Обязательным результатом обучения является умение решить неравенство вида:
ax2+ bx+ c > <0
с опорой на схематический график квадратичной функции.
Чаще всего ученики допускают ошибки при решении квадратных неравенств с отрицательным первым коэффициентом. В учебнике предлагается в таких случаях заменять неравенство равносильным ему с положительным коэффициентом при x2 (пример №3).Важно, что учащиеся поняли, что об исходном неравенстве нужно “забыть”, для решения изображать параболу надо с ветвями, направленными вверх. Можно рассуждать иначе.
Допустим необходимо решить неравенство:
–x2 + 2x –5<0
Сначала выясним, пересекает ли график функции y=-x2+2x-5 ось ОХ. Для этого решим уравнение:
-x2+2x-5=0
x2-2x=5=0
D=1-5=-4<0
Уравнение корней не имеет, следовательно, график функции y=-x2+2x-5 целиком расположен ниже оси Х и неравенство -x2+2x-5<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.
Умение решать отрабатывается на №111 и №119.Обязательно надо рассмотреть такие неравенства x2+5>0, -x2-3≤0; 3x2>0 и.т.д.
Конечно при решении таких неравенств можно использовать параболу. Однако сильные учащиеся должны давать ответы сразу, не прибегая к рисунку. При этом обязательно надо требовать пояснений, например:x2≥0 и x2+7>0 при любых значениях x. В зависимости от уровня подготовки класса можно ограничиться этими номерами или использовать №120 №121.В них необходимо выполнить несложные тождественные преобразования, поэтому здесь пройдет повторение пройденного материала. Эти номера рассчитаны на сильных учащихся. Если достигнут хороший результат и решение квадратных неравенств не вызывает никаких проблем, то можно предложить учащимся решить систему неравенств в которой одно или оба неравенства являются квадратными (упражнение 193, 194).
Интересно не только решение квадратных неравенств, а и то, где еще можно применить это решение :для нахождения области определения функции исследования квадратного уравнения с параметрами (упражнение 122-124).Для наиболее продвинутых учащихся можно рассмотреть квадратные неравенства с параметрами вида:
Ax2+Bx+C>0 (≥0)
Ax2+Bx+C<0 (≤0)
Где A,B,C,-выражения зависящие от параметров, A≠0,x- неизвестные.
Неравенство Ax2+Bx+C>0
Исследуется по следующим схемам:
1)Если A=0, то имеем линейное неравенство Bx+C>0
2)Если A≠0 и дискриминант D>0,то, мы можем квадратный трехчлен разложить на множители и получить неравенство
A(x-x1) (x-x2)>0
x1 и x2 - корни уравнения Ax2+Bx+C=0
3)Если A≠0 и D<0 то если A>0 решением будет множество действительных чисел R; при A<0 решений нет.
Аналогично можно исследовать остальные неравенства.
Можно использовать при решении квадратных неравенств следственно свойство квадратного трехчлена
Ax2+Bx2+C:
1)Если A>0 и D<0 то Ax2+Bx+C>0- при всех x.
2)Если A<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.
При решении квадратного неравенства удобнее использовать схематическое изображение графика функции y=Ax2+Bx+C
Пример: Для всех значений параметров решить неравенство
X2+2(b+1)x+b2>0
Решение:
D=4(b+1)2-4b2=4b2+8b+4-4b2
8b+4=4(2b+1)
1) D<0 т.е. 2b+1<0
b< - ½
Коэффициент перед x2 равен 1>0 то неравенство выполняется для всех x, т.е. Х є R
2) D=0 => 2b+1=0
b=-½
Тогда x2+x+¼>0
(x+½)2>0
x є(-∞;-½) U (-½;∞)
3) D>0 =>2b+1>0
b>-½
Корни квадратного трехчлена имеют вид:
X1=-b-1-√2b+1
X2=-b-1+√2b+1
X1< X2
Неравенство принимает вид
(x-x1) (x-x2)>0
Используя метод интервалов получим
x є(-∞;x1) U (x2;∞)
Для самостоятельного решения дать следующее неравенство
аx2+x+1≤0
В результате решения неравенств ученик должен понимать, что для решения неравенств второй степени предлагается отказаться от излишней детализации способа построения графика, от нахождения координат вершин параболы, соблюдения масштаба, можно ограничиться изображением эскиза графика квадратичной функции.
В старшем звене решение квадратных неравенств практически не является самостоятельной задачей, а выступает в качестве составляющей решения другого уравнения или неравенства (логарифмического, показательного, тригонометрического). Поэтому нужно научить учащихся беглому решению квадратных неравенств. Можно обратиться трем теоремам, заимствованным из учебника А.А. Киселева.
Теорема 1. Пусть дан квадратный трехчлен ax2+bx+c,где a>0, имеющий 2 различных действительных корня (D>0).
Тогда:1)При всех значениях переменной x,меньших меньшего корня и больших большего корня, квадратный трехчлен положителен
2) При значениях x между корнями квадратными трехчлен отрицателен.
Теорема 2. Пусть дан квадратный трехчлен ax2+bx+c, где a>0 имеющий 2 одинаковых действительных корня (D=0).Тогда при всех значениях x отличных от корней квадратного трехчлена, квадратный трехчлен положителен.
Теорема3.Пусть дан квадратный трехчлен ax2+bx+c где a>0 не имеющий действительных корней (D<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.
Например: следует решить неравенство:
6x2-x-12≥0
6x2-x-12=0
D=1+288=289>0
X1=1,5
X2=-4/3
Решением является
X≤-4/3 и x≥3/2
Ответ (-∞; -4/3] U [2/3;∞)
Применяем теорему 1, часть 1
Используя решения квадратных неравенств можно решать различные задачи.
Задача№1.
Существуют ли такие значения c что множеством решений неравенства 2x2-12+c<0 является множество всех чисел?
Решение:
Решение неравенства 2x2-12+c<0 будет R если а<0 и D>0 но в данном случае а=2>0 => таких c не существует.
Задача №2.
При каких значениях параметра неравенство справедливо ax2-7x+4a>0 справедливо при любых действительных значениях x?
Решение:
Неравенство ax2-7x+4a>0 справедливо при любых действительных значениях x или одновременно выполняются условия:D<0 a >0
Ответ: a є (7/4;∞)
Необходимо сделать акцент на том что неравенство ax2+bx+c>0 справедливо при любых действительных значениях x тогда и только тогда, когда одновременно выполняется два условия D<0 и а>0.
Задача3.
Найдите все значения параметра a,для которых при всех действительных значениях x справедливо неравенство:
Решение:
x2-8x+20>0
для любого действительного значения x так как
D=64-80<0
Значит исходное неравенство равносильно неравенству
mx2+2(m+1)x+9m+4<0
Надо найти все значения параметра m для которых неравенство
mx2+2(m+1)x+9m+4<0
справедливо при всех действительных значениях x а это возможно
если D<0 m<0
Отсюда следует что m<- 1/2.
Необходимо сделать акцент на следующие утверждение:
неравенство ax2+bx+c<0
справедливо при любых действительных значениях x тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия D<0 a<0.
Для закрепления навыков решения неравенства можно использовать математический тренажер. При тренировке учащийся берет полоску или лист бумаги, вычисляет, записывая только ответ. Если встретилось задание, которое ученик не может выполнить, он его пропускает. Дается определенное время на выполнение задания.
Решите неравенство
| В1 | В2 |
| 1. х2>4 | 1. 3х2≥0 |
| 2. х2<0 | 2. х2>9 |
| 3. х2≤0 | 3. х2>-9 |
| 4. х2≥0 | 4. х2+4х-5>0 |
| 5. х2>0 | 5. х2-10х<0 |
| 6. (х+4)2<0 | 6. -х2+4≥0 |
| 7. х2-5х+6>0 | 7. -х2-4х≥0 |
| 8. х2+х-2≤0 | 8. х2-2х+3<0 |
| 9. -х2-2х≥0 | 9. (х+4)2>0 |
Ответы
| В1 | В2 |
| 1. (-∞; -2) | 1. R |
| 2. Ø | 2. (-∞; -2) |
| 3. 0 | 3. R |
| 4. R | 4. (-∞; -5) |
| 5. (-∞; 0) U (0; ∞) | 5. (0; 10) |
| 6. Ø | 6. [-2; 2] |
| 7. (-∞; 2) U (3; ∞) | 7. [-4; 0] |
| 8. [-2; 1] | 8. Ø |
| 9. [-2; 0] | 9. (-∞; -4) U (-4; ∞) |
Ответы помещают на обратной стороне, посмотреть их можно после того, как прошло отведенное время. Удобнее всего эту работу провести в начале урока по сигналу учителя. (Внимание, приготовились, начали). По команде “Стоп” работа прерывается.
Время работы определяется в зависимости от уровня подготовки класса. Рост скорости показатель работы ученика.
Умение решать квадратные неравенства пригодится учащимся и при сдаче ЕГЭ. В задачах группы B все чаще встречаются задания связанные с умением решать квадратные неравенства.
Например:
Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой
h(t)=-5t2+18t
(h- высота в метрах,t-время в секундах, прошедшее с момента броска).
Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.
Для решения необходимо составлять неравенство:
-5t2+18t≥9
-5t2+18t-9≥0
-5t2+18t-9=0
D=144
t1=0,6
t2=3
3-0,6=2,4
Ответ:2,4 с
Начиная давать учащимся, примеры из ЕГЭ уже в 9-ом классе на этапе изучения материала, мы уже готовим к сдаче экзамена, решение квадратных неравенств содержащих параметр дает возможность решать задачи из группы C.
Не формальный подход к изучению темы в 9 классе, облегчает усвоение материала в курсе “Алгебра и начала анализа” по таким темам как “Применение производной” “Решение неравенств методом интервалов” “Решение логарифмических и показательных неравенств” “Решение иррациональных неравенств”.