Цель урока: развитие исследовательских навыков у учащихся при поиске рационального пути решения.
Задачи урока.
- Научиться распознавать системы уравнений, симметричные относительно знака переменной.
- Научиться анализировать систему уравнений на возможное количество решений.
- Научиться применять метод при решении задач с параметром
- Сравнить данный метод с методом сечений с точки зрения рациональности в случае систем, симметричных относительно знака переменной.
- Применить в практических целях численное исследование решений системы уравнений учащимся 9ФМ класса Виноградовым Марком, полученных в рамках научно-исследовательской работы НОУ.
Понятие системы, симметричной относительно знака переменной
- система симметрична относительно знака x.
- система симметрична относительно знака y.
- система симметрична относительно знака x и y.
Решение задач по теме
Задача 1. При каких значениях а, система уравнений
имеет ровно два решения?
Решение:
Система симметрична относительно знаков x и
y. Пусть 
-
решение системы.
Тогда 
, 
, 
- тоже решения системы.
Итого – четыре решения. Для того. Чтобы система
имела два решения необходимо, чтобы либо 
, либо 
были равны 0. Из
уравнения (1) следует, что 
и
. Тогда
единственно возможный случай, когда 
.
или 
Таким образом, 
может удовлетворять условию задачи.
При этом 
-
решения системы. Выше изложенные условия
являются необходимыми для того чтобы система
имела два решения, но недостаточными. Проверим не
существуют ли другие решения системы при 
.
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2). Получим 
,
Имеем одно решение 
. Ответ: 
.
Рис. 1
На рисунке 1 второе уравнение представляет
собой семейство окружностей с центром в начале
координат радиусом 
. Очевидно, что при 
решений нет. Первое уравнение –
две полупараболы, симметричные относительно оси
абсцисс. Нас интересует случай, когда 
в первом
уравнении равен 
. При этом
, а 
Задача 2. При каких значениях b система уравнений.
имеет ровно три решения? Найдите эти решения.
Решение:
Система симметрична относительно знака 
. Если 
- решение
системы, то и 
-
решение системы. Следовательно, необходимо
существование решения 
.
Отсюда 
; 
; 
.
Проверим достаточность при 
:
Исключив 
из
(2), получим
, 
, 
.
,
.
Итак, при имеем
три решения системы уравнений: 
Проверим достаточность при 
:
, 
, 
.
Решений нет.
В данном
случае имеем одно решение системы уравнений 
, что не
удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 
,
Рис. 2
Из рисунка видно, что три решения система имеет,
когда вершина параболы касается окружности
изнутри. При этом 
В задачах №1 и №2 можно показать ход графиков, не прибегая к помощи компьютера, чего уже нельзя сказать о задачах, которые будут рассмотрены ниже.
Задача 3. При каких значениях а, система уравнений
имеет нечетное число решений?
Решение:
Система симметрична относительно знака 
. Следовательно,
необходимо существование решения 
.
Система, симметрична относительно знака у.
Значит, есть решение вида
.
Если 
, то и 
.
Проверяем достаточность:
.
Отсюда 
Итак, имеем одно решение системы 
. Ответ: 
.
Рис. 3
В этом случае графическая интерпретация
решения системы уравнений становиться
достаточно сложной. Поэтому приходиться
рассматривать случаи при 
.
Ответ: .
Задача 4. При каких значениях а система уравнений
имеет нечетное число решений?
Решение:
Система симметрична относительно знака . Следовательно,
для существования нечетного числа решений
необходимо, чтобы 
.
Вычтем из первого уравнения второе:
а) при 
; 
(не подходит); 
. Тогда 
.
б) при 
; 
; 
; Тогда .
Итак, возможны два случая: 
, 
; 
, .
Проверяем достаточность:
Ответ: Система не может иметь нечетного числа решений.
Ответ: Система не может иметь нечетного числа решений.
Итак, на уроке не ставилась задача поиска оптимального пути решения, приведенных систем уравнений. Широко известно, что в отдельных случаях возможно достаточно простое аналитическое решение. Однако, хочется обратить внимание на то, что в школьном курсе изучения математики в основном предлагаются для решения уравнения и системы уравнений со специально подобранными коэффициентами. Вследствие чего учащихся возникает ложное представление о возможности аналитического решения уравнений и их систем с произвольными коэффициентами, что, к сожалению совсем не соответствует действительности. В тоже время по приведенным выше графическим интерпретациям хорошо видно, что и численные методы достаточно трудоемки. Тем не менее, они более универсальны и, хочется надеяться, что в будущем школьном курсе математики численные методы решения найдут свое место наряду с аналитическими.
Литература
- Астрахарчик Н.А., Астрахарчик Г.Е., Виноградов М.С. Графический метод решения систем уравнений. Материалы XXI Международной конференции “Применение Новых технологий в образовании”. 28–29 июня 2010 г.
- Зубов А.Б. Использование симметрии при анализе систем с параметром. “Математика в школе”. №2/2002.
- Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами. Издательство Московского университета. 2003.