откуда а =7, в = 7.

Ответ: х3 +7х2 + 7х - 15.

Разложение многочлена на множители

Пример 6. Дан многочлен

Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.

Решение: Будем искать разложение в виде:

полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 30. Следовательно, их следует искать среди чисел

Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -2, -5, 1 и 3. Следовательно х4+ 3х3 - 15х2 - 19х + 30 = (х - 1)(х - 3)(х + 2)(х + 5)

Ответ: (х - 1)(х - 3)(х + 2)(х + 5)

Пример 7. Дан многочлен .

Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.

Решение: Будем искать разложение в виде:

 

полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 84. Следовательно, их следует искать среди чисел

Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -7,-2,2,3. Следовательно х4+ 4х3 - 25х2 - 16х + 84 = (х - 2)(х - 3)(х + 2)(х + 7)

Ответ: (х - 2)(х - 3)(х +2)(х + 7)

Упрощение выражений

Пример 8. Разность является целым числом. Найдем это число.

Решение: Так как,

Тогда

Положим где a и b – неизвестные коэффициенты.

Тогда

Решая данную систему уравнений, получим а = 5, b = -4.

Значит так как

Аналогично устанавливаем, что

Следовательно

Ответ: -10

Пример 9. Является ли разность целым числом.

Решение: Т.к.

 тогда -  

Положим где a и b – неизвестные коэффициенты.

Тогда откуда

из второго уравнения тогда первое уравнение принимает вид

b2 = 12,5 - - не удовлетворяет условию задачи, или b2 = 9, откуда b = -3 или b = 3 - не удовлетворяет числу Значит, а = 5.

Аналогично,

Окончательно получаем: - иррациональное число.

Ответ: нет.

Уничтожение иррациональности в знаменателе

Пример 10. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

Решение:

отсюда

Раскроем скобки, сгруппируем:

с = 4;
b - 4 = 1;
+ 15 - 8 = 0;
b = 5;
а = 7

Ответ:

Пример 11. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

Решение: ,

отсюда

Раскроем скобки, сгруппируем

Отсюда

Итак

Следовательно

Ответ:

Применение метода неопределенных коэффициентов при решении уравнений

Пример 12. Решим уравнение х4 + х3 - 4х2 - 9х - 3 = 0.

Решение: Предположим, что корни уравнения - целые числа, тогда их надо искать среди чисел 

Если х = 1, то
если х = -1, то
если х = 3, то
если х = -3, то

Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.

Попробуем разложить многочлен на множители в следующем виде:

, где a, b, c и d – целые. Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:

Так как bd = -3, то будем искать решения среди вариантов:

Проверим вариант № 2, когда b = -1; d = 3:

а = -2, с =3

Пример 13. Решить уравнение: х4 - 15х2 + 12х + 5= 0.

Решение: Разложим многочлен f(х) = х4 - 15х2 + 12х + 5 на множители в следующем виде: , где a, b, c и d -целые. Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:

Так как , bd = 5, то будем искать решения среди вариантов:

Системе удовлетворяет вариант №2, т.е. а = 3, b = -1, c = -3, d = 5.

Итак,


D =13
D = 29

Ответ:

О решении одного класса кубических уравнений.

Пусть дано кубическое уравнение: а 1 х3 + b 1х21х +d1 = 0, где а ≠ 0. 
Приведём его к виду х3 + ах2 +bх + с = 0 (1), где а = , в = , с =
Положим в уравнении (1) х = у + m. Тогда получим уравнение:
Раскроем скобки, сгруппируем:  y3+3у2m + 3ym2 + m3 + ay2+ 2aym +am2 + by +bm + с = 0,
y3 + y2(a +3m) +y(3m2 +2am +b) + m3 +am2 +bm + с = 0.

Для того, чтобы уравнение (1) было двучленным, должно выполняться условие:

Решения этой системы: m = -; a2 = 3b. Таким образом, при произвольном с и при a2 = 3b уравнение подстановкой х = у - можно привести к двучленному уравнению третьей степени.

Пример14. Решить уравнение: х 3 + 3х 2+3х - 9 =0.

Решение: В данном уравнении а = 3, в =3, тогда условие a2 = 3b выполняется, а m = - = -1. Выполним подстановку х = у -1.

Уравнение принимает вид: (у -1)3 +3(у -1)2 +3(у -1) – 9 = 0.
y3 -3y2 +3у -1 +3у2 – 6у +3 +3у –3 – 9 = 0.
y3 – 10 = 0, откуда у = , а х = - 1.

Ответ: - 1.

Пример15. Решить уравнение: х 3 + 6х 2+ 12х + 5 = 0.

Решение: а = 6, в =12, тогда условие a2 = 3b (62 = 3×12) выполняется, а m = - = -2.

Выполним подстановку х = у - 2. Уравнение принимает вид: (у -2)3 +6(у -2)2 +12(у -2) + 5 = 0.

у3 – 6у2 + 12у – 8 + 6у2 -24у + 24 + 12у – 24 + 5 = 0.
у3 – 3 = 0, у = , а х = - 2.

Ответ: – 2.

Рассмотренные в работе примеры могут быть решены и другими способами. Но цель работы заключалась в том, чтобы решить их методом неопределённых коэффициентов, показать универсальность этого метода, его оригинальность и рациональность, не отрицая того, что в некоторых случаях он приводит к громоздким, но не сложным преобразованиям.