Вход в Личный кабинет

Подписка

  • Цветной журнал с электронными приложениями;
  • Бумажные и электронные версии;
  • Скидки постоянным подписчикам.

Вы можете ознакомиться с номером журнала.

Оформить подписку

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Разделы: Преподавание математики


Цели: формирование знаний о возможных вариантах формул для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии; развитие умений сравнивать, сопоставлять, обобщать, выявлять закономерности; воспитание уважительного отношения к труду как умственному, так и физическому; показ тесной связи математики с физикой, расширение кругозора обучающихся.

Ход урока

1. Фронтальный опрос – подготовка к восприятию нового материала.

Что называется числовой последовательностью? Приведите примеры числовых последовательностей.

Какие бывают последовательности? (классификация: конечная, бесконечная, возрастающая, убывающая). Приведите примеры таких последовательностей.

Перечислите способы задания последовательностей. В чём их отличие? Какой из способов наиболее удобен и широко применим и почему?

2. Устная работа.

Задание №1.

Дана числовая последовательность (Сn): 17, 14, 11, 8, 5, 2. Дайте полную характеристику этой последовательности (конечная, убывающая,…). Выясните, является ли она арифметической прогрессией и объясните почему? (Да, так как по определению арифметической прогрессии каждый член данной последовательности, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом -3. Это число – разность арифметической прогрессии.). Задайте эту последовательность тремя способами:

  1. Рекуррентный: С1=17, Сn+1= Сn–3 – рекуррентная формула.
  2. Аналитический: Сn1–3(n – 1) – формула n – го члена.
  3. Описательный: пользуясь определением арифметической прогрессии.

3. Переход к изучению нового материала.

Задача. (См. приложение 1, слайд №2) Садовнику нужно изготовить лестницу для сбора яблок из 13 ступеней так, чтобы длина каждой следующей ступени была меньше предыдущей на 2 см. Какой длины брусок нужно взять садовнику для этих перекладин, если первая снизу длиной 50 см?

На слайде №3 демонстрируется садовая лестница.

Создана проблемная ситуация. Обучающиеся понимают, что для ответа на вопрос задачи необходимо найти сумму 13-ти слагаемых, а сначала сами слагаемые: 50, 48, 46, 44, … – последовательность, которая является арифметической прогрессией по определению. Это долго и нерационально. Поэтому надо бы вывести формулу для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.

4. Объяснение нового материала.

Записываем в тетрадях тему урока: Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Каждую ступеньку можно обозначить как члены арифметической прогрессии: а1, а2,…, а13.

Появляется вторая лестница (слайд №4) и обучающиеся замечают некоторую закономерность: а=…=а

Всего 13 пар слагаемых, сумма пар одинакова.

Используя это свойство, найдём сумму длин ступенек 2 лестниц

S = (а + а)13 и поделим на 2.

494 см = 4 м 94 см

Ответ: садовнику понадобится брусок длиной 4м 94 см.

Таким образом, задача решена и для любого числа n получена формула

Её удобно использовать, если известны а1 и аn. А если известны а1 и d, то лучше зная, что аn = а + d(n – 1), получить другую формулу (это могут сделать сами обучающиеся).

Sn=

Sn=

Можно пойти другим путём и оставить вывод второй формулы до решения задачи №1. Тогда перед обучающимися снова будет стоять проблема, и они воочию убедятся в необходимости получения и применения новой формулы. Также полезно предложить обучающимся для использования в решении задач следующие формулы:

5. Первичное осмысление нового материала.

Задание №2.

Вычислите длину необходимого садовнику бруска, используя 2-ую формулу.

Вывод: что необходимо знать для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии?

6. Закрепление изученного материала.

№369(б).

Задача №1.

Тело в первую секунду прошло 15 м, а в каждую следующую на 2 м больше, чем в предыдущую. Какой путь прошло тело за 20 с?

Прочитав задачу, обучающиеся понимают, что необходимо вычислить сумму n первых членов арифметической прогрессии, в которой a1 = 15, d = 2, n =20. Решение оформляется следующим образом.

Решение: выбираем удобную формулу и записываем её общий вид:

Sn=

S20 = = (30 + 2= 680

Ответ: 680 м – путь тела за 20 с.

Задача №2.

Тело падает с башни, высота которой 26 м. Первую секунду оно проходит 2 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Сколько секунд пройдёт до падения тела?

Анализируя условие задачи можно задать 9-тиклассникам вопрос из области физики. Почему тело во время падения за каждую последующую секунду проходит путь больше, чем за предыдущую? Так как они уже знакомы с равноускоренным движением и причиной падения тел на Землю, то могут дать полный ответ на поставленный вопрос. Для активизации внимания обучающихся полезно показать слайд №5, на котором изображена Пизанская башня, можно сказать и несколько слов о ней, дать возможность сделать короткое сообщение кому-то из обучающихся (прямо на уроке спросить, что им известно о ней?).

Решение: Sn =

26 =

52 = (4 + 3n – 3)n

52 = 3n2 + n

3n2 + n – 52 = 0

D = 625 = 252 > 0 =>2 корня

n1,2 =

n1 = 4, n2 = – 4

Число секунд не может быть отрицательным числом, значит n = 4.

Ответ: тело упадёт через 4 с.

Задача №3. Том Сойер красил забор длиной 105 м, причем день за днем количество выкрашенного за день уменьшалось на одну и ту же величину. За сколько дней был выкрашен забор, если за первые три дня Том выкрасил 36 м забора, а за последние три дня – 27 м?

Решение:

Ответ: 10 дней.