Цикл уроков по геометрии "Аксиомы стереометрии"

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Урок 1. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии

Цели урока:

  1. ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии;
  2. изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве;
  3. учить применять аксиомы стереометрии при решении задач.
  4.  

Ход урока

Слайд 1.
1. Организационный момент.
Сообщение темы и целей урока.

2. Изучение нового материала.
Учитель: Уже три года, начиная с 7 класса, мы с вами изучаем школьный курс геометрии.

Слайд 2. Вопросы учащимся:
- Что такое геометрия? (Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур)
- Что такое планиметрия? ( Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости)
- Какие основные понятия планиметрии вы знаете? (точка, прямая)
Учитель: Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрии.

Слайд 3. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. (Учащиеся делают запись в тетрадь)

Слайд 4. Основные понятия пространства: точка, прямая, плоскость.
Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола, стены, пола, потолка и т.д. Плоскость, как геометрическую фигуру, нужно представлять простирающейся во все стороны, бесконечной. Обозначаются плоскости греческими буквами α, β, γ и т. д.
1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.
2. Назовите прямые: лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.

Слайд 5.  Об основных понятиях (точка, прямая, плоскость) мы имеем наглядное представление и определения им не даются. Их свойства выражены в аксиомах.
Наряду с точкой, прямой, плоскостью в стереометрии рассматривают геометрические тела (куб, параллелепипед, цилиндр, тетраэдр, конус и др.), изучают их свойства, вычисляют их площади и объемы. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы.

Слайд 6. Вопросы учащимся:
- Какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках.
- Назовите предметы из окружающей вас обстановки (нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.

Слайд 7.         Практическая работа ( в тетрадях)
1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).
2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА1В1С1Д1
3. Выделите цветным карандашом:
вершины А, С, В1, Д1; отрезки АВ, СД, В1С, Д1С; диагонали квадрата АА1В1В.
Обратить внимание учащихся на видимые и невидимые линии на рисунке; изображение квадрата АА1В1В в пространстве.

Слайд 8. Вопросы к учащимся:
- Что такое аксиома?  Какие аксиомы планиметрии вы знаете?
В пространстве основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

Слайд 9. Учащиеся делают записи и рисунки в тетрадях.
Аксиома 1. (А1) Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Слайд 10. Отметить, что если взять не 3, а 4 произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть 4 точки могут не лежать в одной плоскости.

Слайд 11. Аксиома 2. (А2)  Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Слайд 12. Вопрос учащимся:
- Сколько общих точек имеют прямая и плоскость? (рис.1 – бесконечно много; рис.2 – одну)

Слайд 13. Аксиома 3. (А3) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

3. Закрепление изученного материала.

Слайд 14. Решение задач из учебника № 1(а,б), 2(а).
Учащиеся читают условие задач и  по рисунку на слайде дают ответ с объяснением.

Задача 1.

а) Р, Е ⊂ (АДВ) ⇒ РЕ ⊂ (АДВ) по А2
Аналогично МК ⊂ (ВДС)
В,Д ⊂(АДВ) и (ВДС) ⇒ВД ⊂ (АДВ) и (ДВС)
Аналогично АВ ⊂ (АДВ) и (АВС)
С, Е ⊂(АВС) и (ДЕС) ⇒СЕ ⊂ (АВС) и (ДЕС)
б) С ⊂ (ДК) и (АВС) ⇒ ДК ∩ (АВС) = С. Т.к. точек пересечения прямой и плоскости не более одной ( прямая не лежит в плоскости), то это единственная точка.
Аналогично СЕ ∩ (АДВ) = Е.

Задача 2(а)

В плоскости ДСС1: Д, С, С1, Д1, К, М, R. В плоскости ВQС: В1, В, Р, Q, С1, М, С.

Слайд 15.

4. Подведение итогов урока. Вопросы учащимся:

  1. Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах?
  2. Что такое стереометрия?
  3. Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке.

Слайд 16.

5. Домашнее задание.

  Урок 2. Некоторые следствия из аксиом

Цели урока:
- повторить аксиомы стереометрии и применение их при решении задач домашнего задания;
- ознакомить учащихся со следствиями из аксиом;
- научить применять следствия из аксиом при решении задач, а также закрепить умение применять аксиомы стереометрии при решении задач;
- повторить формулы вычисления площади ромба.

Ход урока

Слайд 1.

1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

Слайд 2.

2. Проверка домашнего задания.

Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.
1)Сформулируйте аксиомы стереометрии и оформите рисунки на доске.
2) №1 (в,г); 2(б,д).
Учащиеся устно с места по рисунку на слайде отвечают на вопросы домашнего задания.

Слайд 3.

3. Изучение нового материала.  Рассмотрим и докажем следствия из аксиом.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.
Учащиеся записывают формулировку в тетради и, отвечая на вопросы учителя, делают соответствующие записи и рисунки в тетрадь.
- Что дано в теореме? (прямая и не лежащая на ней точка)
- Что надо доказать? (проходит плоскость; одна)
- Что можно использовать для доказательства? (аксиомы стереометрии)
- Какая из аксиом позволяет построить плоскость? (А1, через три точки проходит плоскость и притом только одна)
- Что есть в данной теореме и чего не хватает для использования А1 (имеем – точку; необходимы – еще две точки)
- Где построим еще две точки? (на данной прямой)
- Какой вывод можем сделать? ( через три точки строим плоскость)
- Принадлежит ли данной плоскости прямая? ( да)
- На основании чего можно сделать такой вывод? ( на основании А2: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости)
- Сколько плоскостей можно провести через данные прямую и данную точку? (одну)
- Почему? (так как плоскость, проходящая через прямую и плоскость, проходит через данную точку и две точки на прямой, значит по А1 эта плоскость – единственная)

Слайд 4.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.
Учащиеся доказывают теорему самостоятельно, затем прослушиваются несколько доказательств и делаются дополнения и уточнения (если они необходимы)
Обратить внимание на то, что доказательство опирается не на аксиомы, а на следствие 1.

Слайд 5.

4. Закрепление изученного материала.
Задача 6 (из учебного пособия)
Учащиеся работают в тетрадях, предлагают свои варианты решения, затем сравнивают свое решение с решением на экране. Разбираются два случая: 1) точки не лежат на одной прямой; 2) точки лежат на одной прямой.

Слайд 6,7. Задача на слайде. Учащиеся читают условие, делают рисунок и необходимые записи в тетрадях. Учитель проводит фронтальную работу с классом по вопросам задачи. В ходе решения задачи повторяем формулы вычисления площади ромба.
Дано: АВСД – ромб, АС ∩ ВД = О, М ∉ α, (А,Д,О) ∈ α; АВ = 4см, ∠ А = 60º.
Найти: (В,С) ∈ α; Д ∈ (МОВ); (МОВ)∩(АДО); SАВСД.
Решение:

Обратить внимание на тот факт, что если две плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

5. Подведение итогов:
- Сформулируйте аксиомы стереометрии.
- Сформулируйте следствия из аксиом.
Цель урока достигнута. Аксиомы стереометрии повторили, познакомились со следствиями из аксиом и применили их при решении задач.
Выставление отметок (с комментариями)

Слайд 8.

6. Постановка домашнего задания:

Урок 3. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

Цели урока:
- повторить аксиомы стереометрии и их следствия;
- сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;
- учащиеся знают аксиомы стереометрии и их следствия и умеют применять их при решении задач.

Ход урока

Слайд 1.

1. Организационный момент.
Сообщение темы и целей урока.


2. Актуализация знаний учащихся.
1) Проверка домашнего задания по вопросам учащихся.
Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.
2) Двое учащихся готовят у доски доказательство следствий из аксиом.
3) Двое учащихся (1 уровень) и двое учащихся (2 уровень) работают по карточкам индивидуального опроса. Слайд       .
4) Фронтальная работа с учащимися.

Слайд 2.

Дано: куб АВСДА1В1С1Д1
Найдите:

  1. Несколько точек, которые лежат в плоскости α; (А, В, С, Д)
  2. Несколько точек, которые не лежат в плоскости α; (А1, В1, С1, Д1)
  3. Несколько прямых, которые лежат в плоскости α; (АВ, ВС, СД, АД, АС, ВД)
  4. Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α; (А1В1, В1С1, С1Д1, А1Д1, А1С1, В1Д1, АА1, ВВ1, СС1, ДД1)
  5. Несколько прямых которые пересекают прямую ВС; (ВВ1, СС1)
  6. Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС. (АД, АА1 …)

Слайд 3.
Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:
1) если A ∈ a, a ∈ α, то A ... α

Слайд 4.
Лежат ли прямые АА1, АВ, АД в одной плоскости? (Прямые АА1, АВ, АД проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости)

3. Решение задач.

Слайд 5.
Учащиеся решают задачи № 7, 10, 14 из учебного пособия, делая соответствующие рисунки и записи на доске и в тетрадях.
Задача № 7.

2) Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?
Решение: По следствию 2:

2) Все прямые, проходящие через точку М, не обязательно лежат в одной плоскости. (см. пример со слайда 4)
Задача 10. Учащиеся решают задачу самостоятельно (аналогично задаче № 7). Учитель выборочно берет тетради на проверку и оказывает индивидуальную помощь в решении задачи учащимся, которые не справились с заданием.
Задача № 14. Решение: Все прямые а, b, с лежат в одной плоскости. В этом случае по следствию 2 можно провести плоскость, и через три прямые проходит одна плоскость.
Одна из трех прямых, например с, не лежит в плоскости α, определяемой прямыми а и b. В этом случае через заданные три прямые проходят три различные плоскости, определяемые парами прямых а и b, а и с, b и с.

Слайд 6.

Учащиеся делают рисунок и необходимые построения и записи в тетрадях. При построении учащиеся проговаривают аксиомы, результат построения записывают с помощью символики.

Задача.
Дано: куб АВСДА1В1С1Д1
т.М лежит на ребре ВВ1, т.N лежит на ребре СС1 и точка К лежит на ребре ДД1
а) Назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.
б) найдите т.F-точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает точка F?
в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС.
г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС.
Решение:

Слайд 7.
Для решения следующей задачи повторим формулу вычисления площади четырехугольника. Вывод формулы разбирают по слайду.

Учащиеся записывают формулу в тетрадь.

Слайд 8.

Докажите, что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.
Вычислите площадь четырехугольника, если АС ⊥ ВД, АС = 10см, ВД = 12см.
Ответ: 60 см2

4. Подведение итогов урока.
- Какие аксиомы и теоремы мы применяли на уроке при решении задач? Сформулируйте.
- Какие задачи были самыми интересными, самыми сложными?
- Что полезного для вас лично было на уроке?
- Что вызвало затруднения?
Учитель объявляет отметки за урок с комментарием.

Слайд 9.

5. Постановка домашнего задания:

Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.

Цели урока:
- провести контроль знаний аксиом стереометрии и их следствий;
- закрепить сформированный навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;
- повторить: теорему Пифагора и ее применение; формулы вычисления площадей равностороннего треугольника, прямоугольника.

Ход урока

Слайд 1.

1. Организационный момент.
Сообщение темы и целей урока.

Слайд 2.

2. Проверка домашнего задания.
Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.
Двое учащихся готовят у доски решения задач из домашней работы - № 9, 15.
Остальные учащиеся отвечают на вопросы математического диктанта по слайду.

Слайд 3.

3. Решение задач (фронтальная работа с классом)
Задача № 1.
Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см.

  1. Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и МFС; б) МСF и АВС.
  2. Найдите длину СF и SАВС
  3. Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

Вопросы к учащимся (при необходимости):
- Какие точки одновременно принадлежат обеим плоскостям. На основании какой аксиомы можно сделать вывод?
- Сформулируйте свойство медианы равнобедренного треугольника.
- Сформулируйте теорему Пифагора.
- Почему можно применить теорему Пифагора в данном случае?
- Какими способами можно вычислить площадь равностороннего треугольника?
- Всегда ли можно построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

Слайд 4.

Задача №2.


  1. Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой Д1Р?
  2. Как построить линию пересечения плоскости АД1Р и АВВ1?
  3. Вычислите длину отрезков АР и АД1, если АВ = а

Решение:
1. Д1Р и ДВ лежат в одной плоскости Д1ДВ. Пусть они пересекаются в точке К. Тогда точка к принадлежит прямой ДВ, а значит, К ∈ (АВС)
2. Точка Р принадлежит ВВ1, а значит, и плоскости АВВ1. Точка А принадлежит АВ, а значит, и плоскости АВВ1. Аналогично АР ⊂ АД1Р. Значит, (АД1Р)∩(АВВ1)=АР.
3. а) Из ∆АВР, по теореме Пифагора АР = ; б) Из ∆АДД1 по теореме Пифагора АД1 = .

Слайд 5.
Задача №3.
Дано: Точки А, В, С не лежат на одной прямой.
                                               
Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.
С помощью анимации на слайде учащиеся делают соответствующие построения и необходимые выводы. Делают записи в тетрадях с помощью математических символов, проговаривая соответствующие аксиомы и следствия из аксиом.
Вопросы учащимся ( по необходимости):
- Зная, что точки А, В, С не лежат на одной прямой, какой вывод можно сделать?
- Если точки А и В лежат в плоскости, какой вывод о прямой АВ можно сделать?
- Какой вывод можно сделать о точке М?
- Если точки А и С лежат в плоскости, какой вывод о прямой АС можно сделать?
- Какой вывод можно сделать о точке К?
- Зная, что точки М и К лежат в плоскости, какой вывод можно сделать о прямой МК?
- Какой вывод можно сделать о точке Р?
Решение ( другой способ доказательства):
АВ ∩ АС = А. По второму следствию, прямые АВ и АС определяют плоскость α. Точка М принадлежит АВ, а значит, принадлежит плоскости α, и точка К принадлежит АС, а значит, и плоскости α. По аксиоме А2: МК лежит в плоскости α. Точка Р принадлежит МК, а значит, и плоскости α.

Слайд 6.

Задача № 4.
Плоскости  α  и  β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости  α  и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и с? Почему?
Вопросы учащимся (при необходимости):
- Зная, что прямая а пересекает плоскость β, какой вывод можно сделать? (Прямая и плоскость имеют общую точку, например, точку В)
- Каким свойством обладает точка В? ( Точка В принадлежит и прямой а, и плоскости α, и плоскости β)
- Если точка принадлежит двум плоскостям одновременно, то что мы можем сказать о взаимном положении плоскостей? (плоскости пересекаются по прямой, например с)
- Каково взаимное расположение точки В и прямой с? ( точка В принадлежит прямой с)
- Зная, что точка В принадлежит и прямой а, и прямой с, какой вывод можно сделать об этих прямых? ( прямые пересекаются в точке В)

Слайд 7.

Задача №5.
Дан прямоугольник АВСД, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости  α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости  α. Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 см, ∠ АОВ = 60º.
Задача предназначена для самостоятельного решения с обсуждением решения и оказанием индивидуальной помощи учащимся. Полезно обсудить различные способы нахождения площади прямоугольника:

    1. Найти стороны прямоугольника.
    2. Использовать тот известный факт, что диагонали параллелограмма (прямоугольника) разбивают его на четыре равновеликих треугольника, и найти сначала площадь одного из треугольников.
    3. Использовать формулу .

Предложить учащимся решить задачу разными способами.
Ответ: см2.

4. Подведение итогов урока:
- Какие аксиомы и теоремы мы применяли на уроке при решении задач? Сформулируйте.
- Какие задачи были самыми интересными, самыми сложными?
- Что полезного для вас лично было на уроке?
- Что вызвало затруднения?
Выставление отметок за урок ( с комментированием каждой отметки)

Слайд 8.

5. Постановка домашнего задания:
пункты 1-3 прочитать.

Урок 5. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа (20 мин.)

Цели урока:
- закрепить усвоение вопросов теории в процессе решения задач;
- проверить уровень подготовленности учащихся путем проведения самостоятельной работы контролирующего характера.

Ход урока

Слайд 1.

1. Организационный момент.
Сообщение темы и целей урока.

Слайд 2.

2. Проверка домашнего задания.
Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.
Задача 1.
Прямые а и b пересекаются в точке О, А ∈ а, В ∈ b, Р ∈ АВ. Докажите, что прямые а и b и точка Р лежат в одной плоскости.
Решение:

Слайд 3.
Задача 2.
На данном рисунке плоскость  α содержит точки А, В, С, Д, но не содержит точку М. Постройте точку К – точку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости α.
Решение:

Слайды 4, 5, 6 

3.Устное решение задач на повторение теории (по слайдам)

Слайды 7,8

4. Самостоятельная работа (разноуровневая, контролирующего характера)
5. Подведение итогов.
1) Собрать тетради с самостоятельной работой.
2) Объявление отметок с комментированием.

Слайд 9.

6. Домашнее задание.
Учащиеся выбирают свой уровень сложности.