Вход в Личный кабинет

Подписка

  • Цветной журнал с электронными приложениями;
  • Бумажные и электронные версии;
  • Скидки постоянным подписчикам.

Вы можете ознакомиться с номером журнала.

Оформить подписку

Замечательные точки и линии треугольников. 9-й класс

Разделы: Преподавание математики, Внеклассная работа, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (516,55 КБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.


Цели:

  • Познакомить с замечательными точками и линиями треугольника;
  • познакомить с методами доказательства свойств замечательных точек и линий треугольника;
  • повторить и обобщить материал по теме «Треугольник».

Задачи развивающие:

  • Развитие умения устанавливать закономерности;
  • развитие умения формулировать гипотезы, опровергать ошибочные и доказывать истинные;
  • развитие умения составлять алгоритм действий и действовать по алгоритму;
  • развитие математической интуиции;
  • развитие графической культуры и математической речи.

Задачи воспитательные:

  • Повышение познавательного интереса;
  • расширение математического кругозора;
  • развитие навыка конструктивного группового взаимодействия независимо от многообразия проявлений индивидуальности;
  • воспитание чувства ответственности;
  • развитие умения выступать перед аудиторией

Тип урока: изучение нового материала.

Метод: проблемно-исследовательский.

Форма: групповая.

Ход урока

1. Организационный момент, объявление темы занятия (слайд 1).

2. Повторение.

Треугольник – фигура удивительная. Она удивляет своей простотой, лаконичностью и в то же время своей универсальностью. Вспомните сколько раз, чтобы решить задачу или доказать теорему мы прибегали к разбиению многоугольника на треугольники.

Треугольник – первая геометрическая фигура, изученная нами в курсе геометрии. И сегодня мы поговорим о новых для вас свойствах треугольника, а треугольник в свою очередь поможет вам повторить очень много изученных в курсе планиметрии тем.

Вспоминаем изученные замечательные точки треугольника:

  • Центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис треугольника);
  • Центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника);
  • Точка пересечения высот треугольника (ортоцентр);
  • Точка пересечения медиан треугольника.

Также вспоминаем алгоритм построения с помощью циркуля и линейки
каждой из этих точек.

Каждая группа получает индивидуальное задание (приложение 1, задание 1).

Задание № 1. (группа 1)

С помощью циркуля и линейки построить окружность, описанную около треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный).

Задание № 1. (группа 2)

С помощью циркуля и линейки построить окружность, вписанную в треугольник (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

Задание № 1. (группа 3)

С помощью циркуля и линейки построить точку пересечения высот треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

Задание № 1. (группа 4)

С помощью циркуля и линейки построить точку пересечения медиан треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

(Для экономии времени, группы получают заготовленные на альбомных листах изображения треугольников; все построения выполняются фломастерами, циркуль – «козья ножка» также с фломастером).

После выполнения каждая группа демонстрирует свои результаты и комментирует построения. При необходимости учитель вносит дополнения (слайды 3 – 6).

3. Свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Как вы думаете, все ли закономерности, связанные с треугольником мы изучили? (приложение 1, задание 2).

Задание № 2.

Вариант 1.

  1. Постройте произвольную окружность.
  2. Впишите в него произвольный остроугольный треугольник АВС.
  3. Постройте высоты AA1, BB1, CC1. Пусть H - точка пересечения высот.
  4. Постройте точку А2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону ВС.
  5. Постройте точку В2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АС.
  6. Постройте точку С2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АВ.

Какое свойство вы заметили?

Сформулируйте свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Задание № 2.

Вариант 2.

  1. Постройте произвольную окружность.
  2. Впишите в него произвольный тупоугольный треугольник АВС.
  3. Постройте высоты AA1, BB1, CC1. Пусть H - точка пересечения высот.
  4. Постройте точку А2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону ВС.
  5. Постройте точку В2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АС.
  6. Постройте точку С2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АВ.

Какое свойство вы заметили?

Сформулируйте свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Проверяем выполнение задания. Формулируем свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника. (Слайды 7, 9)

4. Продолжаем «открывать» новые точки и линии, связанные с геометрией треугольника.

1. А верите ли вы, что, если на сторонах треугольника построить равносторонние треугольники и около них описать окружности, то эти окружности пересекутся в одной точке? (слайд 11).

2. А верите ли вы, что, основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на три стороны вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой? (слайд 14).

3. А верите ли вы, что, в треугольнике середины его сторон, середины отрезков, соединяющих его вершины с его ортоцентром, и основания его высот лежат на одной окружности? (слайд 17).

4. А верите ли вы, что, в треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой? (слайд 21).

5. Докажем рассмотренные нами свойства треугольника.

Каждая группа получает карточку с заданием и копию соответствующего слайда на электронном носителе (для экономии времени компьютеры, за которыми будут работать ребята, должны быть подготовлены заранее, фрагмент презентации загружен и выведен на экран). Карточка содержит формулировку задачи, ее доказательство и чертеж. Необходимо подготовить выступление по теме и привести доказательство утверждений, отмеченных значком. (Приложение 1. Задание 3).

Задание № 3 (группа 1)

На сторонах треугольника построены равносторонние треугольники и около них описаны окружности. Докажите, что эти окружности пересекутся в одной точке, называемой точкой Торричелли? Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждение, отмеченное значком «?».

Рисунок 1

Задание № 3 (группа 2)

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на три стороны вписанного в нее треугольника, лежать на одной прямой (прямая Симпсона)? Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждение, отмеченное значком «?».

Рисунок 2

Задание № 3 (группа 3)

Докажите, в треугольнике середины его сторон, середины отрезков, соединяющих его вершины с его ортоцентром, и основания его высот лежат на одной окружности (окружность Эйлера)?

Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждения, отмеченные значком «?».

Рисунок 3

Задание № 3 (группа 4)

Докажите, что в треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой (прямая Эйлера)? (слайд 23)

Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждения, отмеченные значком «?».

Рисунок 4

Проверяем выполнение задания. Каждая группа «представляет» свою замечательную точку или линию и доказывает связанное с ней утверждение (слайды 12 - 13, 15-16, 18-20, 22-24).

В качестве «сувенира», после доказательства каждой теоремы можно посмотреть соответствующие «созвездия» на «звездном небе» (слайды 28-31, к которым можно перейти с помощью кнопки «астроном», появляющейся, когда доказательство закончено).

Во время выступления слушатели должны отметить, какие теоремы из курса планиметрии за 7-9 классы используются для доказательства каждого утверждения и заполняют таблицу (Приложение 3).

После выступления группа строит соответствующую точку или прямую, выбирая наиболее подходящий чертеж. (Приложение 2.).

Учитель контролирует, при необходимости помогает выполнить построения. По завершении этого этапа работы еще раз проговариваем алгоритм построения.

6. Точки Фейербаха. (Слайды 25, 32)

Ну, и это еще не все!

Вернемся на минуту к окружности Эйлера.

Эта окружность, найденная в XVIII веке великим ученым А.Эйлером, была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали его Карл Фейербах. Он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха. Дополнительно К.Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тес