Сборник задач по математике "Математика и Царское Село". Часть III

Разделы: Математика


Часть III

См. Приложение 3.

9 класс

ГОСТИНЫЙ  ДВОР

рис.1Гостиный двор находится на центральной площади города.

В 1818 году главноуправляющий Царского Села генерал Я. В. Захаржевский, разрешил перенести сюда временные ярмарочные лавочки от Знаменской церкви.

В 18… году на месте деревянных лавочек архитектор В.И.Гесте построил деревянный Гостиный двор.

В 18… году он сгорел.

рис.2В 18… году по проекту архитектора Н.В.Никитина было построено каменное здание Гостиного двора, представляющее собой комплекс соединенных воедино помещений с просторными торговыми залами.

В 18… году по проекту А. Р. Баха произведен капитальный ремонт комплекса. Перед галереей пристроили широкую террасу, на которой высадили деревья, а во внутреннем дворе возвели каменные торговые ряды.

Задача.

Двузначные числа, на которые оканчиваются указанные выше годы, составляют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 18 (число, на которое оканчивается год переноса ярмарочных лавочек от Знаменской церкви), а сумма восьмидесяти одного первого члена этой прогрессии равна 4698.

Найти:

а8 – постройка  деревянного  Гостиного  двора 18…;

а45 – сгорел  деревянный  Гостиный  двор 18…;

а49 – постройка  каменного  Гостиного  двора 18 …;

а81 – капитальный  ремонт  Гостиного  двора  18….

Составила Потёмкина Н.Б. 

ТРИУМФАЛЬНЫЕ СООРУЖЕНИЯ В ЦАРСКОМ СЕЛЕ

Строительство триумфальных сооружений в Царском Селе имело особую традицию. Сначала появились красивые деревянные арки по случаю победы над турками, чумой, французами. Затем по указанию членов царской семьи обветшалое сооружение разбиралось, и на его месте придворный архитектор возводил подобие древних

триумфальных арок. Так появились Орловские ворота из мрамора и гранита по проекту Ринальди.  Чугунные ворота «Любезным моим сослуживцам» - идея Александра Первого в память спутников в заграничном походе 1813 – 1814 годов. Сразу нескольким памятным датам посвящалось  строительство Египетских ворот в деревне Кузьминки, пока архитектор Менелас  не получил указание чертить проект в египетском стиле. Их вычурность столько раз напоминала о несовершенстве замысла, что в 1916 году возник проект возведения каменных Московских ворот в русском стиле в память Великой Мировой войны. Все перечисленные сооружения сохранились и были причислены к памятникам классицизма.

МОСКОВСКИЕ (ФРИДЕНТАЛЬСКИЕ) ВОРОТА

рис.3Фридентальские ворота названы по имени немецкой колонии Фриденталь, заселенной переселенцами герцогства Бергского.

Московские (Фридентальские) ворота построены в 1830-1831 годах архитектором В.М.Горностаевым.

Ворота находятся на месте прежней городской заставы. Такие заставы стояли на всех въездах в Царское Село в соответствии с указом Павла I, изданным в 1797 году:

рис.4"...При въезде в Село Царское построить по караулке, по две будки и по шлагбауму...".  Деревянная караулка пришла в негодность и в 1830 году была разобрана. При возведении Московских ворот архитектор – проектировщик предполагал построить одну каменную кордегардию  и шлагбаум. Но в 1829 году было решено выделить деньги и на вторую кордегардию, устроив между ними большие створчатые ворота.

рис.5 Фасады обеих кордегардий были созданы одинаковыми. Гладкие плоскости стен венчает тяжелый карниз. Стены нижнего яруса обработаны прямоугольными нишами, по краям которых установлены колонны. Помещения второго этажа освещены небольшими полуциркульными окнами. Фасады украшают круглые лепные щиты, мечи, перевитые лентами и гирляндами. Высота кордегардий …… метра, а длина и ширина основания ……  метра.

Задача 1.

Площадь боковой поверхности каждой кордегардии приблизительно равна 563,04 м2.  Вычислите сторону основания и высоту кордегардии, если известно, что она представляет собой параллелепипед, в основании которого лежит квадрат, а высота на 1,4 м больше, чем сторона основания.

Составила Потёмкина Н.Б.

Чугунная решетка ворот с двумя объемными изображениями государственного герба России выполнена на заводе К. Грейсона в Санкт-Петербурге по рисунку архитектора В. А. Глинки. Это был дар Германии, которую Россия дважды спасал от разгрома в Наполеоновских войнах. Часть ворот, закрывающая проезжую часть, в настоящее время не сохранилась. Какова же была ее ширина?

Задача 2.

Вычислите ширину проезжей части, если известно, что число, соответствующее половине этой величины, является третьим членом убывающей арифметической прогрессии. Первый член – 9,2 (ширина кордегардии), а сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 18,45.

Составила Потёмкина Н.Б.

ЕГИПЕТСКИЕ (КУЗЬМИНСКИЕ) ВОРОТА.

рис.6Возникновение ворот связано с расширением Царского Села.

В 1827–1830 гг. на месте Кузьминской заставы по проекту Менеласа была устроена круглая площадь и сооружены ворота, получившие название Египетских.

рис.7Две громадных кордегардии пирамидальной формы, сужающиеся кверху, с широкими изогнутыми карнизами из чугуна, что придает небольшой постройке монументальный вид.

Кордегардии сложены из кирпича (в каждый пилон было уложено до 65 тыс. штук кирпича). Плоскости стен караулок облицованы чугунными плитами с рельефными изображениями различных сцен из мифологии и быта древних египтян (в общей сложности 37 сюжетов). Модели для рельефов вылепил В. И. Демут-Малиновский по рисункам В. Додонова. Барельефы расположены в шесть рядов, причем высота каждого последующего ряда меньше, чем предыдущего. Какова же высота фасадной части кордегардии?

Задача 1.

Фасад кордегардии Египетских ворот (без карниза), представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями приблизительно равными 6,65 и 4,75 м. Вычислите высоту фасадной части, если известно, что боковая сторона трапеции составлена из 7 отрезков, один из которых имеет длину 1,1 м, второй – 2 м, а длины остальных пяти представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, первый член  которой равен 1,5 м, а второй – 1,375 м. (Ответ округлите до десятых).

Составила Потёмкина Н.Б.

рис.8Вплотную к кордегардиям стоят чугунные литые гермы (стойка, столб, завершенный мужским бюстом или головой) со скульптурными изображениями фараонов.

На другие гермы, поставленные сбоку от караулок, опирается арка в виде пальмовых ветвей. Пространство между гермами забрано решеткой из прутьев в виде стеблей лотоса, завершающихся цветами. Какова же высота гермы?

Задача 2.

Расстояние между кордегардиями равно 20 м. Вычислите высоту гермы, если известно, что она в 2 раза меньше расстояния между арками и не превышает 5 м. Площадь одной части решётки - 24,84 м2.   

Составила Потёмкина Н.Б.

ЯНТАРНАЯ  КОМНАТА

рис.9Проект уникального Янтарного кабинета, со стенами, облицованными мозаикой из прозрачного полированного янтаря, был выполнен архитектором и скульптором А. Шлютером.

В 1716 г. Король Пруссии Фридрих-Вильгельм I подарил Янтарный кабинет Петру I. Смонтировано панно Кабинета было в одном из помещений Зимнего дворца.

При перестройке Зимнего дворца, Янтарная комната была в 1750-х гг. перевезена в Царское село и смонтирована в Екатерининском дворце.

Во время оккупации Пушкина янтарные панели были демонтированы гитлеровцами и увезены в Германию, где они бесследно исчезли. Имеются сведения, что панно сгорели в 1945г. в Кенигсберге, после налета авиации союзников.

Задача.

Два реставратора работают над восстановлением Янтарной комнаты. После 45 минут совместной работы первый реставратор был переведен на другую работу, и второй закончил оставшуюся часть работы за 2 часа 15 минут. За какое время мог бы выполнить работу каждый реставратор в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 час больше, чем первому?

Составила Федотова О.Я.

В течение более 20 лет российские мастера-реставраторы, используя сохранившиеся фотографии и документы, воссоздавали Янтарную комнату. И  весной 2003 г., в дни празднования 300-летия Санкт-Петербурга,  перед посетителями открылось возрожденное янтарное чудо.

ПРОГУЛКА В ЭКИПАЖЕ

рис.10 1880–1890 г.

Для того чтобы добраться от Железнодорожного вокзала до Гостиного двора, надо нанять экипаж. Выясните, какой из экипажей (крытый или открытый) можно нанять, имея 30 копеек. Для этого решите задачу.

 Задача.

Задана геометрическая прогрессия, первый член, которой равен количеству денег, необходимых для оплаты проезда в открытом экипаже, а второй – для оплаты проезда в крытом экипаже. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 105, а знаменатель – 2.

Составила Потёмкина Н.Б.

10 класс

ЧЕСМЕНСКАЯ КОЛОННА

рис.11В центре Большого пруда возвышается Чесменская колонна, выполненная по проекту архитектора А. Ринальди. Колонна сооружена в 1771–1778 годах в честь побед в морских сражениях над флотом "блистательной Порты" (турецким флотом).

Задача.

Перед транспортировкой Чесменскую колонну, ещё не украшенную рострами и грозным орлом, «одели» в деревянный короб в форме прямой призмы. Найти отношение объёмов колонны и короба.                                                      

Составила Тихонова М.Н.

После Чесменского сражения адмирал Спиридонов послал донесение президенту Адмиралтейств-коллегии: «Честь Всероссийскому флоту! С 25 на 26 (июня 1770г.) неприятельский военный флот атаковали, разбили, разломали, сожгли, на небо пустили, потопили и в пепел обратили…».

Недаром на наградной медали в честь памятного события изображён горящий турецкий флот и написано всего одно слово: «Был».

ПИРАМИДА

рис.12На берегу пруда среди окружающей зелени возвышается один из павильонов пейзажной части Екатерининского парка – Пирамида.

Первую пирамиду в Царском Селе построили в 1770–1772 годах по проекту архитектора В. Неелова. Срок строительства – около двух лет – на удивление велик для такого небольшого сооружения. Строили пирамиду тщательно, с соблюдением всех строительных  правил и магических ритуалов.

В 1773 году по углам пирамиды были установлены четыре колонны, вытесанные из мрамора. Как выглядела первая царскосельская пирамида – доподлинно неизвестно. 1782г. она была разобрана и отстроена в 1783 году заново Ч. Камероном.

В начале XIX века пирамиду называли Египетской. Пирамида сложена из кирпича, облицована плитами гранита. Вход, расположенный в её лицевой грани, ведет во внутреннее помещение, перекрытое сферическим куполом. В стенах зала внутри

Пирамиды сделаны ниши для траурных ваз-пеплохранительниц. Здесь в стенных нишах была размещена коллекция античных урн и ваз. Такой тип павильона, восходящий к древнеегипетским надгробиям, был выбран потому, что с противоположной от входа стороны, у подножия Пирамиды, погребены три любимые собачки Екатерины II – Том-Андерсон, Земира и Дюшес.

Задача.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол со стороной основания, приблизительно равный 68°. Сторона основания равна 7,6 м. Найдите высоту пирамиды.                                                                      

Составила Потёмкина Н.Б.

Пирамида – интересное по замыслу парковое сооружение; ее позеленевшая, обомшелая поверхность придает строению вид древнего мавзолея.

ТУРЕЦКАЯ БАНЯ

рис.13На мысе, вдающемся в Большой пруд, расположен изящный павильон, увенчанный двумя куполами и башенкой в виде минарета так называемая Турецкая баня. Павильон был построен в 1852 году по велению Николая I в память о русско-турецкой войне 1828–1829 годов и использовался как купальня.

Задача.

Рассчитайте, сколько надо взять краски для косметического ремонта стен Турецкой бани в Екатерининском парке. (Расход краски q = 0,2 кг/кв. м)

Составила Федотова О.Я.

Многие элементы отделки внутреннего убранства павильона были привезены в качестве трофея из дома турецкой султанши в Адрианополе. Стены четырех небольших комнат облицованы цветной мозаикой из искусственного мрамора и украшены лепным живописным орнаментом. В центральном восьмиугольном зале находился бассейн с устроенным в центре фонтаном. Там же были установлены привезенные из Турции мраморные фонтанные доски с высеченными на них стихами. Во время войны 1941–1945 годов павильон был почти полностью разрушен.

СОФИЙСКИЙ  БУЛЬВАР

рис.14От станции железной дороги у самой площади, куда выходят пассажиры, прибывающие в Царское Село, начинается широкий бульвар, устроенный в 1830 году, по границе нового квартала города, возникшего при постройке железной дороги. По мысли Императора Александра I, все Царское Село должно было быть окружено бульваром, по которому, выехав из одного конца старого Екатерининского парка, минуя городские улицы, можно было бы объехать весь город и вернуться во дворец через Александровский парк.

Задача 1.

Прошла реконструкция Софийского бульвара площадью 2,6 га. Завезли грунт пятитонными машинами. Работали 20 дней, 9 машин по 5 рейсов каждая машина в день. Плотность грунта 1500 кг/куб.м. Определите высоту подъема грунта.

Составила Федотова О.Я.

 

Задача 2.

Сколько грунта завезли на Софийский бульвар, если  его площадь 2,6 га и грунт насыпали на высоту 12 см? Плотность грунта 1500 кг/куб.м.

Составила Федотова О.Я.

ПОСЛЕДСТВИЯ ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ВОЙНЫ

рис.15Великая Отечественная война – время тяжелейших  испытаний для Царскосельского ансамбля. Более двух лет находившийся на оккупированной территории, он был разрушен и разграблен, значительная часть музейных коллекций – утрачена.

Задача.

Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг?

Составила Федотова О.Я.