Применение деятельностного метода на занятии курса по выбору в 9-м классе. "Диофантовы уравнения"

Разделы: Математика


В условиях перехода на ФГОС основного общего образования принципиально изменяется не только организация, но и суть образовательного процесса. — Меняются смысл и значение образования. Его главной целью становится не передача знаний и социального опыта, а развитие личности ученика. Школа становится учреждением, формирующим навыки самообразования и самовоспитания, местом, где учат учиться.

В связи с предъявленными новыми требованиями к организации учебно- воспитательного процесса мне пришлось обратиться к поиску инновационных технологий, форм и методов обучения. Приоритетным становится развивающая функция обучения.

Общим понятием для всех имеющихся теорий развивающего обучения является понятие деятельности.

Деятельностные способности формируются у ребенка лишь тогда, когда он не пассивно усваивает новое знание, а включён в самостоятельную учебно-познавательную деятельность. Большие возможности для осуществления деятельностного подхода даёт внеурочная деятельность. Остановлюсь на нескольких опробованных мною формах и методиках в этом направлении. Вот уже несколько лет я веду элективный курс по математике для 9 класса – «Алгебраические уравнения и неравенства» и т.д. Тематика курса составлена с таким расчетом, чтобы систематизировать и обобщить полученные на уроках знания учащихся, одновременно расширяя и углубляя их, а также рассмотреть некоторые вопросы, изучение которых не предусмотрено школьной программой.

Основными задачами курса считаю: формирование умений и навыков решения нестандартных задач, алгоритм которых заранее не известен, знакомство учащихся с задачами олимпиадной тематики и основными методами их решения, расширение и углубление знаний учащихся по темам, примыкающим к основному курсу. Курс посещают все желающие расширить свои знания по предмету, то есть сформировать прочное и сознательное овладение системой математических знаний и умений, необходимых каждому ученику для продолжения образования.

Рассмотрим одно из занятий. Тема: «Решение диофантовых уравнений».

Тип занятия «Открытие» нового знания.

  • Деятельностная цель: формирование умений реализации новых способов действий.
  • Содержательная цель: формирование системы математических понятий.
  • Коммуникативная цель: выражение своих мыслей, аргументация своего мнения, учёт разных мнений учащихся

Структура занятия с позиций системно - деятельностного подхода выглядит так:

1 этап Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности;

2 этап – Актуализация и фиксирование индивидуальных затруднений в пробном действии;

3 этап Постановка учебной задачи;

4 этап – «Открытие нового знания» (построение проекта выхода из затруднения);

5 этап – Первичное закрепление;

6 этап Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону;

7 этап Рефлексия деятельности (итог занятия).

При системно-деятельностном подходе учащиеся овладевают умением формулировать и анализировать факты, работать с различными источниками, выдвигать гипотезы, осуществлять доказательства правильности гипотез, формулировать выводы, отстаивать свою позицию при обсуждении учебной деятельности. Психологи давно доказали, что люди лучше всего усваивают то, что обсуждают с другими, а лучше всего помнят то, что объясняют другим. Именно эти возможности предоставляет используемая мною на занятии групповая работа.

Самый простой вид групповой работы – это работа в парах. Например, можно использовать карточки на этапе самостоятельной работы, которая выполняется в паре под условным названием «Ученик учитель». Каждый играет то роль учителя, то роль ученика в определенный момент времени. Роль настоящего учителя в этот момент заключается в выслушивании ответов и объяснений обоих участников пары. Он может корректировать ошибки в момент их возникновения, оценивать не только отвечающего, но и качественную работу «учителя».

Ход урока

I. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.

Сегодня я расскажу вам сказку. «Среди нас, людей сознательного и радостного труда,завёлся один Бездельник. И учиться ему лень, и от работы увиливает, и деньги любит, жаден. Никак в толк не возьмёт, что только деньги хороши, что заработаны честным трудом. Ходит без дела Бездельник и вздыхает:

– Эх, доля моя горемычная! Никто и знаться со мной не желает. Говорят:

«Бездельники нам не нужны. Сам ничего не делаешь и нам мешаешь. Иди к чёрту!» Да какой чёрт посоветует мне , как богатым стать?

Только подумал это лентяй, глядь, а чёрт перед ним стоит.

– Что же, – говорит, – если хочешь, я тебе помогу. Работа лёгкая и богатым будешь. Вот видишь мост через речку?

– Вижу, – отвечает немного оробевший Бездельник.

…Чёрт – Ну, так перейди по мосту на другой берег, и у тебя будет вдвое больше денег, чем было. И так каждый раз: как только ты пройдёшь мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было перед этим,

– Ой ли! – обрадовался Бездельник.

– Верное слово! – уверил чёрт. – Только, чур, уговор ! За то, что я устраиваю тебе такое счастье, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по Х копеек за добрый совет.

– Ну, что же, – согласился Бездельник, – раз деньги будут удваиваться, так отчего же не дать тебе каждый раз по Х копеек? Начнём, пожалуй!

Прошёл мост Бездельник один раз, сосчитал деньги… Вот диво! Действительно, денег стало вдвое больше, чем было.

Бросил он чёрту Х копеек и прошёл мост второй раз. Опять стало денег вдвое больше, чем было перед этим.

Отдал Бездельник чёрту Х копеек и прошёл по мосту в третий раз. Денег снова стало вдвое больше. Но только и оказалось их ровнехонько Х копеек, которые по уговору полностью пришлось отдать чёрту. Чёрт захохотал и с глаз сгинул.

Остался Бездельник без копейки. Видно, на чужой совет надо ещё свой ум иметь!

Вопрос. Сколько денег было у Бездельника сначала и сколько копеек требовалось отдавать Чёрту?

Какие будут предложения? (Идут предложения).

Вспомогательные вопросы: Сколько у нас неизвестных? Какие числа должны получиться в ответе?

Решение:

Пусть у копеек было у Бездельника, а по х копеек отдавал.

После первого раза – (2у - х) коп. осталось,

после второго раза 2(2у-х)-х= 4у-3х (коп.),

после третьего раза 2(4у-3х)-х = 8у-7х (коп).

Так как после третьего раза денег не осталось, то составим уравнение

8у-7х=0,

II. Актуализация и фиксирование индивидуальных затруднений в пробном действии.

Надо решить уравнение 8у-7х=0, где неизвестные обязательно - целые числа.

III. Постановка учебной задачи.

Цель: обсуждение затруднений («Почему возникли затруднения?», «Чего мы ещё не знаем?»); проговаривание цели занятия в виде вопроса, на который предстоит ответить.

Методы постановки учебной задачи: побуждающий от проблемной ситуации диалог, подводящий к теме диалог, подводящий без проблемы диалог.

IV. «Открытие нового знания» (построение проекта выхода из затруднения).

Откройте папки с текстом.

Текст:

Решим уравнение 8у-7х=0. Выразим .

Так как количество денег целое число, то самое маленькое число х=8, тогда у=7. Т.О. у бездельника было 7 копеек, а отдавал по 8 копеек.

В этом случае числа 8 и 7 называются частными решениями уравнения –

7х+8у=0, само уравнение- однородное линейное диофантово уравнение, это уравнение имеет неединственное решение:

Говорят , что общее решение данного уравнения есть х = 8n, у=7n, где n – любое целое число.

Например : n=2, то х=16, а у = 14 и т. д.

V. Первичное закрепление.

Цель: проговаривание нового знания, запись в виде опорного сигнала.

  • 4-5 минут;
  • Способы: работа в парах;
  • Средства: конспект, комментирование, обозначение знаковыми символами, выполнение продуктивных заданий.

Диофантовы уравнения

Уравнения с несколькими неизвестными, решения которых находятся в целых числах называются диофантовыми уравнениями.

Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными:  – решение уравнения.

Однородное уравнение: правая часть свободная, т.е. равна нулю.

Алгоритм решения однородного уравнения.

Рассмотрим однородное уравнение ,

  • Если

 общее решение однородного уравнения.

Однородное уравнение всегда разрешимо в целых числах.

Пример1. Решить уравнение в целых числах

Решение : 15х – 4у = 0, , у должно быть кратно 15, тогда у =15k, х = 4k

Ответ: числа вида , где

Алгоритм решения неоднородного уравнения.

Неоднородное уравнение:

  • не будет иметь решений, если;
  • будет иметь решения, если ,

Если , то все уравнение сокращается на d, получим уравнение когда .

Пусть  – частное решение неоднородного уравнения , тогда справедливо  – числовое тождество.

 

Обозначим , получим  – однородное уравнение относительно .

        общее решение однородного уравнения;                            общее решение неоднородного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. , решение существует, сокращаем все уравнение на 7, получим .

Рассмотрим однородное уравнение.

 общее решение однородного уравнения.

Найдем частное решение неоднородного уравнения.

подберём такое значение числителя, чтобы , .

 частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения:        

Ответ. Числа вида  являются решением уравнения

Пример 3. Решить уравнение в целых числах.

Решение. ,  решение существует.

Рассмотрим однородное уравнение .

 общее решение однородногоуравнения.

Рассмотрим неоднородное уравнение

должно делиться на 3.

частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения:

Ответ. Числа вида , являются решением уравнения.

Пример 4. Решить уравнение в целых числах.

Решение.  уравнение не имеет корней.

Ответ. Уравнение в целых числах решений не имеет.

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель: каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет.

  1. Небольшой объем самостоятельной работы (не более 2-3 типовых заданий);
  2. Выполняется письменно;
  3. Методы: самоконтроль, самооценка.

Решить самостоятельно:

Пример 5. Решить уравнение в целых числах.

Пример 6. Решить уравнение в целых числах.

Пример 7. Решить уравнение в целых числах.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

Пример 5. Решить уравнение в целых числах.

Решение

Рассмотрим однородное уравнение .

общее решение однородного уравнения.

Ответ. Числа вида, являются решением уравнения.

Пример 6. Решить уравнение в целых числах.

Решение.  решение существует.

Рассмотрим однородное уравнение .

 общее решение однородного уравнения.

Рассмотрим неоднородное уравнение

должно делиться на 5.

 частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения:

Ответ. Числа вида  являются решением уравнения.

Пример 7. Решить уравнение в целых числах.

Решение.уравнение не имеет корней.

Ответ. Уравнение в целых числах решений не имеет.

VII. Рефлексия деятельности (итог занятия).

Цель: осознание учащимися своей УД (учебной деятельности), самооценка результатов деятельности своей и всего класса. (2-3 минуты).

Вопросы:

  1. Какую задачу ставили?
  2. Удалось решить поставленную задачу?
  3. Каким способом?
  4. Какие получили результаты?
  5. Что нужно сделать ещё?
  6. Где можно применить новые знания?
  7. Что на занятии у вас хорошо получалось?
  8. Над чем ещё надо поработать?

Домашнее задание:

Проекты:

  1. Биография Диофанта
  2. Диофант и его уравнения
  3. Способы решения диофантовых уравнений.
  4. Практическое применение диофантовых уравнений.

Используемые ресурсы:

  1. portfolio.1sept.ru/
  2. urok.1sept.ru/
  3. Ступницкая М.А. Что такое учебный проект? / М. А. Ступницкая. – М. : первое сентября, 2010. – 44 с.