Тип урока: интегрированный.
Цель урока: изучить некоторые аспекты применения производной в различных областях физики, химии, биологии.
Задачи: расширение кругозора и познавательной деятельности учащихся, развитие логического мышления и умения применять свои знания.
Техническое обеспечение: интерактивная доска; компьютер и диск.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
II. Постановка цели урока
– Урок хотелось бы провести под девизом Крылова Алексея Николаевича советского математика и кораблестроителя: «Теория без практики мертва или бесполезна, практика без теории невозможна или пагубна».
– Повторим основные понятия и ответим на вопросы:
– Скажите основное определение производной?
– Что вы знаете о производной (свойства, теоремы)?
– Знаете ли вы какие-нибудь примеры задач с применением производной в физике, математике и биологии?
Рассмотрение основного определения производной и его обоснование (ответ на первый вопрос):
Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Умение решать задачи с применением производной требует хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследование различных ситуаций.
Поэтому сегодня на уроке мы закрепим и систематизируем полученные знания, рассмотрим и оценим работу каждой группы и на примере некоторых задач покажем, как при помощи производной решать другие задачи и нестандартные задачи с применением производной.
III. Объяснение нового материала
1. Мгновенная мощность есть производная работы по времени:
W = lim ΔA/Δt ΔA – изменение работы.
2. Если тело вращается вокруг оси, то угол поворота есть функция времени t
Тогда угловая скорость равна:
W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δt → 0
3. Сила тока есть производная Ι = lim Δg/Δt = g′, где g – положительный электрический заряд переносимый через сечение проводника за время Δt.
4. Пусть ΔQ – количество теплоты, необходимое для изменения температуры за Δt времени, тогда lim ΔQ/Δt = Q′ = C – удельная теплоёмкость.
5. Задача о скорости течения химической реакции
m(t) – m(t0) – количество вещества, вступающее в реакцию от времени t0 до t
V= lim Δm/Δt = m Δt → 0
6. Пусть m – масса радиоактивного вещества. Скорость радиоактивного распада: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0
В дифференцированной форме закон радиоактивного распада имеет вид: dN/dt = – λN, где N – число ядер не распавшихся время t.
Интегрируя это выражение, получаем: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const при t = 0 число радиоактивных ядер N = N0, отсюда имеем: ln N0 = const, следовательно
n N = – λt + ln N0.
Потенциируя это выражение получаем:
– закон радиоактивного распада, где N0 – число ядер в момент времени t0 = 0, N – число ядер, не распавшихся за время t.
7. Согласно уравнению теплообмена Ньютона скорость потока теплоты dQ/dt прямо пропорциональна площади окна S и разности температур ΔT между внутренним и внешним стёклами и обратно пропорциональна его толщине d:
dQ/dt =A S/d ΔT
8. Явлением Диффузии называется процесс установления равновесного распределения
Внутри фаз концентрации. Диффузия идёт в сторону, выравнивая концентрации.
m = D Δc/Δx c – концентрация
m = D c׳x x – координата, D – коэффициент диффузии
Закон Фика:
9. Было известно, что электрическое поле возбуждает либо электрические заряды, либо магнитное поле, которое имеет единственный источник – электрический ток. Джеймс Кларк Максвелл ввёл одну поправку в открытые до него законы электромагнетизма: магнитное поле возникает также и при изменении электрического поля. Маленькая на первый взгляд поправка имела грандиозные последствия: появилась пусть пока и на кончике пера, совершенно новый физический объект – электромагнитная волна. Максвелл виртуозно владел, в отличии от Фарадея, которому казалось возможным её существование, вывел уравнение для электрического поля:
∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t
Изменение электрического поля вызывает появление магнитного поля в любой точке пространства, другими словами, скорость изменения электрического поля определяет величину магнитного поля. Под большим электрическим током – большее магнитное поле.
IV. Закрепление изученного
– Мы с вами изучали производную и её свойства. Хотелось бы прочитать философское высказывание Гильберта: «У каждого человека есть определённый кругозор. Когда этот кругозор сужается до бесконечного малого, то он обращается в точку. Тогда человек и говорит что это и есть его точка зрения.»
Давайте попробуем измерить точку зрения на применении производной!
Сюжет «Листик» (применение производной в биологии, физике, жизни)
Рассмотрим падение как неравномерное движение зависящее от времени.
Итак: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)
(Теоретический опрос: механический смысл производной).
1. Решение задач
Решите самостоятельно задачи.
2. F = ma F = mV′ F = mS″
Запишем II закон Портона, и учитывая механический смысл производной перепишем его в виде: F = mV′ F = mS″
Сюжет «Волки, Суслики»
Вернёмся к уравнениям: Рассмотрим дифференциальные уравнения показательного роста и убывания : F = ma F = mV' F = mS''
Решение многих задач физики, технической биологии и социальных наук сводятся к задаче нахождения функций f'(x) = kf(x), удовлетворяющих дифференциальному уравнению, где k = const .
Формула Человека
Человек во столько раз больше атома, во сколько раз он меньше звезды: 
Отсюда следует, что 
Это и есть формула, определяющая место человека во вселенной. В соответствии с ней размеры человека представляют среднее пропорциональное звезды и атома.
Закончить урок хотелось бы словами Лобачевского: «Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира».
V. Решение номеров из сборника:
Самостоятельное решение задач на доске, коллективный разбор решений задач:
№ 1 Найти скорость движения материальной точки в конце 3-й секунды, если движение точки задано уравнением s = t^2 –11t + 30.
№ 2 Точка движется прямолинейно по закону s = 6t – t^2. В какой момент ее скорость окажется равной нулю?
№ 3 Два тела движутся прямолинейно: одно по закону s = t^3 – t^2 – 27t, другое — по закону s = t^2 + 1. Определить момент, когда скорости этих тел окажутся равными.
№ 4 Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t) =30t—16t^2, где s(t) – путь в метрах, t – время торможения в секундах. В течении какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?
№5 Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону s = 2t^2+ 3t – 1. Найти кинетическую энергию тела (mv^2/2) через 3 секунды после начала движения.
Решение: Найдем скорость движения тела в любой момент времени:
V = ds / dt = 4t + 3
Вычислим скорость тела в момент времени t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (м/с).
Определим кинетическую энергию тела в момент времени t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (Дж).
№6 Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса равна 25 кг, а закон движения имеет вид s = Зt^2— 1.
№7 Тело, масса которого 30 кг, движется прямолинейно по закону s = 4t^2 + t. Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы.
Решение: Имеем s' = 8t + 1, s" = 8. Следовательно, a(t) = 8 (м/с^2), т. е. при данном законе движения тело движется с постоянным ускорением 8 м/с^2. Далее, так как масса тела постоянна (30 кг), то по второму закону Ньютона действующая на него сила F = ma = 30 * 8 = 240 (H) – также постоянная величина.
№8 Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Найти силу, действующую на тело в момент времени t = 4с.
№9 Материальная точка движется по закону s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Найти ее ускорение в конце 3-й секунды.
VI. Применение производной в математике:
Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.
Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос – на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия – применяет её в своих трудах.
Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц.
Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др.
1. Построить график и исследовать функцию: 
Решение данной задачи:
Минутка релаксации
VII. Применение производной в физике:
При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.
Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.
Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений каких-либо величин.
Решение задач:
№1 Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 – b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние между частицами. Найти: а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы; б) выяснить устойчиво ли это положение; в) Fmax значение силы притяжения; г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).
Решение данной задачи: Для определения r0 соответствующего равновесному положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.
Используя связь между потенциальной энергией поля
U и F, тогда F = – dU/dr, получим F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; при этом r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) < 0;
равновесие устойчивое.
Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:F = 2a/r3 — b/r2;
dF/dr = –6a/r4 + 2b/ r3 = 0;
при r = r1 = 3a/b;
подставляя, получу Fmax = 2a/r31 — b/r31 = – b3/27a2;
U(r) = 0; при r = a/b; U(r)min при r = 2, a/b = r0;F = 0; F(r)max при r = r1 = 3a/b;
Ответ: F(r)max при r = r1 = 3a/b;
№2 Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k = 36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R.
Решение данной задачи:
При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m;
а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E,
По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m)
Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn;
J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n);
Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю.
J’n – (kE(R — kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;
n2 = kr/R
n = √kr/R = √3,6*0,4/0,9 = 4;
m = k/n = 36/4 = 9;
при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;
Ответ: n = 4, m = 9.
№3 Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна µ кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью µ кг/с.
Решение данной задачи: Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу
Движение системы платформа – песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:
dP/dt = FΣ
P – импульс системы платформа – песок, FΣ – сила, действующая на систему платформа – песок.
Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:dp/dt = F
Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени Δt: Δp = (M + µ(t + Δt))(u + Δu) – (M + µt)u = FΔt;
где u – скорость платформы.
Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:
Dp = µuΔt + MΔu+ Δµut + ΔµuΔt = FΔt
Разделим на Δt и перейдем к пределу Δt → 0
Mdu/dt + µtdu/dt + µu= F или d[(M + µt)u]/dt = F
Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю: (M + µt)u = Ft.
Следовательно: u = Ft/(M + µt)
Тогда, ускорение платформы: a = du/dt = (F(M + µt) – Ftµ)/(M + µt)2 = FM / (M + µt)2
Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.
Изменение импульса за малый промежуток времени:
Δp = (M – µ(t + Δt))(u+ Δu) +Δµtu – (M – µt)u = FΔt
Слагаемое Δµtu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время Δt. Тогда:
Δp = MΔu – µtΔu – ΔµtΔu = FΔt
Разделим на Δt и перейдем к пределу Δt → 0
(M – µt)du/dt = F
Или a1= du/dt= F/(M – µt)
Ответ: a = FM / (M + µt)2, a1= F/(M – µt)
VIII. Самостоятельная работа:
Найти производные функций:
Прямая у = 2х является касательной к функции: у = х3+ 5х2 + 9х + 3. Найдите абсциссу точки касания.
IX. Подведение итогов урока:
– Каким вопросам был посвящен урок?
– Чему научились на уроке?
– Какие теоретические факты обобщались на уроке?
– Какие рассмотренные задачи оказались наиболее сложными? Почему?
Список литературы:
- Амелькин В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. – Минск: Высшая школа, 1982. – 272с.
- Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. – 160с.
- Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. – Минск: Наука и техника, 1979. – 744с
- .Журнал «Потенциал» Ноябрь 2007 №11
- «Алгебра и начала анализа» 11 класс С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.
- «Алгебра и математический анализ» Н.Я. Виленкин и др.
- «Математика» В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик, 1991 год