Вход в Личный кабинет

Подписка

  • Цветной журнал с электронными приложениями;
  • Бумажные и электронные версии;
  • Скидки постоянным подписчикам.

Вы можете ознакомиться с номером журнала.

Оформить подписку

Биссектрисы параллелограмма. Исследовательский проект

Разделы: Преподавание математики


I. Введение.

1.1. Все ли мы узнали о четырехугольниках?

Изучая тему "Четырехугольники", мы познакомились с их различными видами, узнали свойства и признаки, научились решать задачи. Особенно богат своими удивительными свойствами квадрат. Знакомый нам с детского сада, он, оказывается, объединил в себе свойства прямоугольника, ромба, да и параллелограмма. Решая задачи, мы учились применять полученные знания. Казалось, я знаю все: задачи мне были подвластны, трудностей нет. Однако одна из задач не то, чтобы вызвала у меня затруднения, но очень меня заинтересовала.

№425 ("Геометрия 7-9" Л.С.Атанасян)

Периметр параллелограмма АВСД равен 46см, АВ=14см. какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

1.2 Немного из истории...

Термин "ПАРАЛЛЕЛОГРАММ" греческого происхождения и был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны ещё пифагорейцам.

В "Началах" Евклида доказывается теорема о том, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида.

"ТРАПЕЦИЯ" - слово греческое, означавшее в древности "столик" (по-гречески "трапедзион" означает столик, обеденный столик). В "Началах" термин "трапеция" применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырёхугольник (не параллелограмм). "Трапеция" в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония. Лишь в XVIII веке это слово приобретает современный смысл.

Предположение о том, что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, было известно древним египтянам, оно содержится в папирусе- Ахмеса и фигурирует в виде инскрипции на стенах храма Эдфу в Верхнем Египте. Это предложение было также известно вавилонским землемерам, оно содержится и в трудах Герона Александрийского.

Термин "КВАДРАТ" происходит от латинского "квадратум" ("Квадрате" - сделать четырёхугольным). Первый четырёхугольник, с которым познакомилась геометрия, был квадрат.

Вычислением площадей фигур занимались ещё в древности. Ещё 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. А в древнем Китае мерой площади был прямоугольник.

Древние египтяне пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника и трапеции: для трапеций сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади четырёхугольника со сторонами а, b, с, d (рис.1)

применялась формула , т.е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С её помощью можно вычислить приближённо площадь таких четырёхугольников, у которых углы близки к прямым.

В своих "Началах" Евклид не употреблял слово "площадь", так как он под самим словом "фигура" понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражал результат измерения площади числом, а сравнивал площади разных фигур между собой.

Слово "РОМБ", как и параллелограмм, греческого происхождения, оно означает вращающееся тело. В "Началах" Евклида термин "ромб" встречается только один раз в определениях, свойства ромба вообще не изучаются. Ромб также имел смысл бубна, который в древности был не круглым, а четырёхугольным.

В полученных мною сведениях нигде не встретилось упоминания о биссектрисах параллелограмма.

II. Основная часть

2.1 Формулировка и доказательство свойств биссектрис параллелограмма

Я попыталась подойти к этому вопросу практически. Изображая различные параллелограммы, при помощи транспортира проводила в них биссектрисы, анализировала рисунки и пыталась сделать выводы. Так же я использовала бумажные модели параллелограммов. Проведенная работа позволила мне сформулировать и доказать свойства биссектрис параллелограмма, а так же придумать способ проведения биссектрисы параллелограмма без транспортира.

Свойства биссектрис параллелограмма.

  • Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  • Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом
  • Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны.
  • Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны
  • Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны
  • Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение
  • Биссектрисы соседних углов параллелограмма равны и параллельны
  • Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Доказательства этих свойств я оформила в виде презентации, чтобы затем познакомить с ними других учащихся (Приложение. Презентация)

Изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, И.Ф. Шарыгина, я увидела, что как теоретический материал свойства биссектрис параллелограмма не встречаются, а даются как задачи на доказательство.

А это приводит к тому, что учащиеся не помнят сформулированные в них факты, так как повторяют пройденный материал по выделенным в учебнике формулировкам теорем, свойств геометрических фигур. А знание их очень полезно, так как значительно сокращает время, необходимое для решения задачи.

Формулировки некоторых из этих свойств я встретила позднее в сборниках олимпиадных задач, сборниках задач для подготовки к ЕГЭ, итоговой аттестации в 9 классе.

В книге И.Шарыгина "Математика для поступающих в ВУЗы" я познакомилась еще с одним свойством и его доказательством (стр.176):

Площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами параллелограмма, со сторонами a и b и углом ? , равна 1/2 (a-b)2sin ?.

Так же я встретилась с понятием "биссектриса внешнего угла параллелограмма" и свойства этих биссектрис. Они сформулированы в виде задач и приведены в разделе "Задачи".

III. Практическая часть.

При рассмотрении данной темы меня постоянно мучил один вопрос: почему в учебниках геометрии так мало задач на применение свойств биссектрис параллелограмма, а в сборниках для подготовки к экзаменам их довольно много? За разъяснениями я обратилась к учителю математики Никитиной Г.И.

Введение в школьный курс новой формы экзамена, в форме ЕГЭ, приводит к тому , что у учащихся должно формироваться целостное представление о математике. Применить свои знания учащимся необходимо по двум предметам: алгебре и началам анализа и геометрии. Однако при подготовке к экзамену в форме ЕГЭ очень ярко видны пробелы изучения геометрии в школе. На экзаменах по математике задачи по геометрии являются самыми трудными заданиями. Задачи по геометрии требуют применения сведений из разных разделов курса планиметрии и стереометрии. Таким образом, для их решения нужно ориентироваться во всей совокупности знаний о свойствах рассматриваемой фигуры, которые могли изучаться в разных классах основной и старшей школы. Решение задач требует комплексного применения 2 - 3 геометрических фактов , свойств из разных разделов курса.

Кроме того задания, которые используются и на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы, состоят из задач в которых ситуация применения геометрических фактов не является для учащихся привычной и отработанной в ходе обучения. Проанализировав решение задач ЕГЭ, можно сказать, что в школе очень многое изучается как бы вскользь, чуть затрагивая свойство или теорему. Анализ решений задач привел к необходимости анализа школьных учебников и по такому аспекту, как построение теоретического материала. Работая и изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, И.Ф. Шарыгина, можно сказать, что в них к теоретическим фактам (теоремам) отнесены в основном только те утверждения, которые необходимы для построения теории. При этом многие утверждения, весьма полезные для решения большого числа задач, даются как задачи на доказательство. К таким теоретическим фактам (не приведенным в учебниках) можно отнести, например, свойства биссектрисы угла параллелограмма.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.

Так в учебнике под редакцией Л.С. Атанасяна приведена задача на выявл