Конспект интегрированного урока-практикума по теме "Математическое моделирование. Преобразования графиков функций"

Разделы: Математика, Информатика


ЦЕЛИ:

обучающие:

  • формирование ИКТ – грамотности:
    • формирование умений адаптировать информацию к конкретным условиям (построение и исследование математических моделей – графиков функций);
    • формирование умений оценивать и интегрировать информацию (анализ и сравнение графиков функций у=х2, у=х2+а, у=(х+а)2, у=ах2 при  различных значениях параметра а, обобщение и применение полученной информации к графикам других функций: показательной, логарифмической, тригонометрической);
    • формирование умений и навыков работы в электронных таблицах (автозаполнение, построение арифметических выражений, построение графиков функций);

развивающие:

  • формирование навыков деятельности, составляющих ИКТ-компетентность:
    • управление – выделение основных этапов построения графиков функций,
    • интеграция – построение графиков различных функций,
    • оценка – сравнение графиков функций, выявление правил преобразования графиков функций,
    • создание – умение применять данные правила при анализе различных функциональных зависимостей;
  • развитие памяти, внимания, самостоятельности при работе на компьютере;

воспитательные:

  • формирование познавательного интереса путем описания математических объектов автоматическими средствами представления данных;
  • выработка у учащихся способности использовать компьютер при решении задач из различных предметных областей (математика);
  • воспитание аккуратности, терпения, усидчивости.

ТИП УРОКА:

  • по основной дидактической задаче – урок применения  знаний и умений;
  • по способу проведения – урок-практикум;
  • по основным этапам – урок применения полученных правил на практике;
  • по форме проведения – интегрированный, исследовательский урок.

ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

Учащиеся смогут:

  • определять преобразование графика по виду функциональной зависимости;
  • применять электронные таблицы для построения графиков семейства функций;
  • исследовать вид графика разных функциональных зависимостей;
  • использовать электронные таблицы для анализа функциональных зависимостей по виду их графиков;
  • автоматизировать работу по построению и анализу графиков функций.

ОБОРУДОВАНИЕ:

  • компьютерный класс, мультимедийный проектор, экран или мультимедийная доска;
  • на компьютере учителя – презентация «Преобразование графиков функций. Математическое моделирование», которая используется при проведении урока (Приложение 1);
  • для менее подготовленных учащихся - карточки с алгоритмом практической работы (Приложение 2);
  • на компьютерах учеников - шаблон в электронных таблицах для выполнения практической работы (построения графиков функций) (Приложение 3).

Ход урока

1. Организационный момент (Слайд 1)

Урок посвящён математическому моделированию. Тему урока, объект наших исследований и инструмент, с помощью которого эти исследование будут производиться, я попрошу вас назвать самостоятельно после ответа на следующие вопросы.

2. Актуализация опорных знаний и умений (Слайды 2-4)

Алгебра

  • Что демонстрирует данный рисунок?  Функциональную зависимость.
  • Дайте ей определение. Две переменные величины х и у связаны функциональной зависимостью, если каждому значению, которое может принимать одна из них, соответствует одно или несколько определённых значений другой.
  • Как обозначается функция? y=f(x).
  • Как называется переменная х? Аргумент функции, независимая переменная.
  • Как называется переменная у? Значение функции, зависимая переменная.
  • Как можно изобразить функцию? Формулой, графиком, таблицей.
  • Назовите функции и опишите вид их графиков.
Функция Название График
у=х

Прямая пропорциональность

Прямая, проходящая через начало координат под углом 45°, биссектриса первого координатного угла.

у=2х-5

Линейная

Прямая

у=х2

Квадратичная

Парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх.

у=3х2+1

Квадратичная

Парабола с вершиной в точке , ветви направлены вверх (а>0).

у=-3х2+2х-6

Квадратичная

Парабола с вершиной в точке ,  ветви направлены вниз (a<0).

у=3х

Показательная

Проходит через точку (0;1), возрастает, слева неограниченно приближается к оси абсцисс, но не пересекает её.

у=cos x

Тригонометрическая

Синусоида, смещённая по оси х влево  на p/2. Имеет период 2p.

Обратная пропорциональность

Кривая линия, состоящая из двух «ветвей», неограниченно приближающихся к осям координат, но не пересекающих их. Расположены «ветви» в I  и III координатных четвертях.

у=log3x

Логарифмическая

Получается из графика показательной функции у=3х перегибом чертежа по биссектрисе первого координатного угла.

у=х3

Степенная

Проходит через начало координат. Имеет две «ветви», симметричные относительно начала координат.

Информатика

  • Как выполнить автозаполнение диапазона значениями аргумента функции (числами с шагом)?  Ввести значения в две рядом стоящие ячейки, выделить их, навести курсор на правый нижний угол (маленький чёрный крестик) и выделить диапазон, который необходимо заполнить.
  • Какие ссылки могут быть на ячейку при записи формулы? Относительная и абсолютная.
  • В чём смысл относительной ссылки? При автозаполнении имя ячейки меняется, происходит ссылка на другую ячейку.
  • Абсолютной? При автозаполнении имя ячейки не меняется, ссылка остаётся на ту же ячейку. При записи имени абсолютной ячейки используется знак $.
  • Как правильно записать формулу для вычисления значения функции? Формула начинается со знака =, используются знаки математических операций (+, -, *, /, ^) и функции (вставка функций).
  • Значение параметра а, используемое в формуле, занесено в отдельную ячейку, при вычислении значений функции при различных значениях аргумента оно не должно изменяться. Какую ссылку необходимо  применить на данную ячейку. Абсолютную.
  • Какая должна быть ссылка в формуле на ячейку со значением аргумента? Относительная.
  • Как рассчитать значения функции для всех значений аргументов? Применить автозаполнение, но выделить только ячейку с формулой.
  • Алгоритм построения функции? Выделить диапазон, вставка диаграмма, выполнить шаги мастера.

Алгебра

  • Посмотрите внимательно на функции 1 и 2. Как график функции у=2х-5 можно получить из графика функции  у=х? Как график функции у=х2 можно получить из графика функции  у=3х2+1? Попробуйте сформулировать тему урока, объект наших исследований и инструмент, с помощью которого эти исследования будут производиться.

3. Тема и цели урока (Слайды 5-7)
Тема урока: «Математическое моделирование. Преобразования графиков функций». Цель урока: построить и исследовать математическую модель - график функции; провести сравнение графиков функций при  различных значениях параметра а и выявить их преобразования.
Сегодня объектом наших исследований будут графики функций, а инструментом - электронные таблицы MS Exсel.

4. Мотивация учебной деятельности
Построение графиков нескольких функций в одной системе координат позволяет сравнить вид графиков и сделать вывод о том, какие преобразования произошли с графиком при изменении функциональной зависимости. Электронные таблицы помогают выполнить построения графиков быстро и автоматически изменяют вид графиков при введении новых значений параметра а.

5. Ознакомление с инструкцией (Слайды 8-9)
Выполнив построение графиков функций  у=х2, у=х2+а, у=(х+а)2, у=ах2 в одной системе координат на отрезке [-6;6] с шагом 1, используя заготовку, проведите исследование их преобразований при различных параметрах а, занесите в тетрадь результаты исследований по предложенному ниже плану.

Постановка задачи:
Дано: функция у=х2
Построить модель: графики функций у=х2, у=х2+а, у=(х+а)2, у=ах2
Исследовать: преобразования графиков при различных значениях параметра а
Выполнение работы и результаты:

  1. График функции у=х2+а по сравнению с графиком функции у=х2

при а>0 -
при a<0 -

  1. График функции у=(х+а)2 по сравнению с графиком функции у=х2

при а>0 -
при a<0 -

  1. График функции у=ах2 по сравнению с графиком функции у=х2

при |а|<1 -
при |a|>1 -
Убедитесь, что сделанные вами выводы справедливы для любой функции, проведя исследования графиков функций у=2х, у=2х+5, у=2х+1+5; у=log2x, у=log2x-3, у=2log2x. Результаты исследований занесите в тетрадь.
Исследуйте график функции: y=0,5sin(x+p/2), объясните преобразования вида графика функции у=sin x, выводы запишите в тетрадь.

6. Выполнение практической работы

  • Строим графики функций у=х2, у=х2+а в одной системе координат на отрезке [-6;6] с шагом 1, используя заготовку. Сначала подставляем значение параметра: а=5, затем – а=-5, а=2, а=-2.Делаем вывод о преобразованиях графика функции у=х2.
  • Строим графики функций у=х2, у=(х+а)2 в одной системе координат на отрезке [-6;6] с шагом 1, используя заготовку. Сначала подставляем значение параметра: а=2, затем – а=-2, а=5, -5. Делаем вывод о преобразованиях графика функции у=х2.
  • Строим графики функций у=х2, у=ах2 в одной системе координат на отрезке [-6;6] с шагом 1, используя заготовку. Сначала подставляем значение параметра: а=2, затем – а=1/2, а=-2. Делаем вывод о преобразованиях графика функции у=х2.
  • Строим графики функций у=2х, у=2х+5, у=2х+1+5 в одной системе координат на отрезке [-3; 3] с шагом 0,5; у=log2x, у=log2x-3, у=2log2x в одной системе координат на отрезке [0,5; 6,5] с шагом 0,5. Делаем вывод о преобразованиях графиков функций у=2х и у=log2x.
  • Строим графики функций у=sin x и y=0,5sin(x+p/2) в одной системе координат на отрезке [0; 2p] с шагом p/2. Делаем вывод о преобразованиях графика у=sin x.

7. Обсуждение результатов (Слайды 12-25)

  • График функции у=х2+а получается при параллельном переносе вдоль оси ординат графика функции у=х2 на вектор (0;а).
  • График функции у=(х+а)2 получается при параллельном переносе вдоль оси абсцисс графика функции у=х2 на вектор (-а;0).
  • График функции у=ах2 получается растяжением (при ?а?>1) или сжатием (при?а?<1) вдоль оси ординат  в а раз графика функции у=х2.
  • График функции у=2х+5 получается при параллельном переносе вдоль оси ординат графика функции у=2х на вектор (0;5).
  • График функции у=2х+1+5 получается при параллельном переносе вдоль оси абсцисс графика функции у=2х+5 на вектор (-1;0).
  • График функции у=log2x-3 получается при параллельном переносе вдоль оси ординат графика функции у=log2x на вектор (0;-3).
  • График функции у=2log2x получается растяжением (2>1) вдоль оси ординат  в 2 раза графика функции у=log2x.
  • График функции y=0,5sin(x+p/2) получается при параллельном переносе вдоль оси абсцисс графика функции у=sin x на вектор (-p/2;0) и сжатием (1/2<1) вдоль оси ординат  в 2 раза графика функции y=sin(x+p/2).

8. Итоги урока (Слайд 26)
Слайд заполняется в ходе обсуждения итогов урока с учащимися.

Алгебра

  • Исследовали преобразование графиков функций  при разных значениях параметра а, входящего в функциональную зависимость.
  • Попробовали по виду функциональной зависимости определить вид графика.

Информатика

  • Попробовали применить электронные таблицы для построения графиков семейства функций.
  • Исследовали вид графика разных функциональных зависимостей.
  • Убедились: электронные таблицы помогают выполнить построения графиков быстро и автоматически изменяют вид графиков при новых значениях параметра а, что позволяет автоматизировать работу по построению и анализу графиков функций.

Домашнее задание:
Алгебра
Построить графики функций:

  • у=2cos (х-p/2) путём преобразования графика исходной функции у=cos х
  •  путём преобразования графика исходной функции у=1/х

Информатика
Убедиться в правильности преобразований: построить в электронных таблицах графики функций:

  • у=cos х, у=cos (х-p/2),  у=2cos (х-p/2)
  • у=1/х, , ,