Урок геометрии в 10-м классе "Угол между плоскостями"

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки, чертежи.

Задачи урока:

• Обучающая - повторить определение угла между прямой и плоскостью, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трёх перпендикулярах , ввести определение угла между плоскостями, доказать, что угол между плоскостями не зависит от выбора точки на прямой пересечения плоскостей.
• Воспитательная – следить за чёткостью, аккуратностью, правильным выполнением чертежей, видеть связь между различными прямыми, плоскостями, воспитывать внимание, трудолюбие.
• Развивающая – развивать логическое мышление, уметь выделять главное, делать выводы, обобщать, развивать монологическую речь.

План урока

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания и устные упражнения ( подготовка учащихся к восприятию нового материала.
3. Изучение нового материала.
4. Решение задач - первичное закрепление материала.
5. Решение задач с оформлением решения учителем у доски
6. Запись домашнего задания.
7. Проведение самостоятельной работы с проверкой в классе.
8. Подведение итогов, выставление оценок.

Содержание урока

1. Организационный момент.
2. а) Устные упражнения.

- К плоскости прямоугольника через точку пересечения его диагоналей проведён перпендикуляр ОК. Ответить на следующие вопросы:

• Назвать угол между прямой KB и плоскостью прямоугольника;
• Назвать угол между прямой КМ и плоскостью прямоугольника, где- середина стороны ВС;
• Чему равен угол между прямыми КМ и CB?
• Чему равен угол между плоскостью КОМ и прямой CB?

 Презентация.

(При ответе на первые два вопроса повторяется определение между прямой и плоскостью, при ответе на третий вопрос учащимся необходимо применить теорему о трёх перпендикулярах, при ответе на  четвёртый вопрос повторяется признак перпендикулярности прямой и плоскости).

Рассмотрим ответы на поставленные вопросы:
(См. рисунок №2.)
Решение задачи подготовлено в виде слайда.
1.  Угол между прямой KB и плоскостью (АВС)- это угол КВО, т.к. ( по определению)угол между прямой и плоскостью- это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. KO - перпендикуляр, OB - проекция наклонной КВ на плоскость АВС.  (При ответе на вопрос следует требовать от учащихся чёткого применения алгоритма нахождения угла между прямой и плоскостью.)
2.  1) М- это точка пересечения прямой КМ с плоскостью (АВС), т.е.
(АВС) ∩ КМ = М.
2) КО ┴ (АВС); (АВС) ∩ КО = О,
3) Соединяем точку О с точкой  М, имеем ОМ- проекция КМ на плоскость (АВС), значит угол между прямой КМ и плоскостью (АВС) есть угол КМО.
3.  KO - перпендикуляр, KM- наклонная, OM - проекция. Прямая CB проходит через основание наклонной и лежит в плоскости АВС, CB ┴ ОМ, т.е. CB перпендикулярна проекции ОМ, значит по теореме о трёх перпендикулярах CB ┴ КМ, значит угол между прямой CB и КМ  прямой.
4.  Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости:
CB ∩ (КОМ) = М; прямые ОМ и КМ проходят через точку пересечения прямой СВ и (КОМ); ОМ ┴ СВ; КМ ┴ СВ, значит по теореме СВ ‌┴‌ (КОМ), следовательно угол между прямой СВ и плоскостью (КОМ) –прямой.

Рисунок №1

2.  б) Проверка домашнего задания.
Через гипотенузу AB прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость β. Высота СД данного треугольника образует с плоскостью β угол 60° . Найти площадь  АСВ, где СС┴ β, если АС = 5, АВ =12.(См. рисунок №2.)
Решение задачи подготовлено в виде слайда.

Рисунок №2

Дано:

∆ АВС, угол АВС= 90°

CD ┴ AB

CC1 ┴ β

АС=5, AB=12

угол между прямой СD и плоскостью  равен 60°

Найти: S ∆ ABC1 .

Решение:

1. Отметим на чертеже угол между прямой СD и плоскостью β. СD ∩ β=D; СС1┴ β (по условию), значит DC1- проекция наклонной CD на плоскость β, значит по определению угла между прямой и плоскостью, угол CDC1- угол между прямой СD и плоскостью β; угол CDC1 =60° (по условию)
2. Рассмотрим треугольник АС1В. Докажем, что С1- высота  ∆ АС1В, т.е. С1D┴ АВ.
   СD ┴ AB ( по условию), AB проходит через основание наклонной СD, значит по теореме обратной теореме о трёх перпендикулярах получаем, AB ┴ DС1, следовательно С1D- высота  ∆ АС1В.
3. (При проверке домашнего задания следует особое внимание уделить стереометрической части задачи, вычислительную часть, которая теперь уже не вызывает особых затруднений,  можно выписать на доске или подготовить в виде слайда без особых объяснений.)

Вид доски на втором этапе урока.
(если чертежи выполнены на доске без применения проектора)

Переход от этапа №2 к этапу №3

Рисунок №3.

На примере нахождения угла между прямой А1В и плоскостью ВВ1с повторяем чётко алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью. Воспользуемся этой идеей для определения угла между данными плоскостями.

Вид доски на втором этапе урока.
(если чертежи выполнены на доске без применения проектора)

3. Изучение нового материала.

Пусть данные плоскости пересекаются. (См. рисунок №4)

Рисунок №4.

Проведём третью плоскость, перпендикулярную линии пересечения плоскостей. Плоскость пресекает данные плоскости по двум прямым. Так вот:
«угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями».
- Как провести третью плоскость, перпендикулярную линии пересечения? Исходной теоремой, на которую мы будем опираться - это признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Итак, алгоритм нахождения угла между плоскостями:

1. Находим линию пересечения плоскостей.
2. Через точку на линии пересечения в каждой плоскости проводим прямые, перпендикулярные линии пересечения. Они однозначно задают секущую плоскость, которая по признаку перпендикулярности прямой и плоскости будет перпендикулярна линии пересечения.
3. Угол между прямыми а и в - есть угол между плоскостями.

 4.  Первичное закрепление материала.
(Задание предлагается в виде слайда)
Дан куб АВСDА1B1C1D1. Вычислить угол между плоскостями:
1) АDD1и АВС;
2) А1ВС и АВС.
Учащиеся проговаривают алгоритм и называют угол.

5. Решение задачи с оформлением.
Задача. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС проведён перпендикуляр АD к его плоскости. Угол АВС=30°. Вычислить угол между плоскостями BAD и CAD

Решение:
1. ∆АВС, угол C = 90°,угол АВС = 30°, значит угол САВ = 60°
2. (BAD) ∩ (CAD) = DA. По условию DA ┴ (АВС), АС ┴ DA и ВА ┴ DА (DВА) ∩ (АВС) = AB; (DАС) ∩ (АВС) = АС, значит по определению угла между плоскостями угол ВАС искомый и угол ВАС = 30°.

6. Запись домашнего задания.

7. Самостоятельная работа.

Вариант №1.

Сторона AB квадрата АВСD лежит в плоскости а. DD1перпендикулярна плоскости α. Угол между плоскостью квадрата и плоскостью α равен φ . Выполнить чертёж, отметить угол между плоскостью квадрата и плоскостью α и обосновать, что отмеченный угол, есть угол между указанными плоскостями.

Вариант №2.

Через катет МР прямоугольного треугольника МРК проведена плоскость а. Угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен φ. Из вершины K на плоскость α опущен перпендикуляр КВ. Выполнить чертёж, отметить угол φ  и обосновать, что отмеченный угол, есть угол между указанными плоскостями.

8. Подведение итога урока.