Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Деятельность учителя

Деятельность учеников

1.

Организационный этап

Занятие сопровождается компьютерной Презентацией.

Задачи: подготовка учащихся к работе на уроке, психологический настрой учащихся, организация внимания;

- взаимное приветствие;
- проверка подготовленности учащихся к уроку.

Готовятся к уроку, приветствуют учителя.

2.

Этап проверки домашнего задания

Задача: проверить правильность, полноту и сознательность выполнения домашнего задания всем классом.

Учащиеся сдают домашние задания, выполненные по карточкам. (Приложение 1)

3.

Этап всесторонней проверки знаний

Задача: проверить знания учащихся по теме «Угол поворота», «Измерение углов поворота в радианах»; закрепление, уточнение и систематизация знаний учащихся.

Фронтальная устная работа по слайдам презентации.

Слайд 2: Выразить угол в радианах с помощью π.

Выражают градусную меру углов в радианах с помощью π: 45°, 150°, 90°,360°, 30°, 270°,135°, 60°, 180°, -210°, -720°

Слайд 3: Найти градусную меру угла по заданной радианной.

Находят градусную меру угла по заданной радианной: ; ; 3π; ; .

Слайд 4: Определить, какой координатной четверти принадлежит угол.

Определяют, какой координатной четверти принадлежит угол: 45°; -80°; 150°; -120°; 250°; -200°; 400°; 820°; -460°; 450°.

4.

Этап усвоения новых знаний

Задача: изучение понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла α; нахождение области определения и области значений выражений sin α, cos α, tg α, ctg α.

Слайд: Тема нового материала: «Определение косинуса, синуса, тангенса и котангенса». В курсе геометрии были определены косинус, синус и тангенс угла α при 0° ≤ α ≤ 180°. Распространим эти определения на случай произвольного угла α. Кроме того, введем понятие котангенса угла α.

Слайд 6: Пусть при повороте около точки О на угол α начальный радиус ОА переходит в конечный радиус ОВ.

Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

Записывают определение на лист с печатной основой. (Приложение 2)

Слайд 7: Синусом угла α называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

Записывают определение на лист с печатной основой.

Слайд 8: Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

Записывают определение на лист с печатной основой.

Слайд 9: Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

Записывают определение на лист с печатной основой.

Слайд 10: Докажем, что sin α, cos α, tg α, ctg α зависят только от угла α и не зависят от радиуса. Рассмотрим на примере sin α и cos α. Докажем, что для любого угла α отношение  и  не зависят от длины радиуса, а зависят только от угла α.

Принимают участие в доказательстве (проводится в форме беседы).

Слайд 11:

1. Возьмем два начальных радиуса ОА₁ = R₁, ОА₂ = R₂.

2. Повернем их около точки О на один и тот же угол α.

3. Получим радиусы ОВ₁ и ОВ₂, В₁(х₁; у₁), В₂ (х₂; у₂).

4. Построим прямоугольные треугольники ОВ₁С₁ и ОВ₂С₂

5. Треугольники ОВ₁С₁ и ОВ₂С₂ подобны по двум углам.

1. Сколько окружностей надо построить? (Две.)

2. Что можно сказать о длине радиусов ОВ₁ и ОВ₂? (ОВ₁= R₁, ОВ₂ = R₂)

3. Найдите длины сторон В₁С₁ и В₂С₂, ОС₁ и ОС₂ (х₂  и х₁; у₂  и у₁)

4. Что можно сказать о прямоугольных треугольниках ОВ₁С₁ и ОВ₂С₂? (Они подобны.)

5. По какому признаку? (По двум углам.)

Слайд 12:

6. Из подобия треугольников (с учетом знака координат точек В₁ и В₂) следует, что  и . Эти равенства верны и тогда, когда точки В₁ и В₂ попадают на какую-либо из осей.

7. Таким образом, для любого угла α отношение  и  не зависят от длины радиуса, а зависят только от угла α.

6. Равенство каких отношений следует из подобия треугольников ОВ₁С₁ и ОВ₂С₂? ( и )
7. Какой вывод можно сделать? (Для любого угла α отношение  и  не зависят от длины радиуса, а зависят только от угла α.)

Слайд 13: Область определения выражений sin α, cos α, tg α, ctg α.

1. Выражения sin α и cos α определены при любом α, так как для любого угла поворота можно найти соответствующие значения  дробей  и . То есть областью определения этих выражений является промежуток (-∞; +∞).

Отвечают на вопросы учителя, делают выводы, заполняют таблицу на листе с печатной основой.

1. Всегда ли определена дробь  (Да, т.к. R≠0.)
2. Что можно сказать о выражении cos α? (Тоже всегда определено.)

3. Вывод? (Выражение cosα определено при любом α.)

4. Всегда ли определена дробь  (Да, т.к. R≠0.)

5. Что можно сказать о выражении sin α? (Тоже всегда определено.)

6. Вывод? (Выражение sin α определено при любом α.)

7. То есть областью определения этих выражений является промежуток? (-∞; +∞)

2. Выражение tg α имеет смысл при любом α , кроме углов поворота вида α =  где n – целое число, т.к. для этих углов не имеет смысла дробь .

1. Всегда ли определена дробь ? (Нет, не определена для углов поворота, у которых координата х равна 0.)

2. Какие это углы? (Углы вида α = где n – целое число.)

3. При каких значениях α имеет смысл выражение tg α ? (При любом α , кроме углов поворота вида α =  n – целое.)

3. Выражение сtg α имеет смысл при любом α , кроме углов поворота вида α = , где n – целое число, т.к. для этих углов не имеет смысла дробь .

1. Всегда ли определена дробь ? (Нет, не определена для углов поворота, у которых координата у равна 0.)

2. Какие это углы? (Углы вида α  = , где n – целое число.)

3. При каких значениях α имеет смысл выражение сtg α ? (При любом α , кроме углов поворота вида α = , где n – целое.)

Область значений выражений sin α, cos α, tg α, ctg α

1. Областью значений синуса и косинуса является промежуток , т.к. при изменении угла поворота координаты х и у изменяются в пределах от –R до R, а значит, отношения  и  изменяются в пределах от -1 до 1.

1. В каких пределах изменяются координаты х и у при изменении угла поворота? (Координаты х и у изменяются в пределах от –R до R.)

2. В каких пределах изменяются отношения  и ? (От -1 до 1.)

3. Значит, областью значений выражений sin α и cos α является промежуток? ()

2. Областью значений тангенса и котангенса является промежуток (-∞; +∞)

5.

Этап закрепления новых знаний:

Задача: закрепить в памяти учащихся знания и умения, необходимые им для самостоятельной работы по новому материалу; сформировать умения и навыки нахождения значений выражений, содержащих синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°.

1. Рассмотрим примеры вычисления значений выражений sin α, cos α, tg α, ctg α для некоторых углов поворота.

- для углов 30°, 45°, 60° знакомы нам из курса геометрии.

Слайд 14

- при повороте на угол α =180° точка В имеет координаты( -R; 0). Значит,
sin 180° = =0; cos 180° = =-1; tg 180° = = 0; сtg 180° не имеет смысла, т.к. не имеет смысла дробь .

2. Заполнить таблицу на раздаточном листе. Проверка ответов по слайду презентации.

Слайд 15

Резервные номера: № 1028

Отвечают на вопросы учителя, вместе разбирают пример при α = 180° , заполняют таблицу значений sin α, cos α, tg α, ctg α на листе с печатной основой. Проверяют ответы по слайду презентации.

1. Назовите координаты точки в при повороте на угол α = 180°? (Точка В имеет координаты(-R; 0).)
2. Что такое sin α ? (sin α = )
3. Если подставить координаты точки В, то какое выражение получим? (sin 180° = =0)
Самостоятельно проводят аналогичные рассуждения для cos 180°, tg 180°, сtg 180°.

Проверка правильности заполнения таблицы по слайду презентации.

Для учеников, быстро справившихся с заданием: № 1028.

Задание на листе с печатной основой. (Приложение 3)

Проверка по слайду презентации. Слайд 16

Весь класс выполняет задание на листе с печатной основой. (Приложение 3)

Проверка по слайду презентации.

6.

Этап подведения итогов урока, информации учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

Задачи:

- подвести итоги урока; выставить оценки за работу на уроке;

- сообщить учащимся о домашнем задании; разъяснить методику его выполнения; мотивировать необходимость его выполнения.

Слайд 17

Подводим итог урока, предлагая учащимся вопросы:

1. Сформулировать определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
2. Назвать область определения выражений sin α, cos α, tg α, ctg α.
3. Назвать область значений выражений sin α, cos α, tg α, ctg α.

Задание на дом

Пункт 45, № 1026, 1027.

Ученики отвечают на вопросы учителя.

Записывают домашнее задание в дневники: пункт 45, № 1026, 1027.