Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. 5-й класс

Разделы: Математика

Класс: 5


Стандарты второго поколения предполагают переход с объяснительного на деятельностный метод обучения, в основе которого лежит «рефлексия самоорганизации» – возникло затруднение, значит надо прекратить действовать и начать думать». Данный урок построен в соответствии с технологией деятельностного метода, урок по типу ОНЗ (открытие новых знаний). На каждом этапе урока указаны виды формируемых универсальных учебных действий. Использование технологии обеспечивает достижение высоких результатов как в освоении знаний и навыков, так и в общем развитии учащихся. На уроках с использованием данной технологии ребята учатся лучше рассуждать, думать, анализировать, не бояться трудностей, самостоятельно решать ставшие перед ними проблемы, ставить цели и их добиваться, быть творческими личностями.Они учатся общаться, уважать мнение каждого и считаться друг с другом.

Цель урока: построить алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, тренировать способность к его практическому использованию

Ход урока

I. Самоопредение к учебной деятельности

Формируемые УУД:

Личностные: самоопределение, смыслообразование

Познавательные: целеполагание

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества

Цель: включить учащихся в учебную деятельность; определить содержательные рамки урока (продолжение работы с обыкновенными дробями)

  • Перед началом урока хочу предложить вам старинную суфийскую притчу «Делёж верблюдов»

Живший некогда Суфий хотел сделать так, чтобы ученики после его смерти нашли подходящего им учителя Пути. Поэтому в завещании, после обязательного по закону раздела имущества, он оставил своим ученикам семнадцать верблюдов с таким указанием: «Разделите верблюдов между самым старшим, средним по возрасту и самым младшим из вас следующим образом: старшему пусть будет половина, среднему — треть, а младшему — одна девятая».
Когда Суфий умер, и завещание было прочитано, ученики вначале были изумлены таким неумелым распределением имущества Мастера. Одни предлагали: «Давайте владеть верблюдами сообща»; другие искали совета и затем говорили: «Нам советовали разделить способом, наиболее близким к указанному»; третьим судья посоветовал продать верблюдов и поделить деньги; а ещё некоторые считали, что завещание утратило свою законную силу, поскольку его условия не могут быть выполнены.
Спустя некоторое время ученики пришли к мысли, что в завещании Мастера мог быть какой-то скрытый смысл, и они стали расспрашивать повсюду о человеке, который может решать неразрешимые задачи. К кому бы они ни обращались, никто не мог помочь им, пока они не постучали в дверь Хазрата Али, зятя Пророка. Он сказал:
— Вот вам решение. Я добавлю одного верблюда к этим семнадцати. Из восемнадцати верблюдов вы возьмете половину — девять верблюдов — для старшего ученика. Второй ученик возьмет треть — то есть шесть верблюдов. Третий получит одну девятую — двух верблюдов. Это как раз семнадцать. Остался один — мой верблюд, он вернётся ко мне.

Вот так ученики нашли себе учителя.

  • Какой серьёзной темой мы начали заниматься в этой четверти? (обыкновенными дробями)
  • Чему мы уже научились? (сокращать дроби, отмечать их на координатном луче, приводить к НОЗ, НОЧ, сравнивать дроби с разными знаменателями)
  • Как вы думаете, куда дальше в изучении дробей мы продолжим продвигаться? (мы должны научиться производить с ними арифметические действия).

II. Актуализация знаний и фиксация затруднений

Формируемые УУД:

Познавательные: анализ, сравнение, аналогия, использование знаковой системы, осознанное построение речевого высказывания, подведение под понятие

Регулятивные: выполнение пробного учебного действия, фиксация индивидуального затруднения, волевая саморегуляция в ситуации затруднения

Коммуникативные: выражение своих мыслей, аргументация своего мнения, учёт разных мнений учащихся

Цели:

  1. актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: основное свойство дроби, приведение дробей к одинаковому знаменателю, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями;
  2. актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;
  3. зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов: в виде свойств и определения;
  4. зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: сложить и вычесть дроби с разными знаменателями.
  • А начнём мы как всегда с устной работы, потому что чтобы узнать что-то новое …(необходимо повторить уже изученный материал)
  1. Сократите дроби: , , ,
  2. Выделите целую часть из дробей: , , ,
  3. Дан ряд дробей: , , ,

Что мы можем о нём сказать?

К какому НОЗ можно привести все дроби? Почему? (к 24, т.к. 24 – НОК всех знаменателей)

  • Приведите все дроби к знаменателю 24. Прочитайте получившейся ряд чисел.
  • Установите закономерность и продолжите ряд на 2 числа.
  • На какие группы можно разбить множество чисел этого ряда? (правильные и неправильные, сократимые и несократимые, однозначные и двузначные числители, в разряде единиц числителя 3 и 8 и т.д.)
  • Найдите сумму и разность дробей. Если потребуется, сократите дроби и выделите целую часть: (письменно)
  •  + ;  – ;
  • А каким правилом сложения и вычитания дробей вы воспользовались? Запишите его в общем виде для дробей  и .

Т.е. алгоритмом сложения и вычитания . Давайте восстановим алгоритм сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: (выкладываем на доске)

Нам с вами вразброс даны части алгоритма по сложению и вычитанию дробей с равными знаменателями. Работая в парах, обсудите 30 секунд, восстановим алгоритм по шагам.

  1. Суммой (или разностью) дробей является дробь
  2. Сложить (или вычесть) числители и записать ответ в числитель суммы (или разности)
  3. Знаменатель оставить без изменения, записав его в знаменатель суммы (или разности)
  4. Если возможно, сократить полученную дробь и выделить и нее целую часть
  • Хорошо. Следующее задание: выполните действия:  + ;  + . Предлагаю поработать в группах. Ваши результаты не забудьте прикрепить на доску. Время выполнения: 5 минут.

(После завершения работы защита своих работ)

III. Выявление места и причины затруднения

Формируемые УУД:

Познавательные: анализ, сравнение, обобщение, подведение под понятие, постановка и формулирование проблемы, построение речевого высказывания

Регулятивные: волевая саморегуляция в ситуации затруднения

Коммуникативные: выражение своих мыслей, аргументация своего мнения, учёт разных мнений, разрешение конфликтной ситуации

Цели:

  1. организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;
  2. согласовать цель и тему урока.

– Почему у вас получились такие разные ответы, как выяснить, кто выполнил задание правильно, а кто-то совсем не дали ответы, Чем отличается предыдущее задание, с которым вы все хорошо справились от этого? (В предыдущем задании дроби были с одинаковыми знаменателями, и у нас был алгоритм сложения и вычитания таких дробей, а в последнем задании у дробей разные знаменатели.)

– Что же нам надо сделать, чтобы выполнить задание, определить, кто его выполнил правильно? (Надо найти способ нахождения суммы и разности дробей с разными знаменателями, построить для таких дробей алгоритм сложения и вычитания.)

– Сформулируйте цели урока. (Построить алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, научиться выполнять действия по построенному алгоритму.)

– Хорошо! Чтобы продолжить работу, надо записать тему урока, что мы запишем в тетрадь? (Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.)

– Запишите тему. (На доске открывается тема урока.)

IV. Построение проекта выхода из затруднения

Формируемые УУД:

Личностные: самоопределение, смыслообразование

Познавательные: анализ, синтез, обобщение, аналогия, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, поиск и выделение необходимой информации, проблема выбора эффективного способа решения, планирование, выдвижение гипотез и их обоснование, создание способа решения проблемы

Регулятивные: волевая саморегуляция в ситуации затруднения

Коммуникативные: выражение своих мыслей, аргументирование своего мнения, учёт разных мнений, планирование учебного сотрудничества со сверстниками, достижение общего решения.

Цели:

  1. организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;
  2. зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

Задания парам следующее: дополнить известный алгоритм шагом или шагами, чтобы можно было по нему выполнить сложение и вычитание дробей с разными знаменателям и показать на предложенных примерах, как он действует. У каждой группы на столе таблички из старого алгоритм и несколько чистых листочков. На работу отводится 7 минут.

Все варианты вывешиваются на доску и проводится обсуждение.

  • Результатом обсуждения является алгоритм сложения и вычитания дробей:
  1. Суммой (или разностью) дробей является дробь
  2. Привести дроби к НОЗ, найти дополнительные множители
  3. Сложить (или вычесть) числители и записать ответ в числитель суммы (или разности)
  4. Знаменатель оставить без изменения, записав его в знаменатель суммы (или разности)
  5. Если возможно, сократить полученную дробь и выделить и нее целую часть
  • Вернёмся к нашим выражениям и найдём их значения, используя полученный алгоритм: (будьте внимательны при оформлении задания)

а)  +  =

  1. приведём дроби к наименьшему общему знаменателю, НОК (3,8)=24
  2. дополнительный множитель для первой дроби равен 8, для второй дроби – 3.
  3. складываем числители, знаменатель оставляем без изменения. Дробь неправильная, выдели из неё целую часть.

б)  + = 1  (самостоятельно)

В математике нельзя пропускать ни одного слова в некоторых правилах. Общий знаменатель и наименьший общий знаменатель не всегда совпадают.

Послушайте притчу об одном мэре.

Когда ещё не было электричества, мэр одного города любил вечером гулять по городским улицам. Как-то он столкнулся с одним горожанином, у него на лбу выскочила шишка. На следующий день он издал указ: “В тёмное время суток на улицу выходить с фонарём”. А вечером на него налетел тот же горожанин. Мэр потребовал у него фонарь.
– Вот, – сказал прохожий.
– А где свеча? – спросил мэр.
– А в указе не написано, что в фонаре должна быть свеча, – ответил тот.
Мэр издал второй указ: “В тёмное время суток на улицу выходить с фонарём со свечой”.
В третий день история повторилась.
Мэр уже вышел из себя.

– Думаете, что ответил мэру прохожий?

В приказе не написано, что свеча фонаря должна быть зажжена.
Мэру пришлось издать указ третий раз, только после этого прохожий оставил его в покое.

Поэтому наша задача – хорошо знать алгоритм и уметь его применять.

V. Первичное закрепление во внешней речи

Формируемые УУД:

Личностные: осознание ответственности за общее дело

Познавательные: выполнение действий по алгоритму, построение логической цепи рассуждений, анализ, обобщение, подведение под понятие

Коммуникативные: выражение своих мыслей, использование речевых средств для решения коммуникационных задач, достижение договорённости и согласование общего решения

Цель: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

Ученики решают у доски, используя алгоритм (обратить внимание на проговаривание)

№ 197 (в, е)

в)

Приведём дроби к НОЗ, для этого найдём НОК (5; 7)

НОК (5; 7) = 35

Дополнительный множитель первой дроби 7, второй дроби 5

 =

Применим алгоритм сложения дробей с одинаковыми знаменателями, складываем числители, знаменатели оставляем без изменения

 =  =

Дробь неправильная, выделим из неё целую часть

е) Проводим аналогичные рассуждения

197 (г, ж) – работа в парах, после выполнения проводится самопроверка по образцу. (записано на обороте доски)

г) ;

ж)

  • Кто справился с первым заданием? Где допущена ошибка?
  • Кто справился со вторым заданием? Где допущена ошибка?
  • Повторим ещё раз алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

VI. Самостоятельная работа с проверкой по эталону

Формируемые УУД:

Познавательные: анализ, синтез, аналогия, классификация, подведение под понятие, выполнение действий по алгоритму

Регулятивные: контроль, коррекция, самооценка

Цель: проверить своё умение применять алгоритм сложения и вычитания в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

А сейчас каждый проверит сам себя – насколько он сам понял алгоритм сложения и вычитания и может его применить. Для самостоятельного решения:

№197 (а, б, д, з). Признак того, что вы работу закончили – поднятая рука. Получаете ключ для выполнения самопроверки.

После выполнения работы учащиеся проверяют свои ответы и отмечают правильно решённые примеры, исправляют допущенные ошибки, проводится выявление причин допущенных ошибок.

VII. Рефлексия деятельности на уроке

Цели:

  • зафиксировать новое содержание, изученное на уроке: алгоритм сложения и вычитания дробей;
  • оценить собственную деятельность на уроке;
  • поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;
  • зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности: действия со смешанными числами;
  • обсудить и записать домашнее задание.

Формируемые УУД:

Познавательные: рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, адекватное понимание причин успеха или неуспеха

Коммуникативные: аргументация своего мнения, планирование учебного сотрудничества

Организация учебного процесса на этапе 7:

– Что нового узнали на уроке?

– Какую цель мы ставили в начале урока?

– Наша цель достигнута?

– Что нам помогло справиться с затруднением?

– Какие знания нам пригодились при выполнении заданий на уроке?

– Как вы можете оценить свою работу?

Постановка домашнего задания с комментированием: алгоритм учить (раздать каждому), № 230, 231(а), 241(1,2), 233 (по желанию).

Список литературы:

  1. Программа «Учусь учиться» курса математики для 5-6 классов средней школы по образовательной системе деятельностного метода обучения «Школа 2000…», М.: ACADEMIA АПКиППРО, 2007.
  2. Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон Математика. 5 класс. Часть 1,2,3. – М.: Ювента, 2008.
  3. Математика 5-6 классы. Методические материалы к учебникам Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон. – М, : Ювента, 2006.
  4. М.А. Кубышева Сборник самостоятельных и контрольных работа к учебникам математики 5-6 класса Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон. – М,: УМЦ «Школа 2000…», 2007.