Вход в Личный кабинет

Подписка

  • Цветной журнал с электронными приложениями;
  • Бумажные и электронные версии;
  • Скидки постоянным подписчикам.

Вы можете ознакомиться с номером журнала.

Оформить подписку

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Разделы: Преподавание математики


Тема урока: Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели и задачи урока

Образовательные:

- на основе повторения и обобщения ранее изученного материала ввести понятия косинуса, синуса, тангенса и котангенса   произвольного угла;
- в ходе знакомства с новым материалом сформировать умения и навыки нахождения значений выражений, содержащих синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360° .

Развивающие:

- развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в различных  ситуациях;
- находить решения в различных проблемных ситуациях;
- развивать грамотную математическую речь учащихся, умение давать лаконичные формулировки.

Воспитательные:

- воспитывать у учащихся аккуратность;
- умение слушать;
- культуру поведения;
- чувство ответственности.

Оборудование урока: компьютер, мультимедийный проектор, экран, листы с печатной основой, карточки.

Содержание урока

 

Деятельность учителя

Деятельность учеников

1.

Организационный этап

Занятие сопровождается компьютерной Презентацией.

Задачи: подготовка учащихся к работе на уроке, психологический настрой учащихся, организация внимания;

- взаимное приветствие;
- проверка подготовленности учащихся к уроку.

Готовятся к уроку, приветствуют учителя.

 

2.

Этап проверки домашнего задания

Задача: проверить правильность, полноту и сознательность выполнения домашнего задания всем классом.

Учащиеся сдают домашние задания, выполненные по карточкам. (Приложение 1)

3.

Этап всесторонней проверки знаний

Задача: проверить знания учащихся по теме «Угол поворота», «Измерение углов поворота в радианах»; закрепление, уточнение и систематизация знаний учащихся.

Фронтальная устная работа по слайдам презентации.

Слайд 2: Выразить угол в радианах с помощью π.

Выражают градусную меру углов в радианах с помощью π: 45°, 150°, 90°,360°, 30°, 270°,135°, 60°, 180°, -210°, -720°

Слайд 3: Найти градусную меру угла по заданной радианной.

Находят градусную меру угла по заданной радианной: ; ; 3π; ; .

Слайд 4: Определить, какой координатной четверти принадлежит угол.

Определяют, какой координатной четверти принадлежит угол: 45°; -80°; 150°; -120°; 250°; -200°; 400°; 820°; -460°; 450°.

4.

Этап усвоения новых знаний

Задача: изучение понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла α; нахождение области определения и области значений выражений sin α, cos α, tg α, ctg α.

 

Слайд: Тема нового материала: «Определение косинуса, синуса, тангенса и котангенса». В курсе геометрии были определены косинус, синус и тангенс угла α при 0° ≤ α ≤ 180°. Распространим эти определения на случай произвольного угла α. Кроме того, введем понятие котангенса угла α.

 

Слайд 6: Пусть при повороте около точки О на угол α начальный радиус ОА переходит в конечный радиус ОВ.

Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

Записывают определение на лист с печатной основой. (Приложение 2)

Слайд 7: Синусом угла α называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

Записывают определение на лист с печатной основой.

Слайд 8: Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

Записывают определение на лист с печатной основой.

Слайд 9: Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

Записывают определение на лист с печатной основой.

Слайд 10: Докажем, что sin α, cos α, tg α, ctg α зависят только от угла α и не зависят от радиуса. Рассмотрим на примере sin α и cos α. Докажем, что для любого угла α отношение  и  не зависят от длины радиуса, а зависят только от угла α.

Принимают участие в доказательстве (проводится в форме беседы).

Слайд 11:

1. Возьмем два начальных радиуса ОА1 = R1, ОА2 = R2.

2. Повернем их около точки О на один и тот же угол α.

3. Получим радиусы ОВ1 и ОВ2, В11; у1), В22; у2).

4. Построим прямоугольные треугольники ОВ1С1 и ОВ2С2

5. Треугольники ОВ1С1 и ОВ2С2 подобны по двум углам.

1. Сколько окружностей надо построить? (Две.)

2. Что можно сказать о длине радиусов ОВ1 и ОВ2? (ОВ1= R1, ОВ2 = R2)

3. Найдите длины сторон В1С1 и В2С2, ОС1 и ОС2 2  и х1; у2  и у1)

4. Что можно сказать о прямоугольных треугольниках ОВ1С1 и ОВ2С2? (Они подобны.)

5. По какому признаку? (По двум углам.)

Слайд 12:

6. Из подобия треугольников (с учетом знака координат точек В1 и В2) следует, что  и . Эти равенства верны и тогда, когда точки В1 и В2 попадают на какую-либо из осей.

7. Таким образом, для любого угла α отношение  и  не зависят от длины радиуса, а зависят только от угла α.

6. Равенство каких отношений следует из подобия треугольников ОВ1С1 и ОВ2С2? ( и )
7. Какой вывод можно сделать? (Для любого угла α отношение  и  не зависят от длины радиуса, а зависят только от угла α.)

Слайд 13: Область определения выражений sin α, cos α, tg α, ctg α.

1. Выражения sin α и cos α определены при любом α, так как для любого угла поворота можно найти соответствующие значения  дробей  и . То есть областью определения этих выражений является промежуток (-∞; +∞).

Отвечают на вопросы учителя, делают выводы, заполняют таблицу на листе с печатной основой.

1. Всегда ли определена дробь  (Да, т.к. R≠0.)
2. Что можно сказать о выражении cos α? (Тоже всегда определено.)

3. Вывод? (Выражение cosα определено при любом α.)

4. Всегда ли определена дробь  (Да, т.к. R≠0.)

5. Что можно сказать о выражении sin α? (Тоже всегда определено.)

6. Вывод? (Выражение sin α определено при любом α.)

7. То есть областью определения этих выражений является промежуток? (-∞; +∞)

2. Выражение tg α имеет смысл при любом α , кроме углов поворота вида α =  где n – целое число, т.к. для этих углов не имеет смысла дробь .

1. Всегда ли определена дробь ? (Нет, не определена для углов поворота, у которых координата х равна 0.)

2. Какие это углы? (Углы вида α = где n – целое число.)

3. При каких значениях α имеет смысл выражение tg α ? (При любом α , кроме углов поворота вида α =  n – целое.)

3. Выражение сtg α имеет смысл при любом α , кроме углов поворота вида α = , где n – целое число, т.к. для этих углов не имеет смысла дробь .

1. Всегда ли определена дробь ? (Нет, не определена для углов поворота, у которых координата у равна 0.)

2. Какие это углы? (Углы вида α  = , где n – целое число.)

3. При каких значениях α имеет смысл выражение сtg α ? (При любом α , кроме углов поворота вида α = , где n – целое.)

Область значений выражений sin α, cos α, tg α, ctg α

1. Областью значений синуса и косинуса является промежуток , т.к. при изменении угла поворота координаты х и у изменяются в пределах от –R до R, а значит, отношения  и  изменяются в пределах от -1 до 1.

1. В каких пределах изменяются координаты х и у при изменении угла поворота? (Координаты х и у изменяются в пределах от –R до R.)

2. В каких пределах изменяются отношения  и ? (От -1 до 1.)

3. Значит, областью значений выражений sin α и cos α является промежуток? ()

2. Областью значений тангенса и котангенса является промежуток (-∞; +∞)

 

5.

Этап закрепления новых знаний:

Задача: закрепить в памяти учащихся знания и умения, необходимые им для самостоятельной работы по новому материалу; сформировать умения и навыки нахождения значений выражений, содержащих синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°.

1. Рассмотрим примеры вычисления значений выражений sin α, cos α, tg α, ctg α для некоторых углов поворота.

- для углов 30°, 45°, 60° знакомы нам из курса геометрии.

Слайд 14

- при повороте на угол α =180° точка В имеет координаты( -R; 0). Значит,
sin 180° = =0; cos 180° = =-1; tg 180° = = 0; сtg 180° не имеет смысла, т.к. не имеет смысла дробь .

2. Заполнить таблицу на раздаточном листе. Проверка ответов по слайду презентации.

Слайд 15

Резервные номера: № 1028

Отвечают на вопросы учителя, вместе разбирают пример при α = 180° , заполняют таблицу значений sin α, cos α, tg α, ctg α на листе с печатной основой. Проверяют отве