Урок по теме "Решение тригонометрических неравенств"

Разделы: Математика


Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.

  1. Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
  2. В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
  3. Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Рt1, другую точку – Рt2.
  4. Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
  5. Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
  6. Определяем направление движения по дуге (от точки Рt1 к точке Рt2по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).
  7. Находим координаты точек Рt1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Рt2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t1и t2.
  8. Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.

Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.

Конспект урока по теме: “Решение тригонометрических неравенств”.

Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

Цели урока:

  • закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;
  • формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;
  • освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;
  • развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы, самопроверки;
  • воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету, уважения к одноклассникам.
  • формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций.

Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.

N п/п

Этапы урока

Содержание

 

Организация класса на работу.

 
 

Проверка домашнего задания.

(Сбор тетрадей с домашней работой)

 

Формулировка цели урока.

– Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.

 

Устная работа.

(Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения)

  1. Решить тригонометрические уравнения:
  2. sinx = -, 2sinx =, sin2x = , sin(x – ) = 0, cosx = ,

    cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1.

  3. Назовите главные промежутки монотонности функций синус и косинус.
 

Повторение.

– Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

(На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств.Ученик подробно объясняет алгоритм решения.Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).

1) sinx -;

t1< t2;

t1 = arcsin(-) = -;

t2 = p + = ;

+ 2p n х + 2p n, n Z.

2) cosx -;

t1> t2;

t1 = arccos(-) = p – arccos =

= p – = ;

t2 = -;

- + 2p n < х < + 2p n, n Z.

– Каким образом отражается на ответе решение строгого неравенства?

(3) и 4) неравенства два ученика решают на кодоскопной ленте, класс – самостоятельно на карточках).

3) cosx< ;

t1< t2;

t1 = arccos = ;

t2 = 2p - = ;

+ 2p n < х< + 2p n, n Z.

4) sinx< ;

t1> t2;

t1 = arcsin = ;

t2 = -p - = -;

+ 2p n< х< + 2p n, n Z.

– Поменяйтесь вариантами, возьмите ручку другого цвета, проверьте работу товарища.

(Самопроверка с кодоскопной ленты. Комментирует решение ученик, выполняющий задание. После возвращения работ – рефлексия).

– Как измениться решение неравенства при замене аргумента х на 2х, на ? (Оценивание работ учащихся).

6.

Новый материал.

– Переходим к более сложным тригонометрическим неравенствам,

решение которых будет сводиться к решению простейших тригонометрических неравенств. Рассмотрим примеры.

(Решение неравенств на доске под руководством учителя).

№1. cos22x – 2cos2x 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).

cos2x(cos2x – 2) 0.

Замена: cos2x = t, 1; t(t – 2) 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию 1.

cos2x 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).

Ответ: + p n< х< + p n, n Z.

№2. 6sin2x – 5sinx + 1 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).

Замена sinx = t, 1. 6t2 – 5t +1 0, 6(t – )(t – ),

Ответ: + 2p n х + 2p n, -p -arcsin+ 2p k х arcsin+ 2p k, n, k Z.

№3. sinx + cos2x> 1.

(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).

sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin2x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0,

Ответ:

2p n< x< + 2p n, + 2p n< x< p + 2p n, n Z.

Проанализировать ситуации, когда ответ к решению квадратного неравенства записываем в виде совокупности двух неравенств, а когда – в виде системы. Полезна следующая схема:

00025165926425165824000000000012516582401

№4. coscosx – sinsinx< -.

(Обсуждение. К доске вызываются по одному ученику на каждый шаг решения, комментируются этапы. Учитель проверяет запись у учеников, работающих на месте).

cos(x + ) < -, cost< -.

+ 2p n< t< + 2p n, n Z,

+ 2p n< x + < + 2p n, n Z,

+ 2p n< x< + 2p n, n Z.

Ответ:

+ 2p n < x < + 2p n, n Z.

№5. Определите все а, при каждом из которых неравенство

4sinx + 3cosx а имеет хотя бы одно решение.

(Вспомнить алгоритм решения тригонометрического уравнения с нормирующим множителем. Решение записано на кодоскопной ленте. Открываю его поэтапно по мере рассуждений. Дифференцированная работа).

4sinx + 3cosx а, М = = 5. Разделим обе части неравенства на 5: sinx + cosx . Так как ()2 + ()2 = 1, то существует такой угол , что cos = , а sin = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + ) . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждома таком, что -1, то есть при каждом а -5. Ответ: а -5.

7.

Домашнее задание.

(Раздаю карточки с записью домашнего задания.Комментирую решение каждого неравенства).

  1. cosx > sin2x;
  2. 4sin2xcos2x < -;
  3. cos2 sin2 – 0,5;
  4. sinx + cosx > 1.

Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.

8.

Подведение итогов, рефлексия.

– Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.

– Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?

– Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?

(Оцениваю работу учащихся на уроке).

Самостоятельная работа
по результатам освоения материала

Вариант 1

Решите неравенства 1 – 3:

  1. sin3x – < 0;
  2. cos2x + 3cosx > 0;
  3. coscos2x – sinsin2x -.
  4. Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx а имеет хотя бы одно решение.

Вариант 2

Решите неравенства 1 – 3:

  1. 2cos> 1;
  2. sin2x – 4sinx < 0;
  3. sincos3x – cossin3x -.
  4. Определите все а, при каждом из которых неравенство 6sinx-8cosx а имеет хотя бы одно решение.