Решение рациональных уравнений сложного вида в 9-м классе

Цели:

• Обобщить и углубить знания обучающихся по данной теме;
• Научить использовать различные методы решения: метод разложения на множители – группировки, метод замены переменной – подстановки для подведения рациональных уравнений сложного вида к более простому;
• Познакомить с различными видами рациональных уравнений: симметрических, частного случая возвратных уравнений и с методом их решения;
• Побуждать ребят к взаимоконтролю, самоконтролю и самоанализу при выполнении заданий;
• Оказывать взаимовыручку, поддержку со стороны одноклассников – ассистентов.
• Добиваться получения новых знаний через самостоятельное выполнение заданий с последующей взаимопроверкой.

Оборудование: доска раздвижная, листы – задания для устного счета, компьютер, экран.

Время: 90 минут – 2 урока.

Приложение 1

Ход урока

1. Проверка домашнего задания (5 минут).

На доске (на обратной стороне) заранее на перемене учащимися записаны решения. Ученики меняются тетрадями друг с другом по парте и после проверки ставят оценки “5” – нет ошибок; “4” – 1 -2 ошибки; “3” – 3-4 ошибки, а более – “ 2”.

2. Устный тест – повторение:

На парте лежат карточки с решениями и ответы к ним, выбрать правильный ответ и объяснить почему?

Правильные ответы: 1 задание – 2; 2 зад. – 3; 3 зад. – 3; 4 зад. – 2; 5 зад. – 3.

Новая тема.

Учитель: Под рациональным уравнением принято понимать уравнение, которое может быть записано в виде: а_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … a₂x²+ a₁x + a₀ =0, где a_n, a_n-1, …a₀ – заданные числа, а х – неизвестное. Простейшие рациональные уравнения мы решаем с помощью четырех основных методов.

(Метод перехода от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы; метод замены переменной; метод разложения на множители – группировки; функционально – графический метод).

Мы научились решать рациональные уравнения второй степени, а третьей, четвертой?

А каким методом вы решите уравнение вида a) х³ – 8 + х – 2 = 0?

Подсказка: желательно подвести к произведению многочленов.

Да, верно, используем метод разложения на множители – группировки. Группируем слагаемые, применим формулы сокращенного умножения и получим произведение нескольких множителей – многочленов в левой части уравнения, а в правой – нуль.

(Вызывается ученик сильный в математике, а если нет, то показывает учитель ход решения).

б) А при таком уравнении х³ – 3х + 2 = 0 можно использовать метод группировки?

Решение.

Перепишем уравнение, записав , получим , а теперь сгруппируем (х³ – х) – (2х -2) = 0. Дальнейшее решение самостоятельно, а один ученик выходит к доске, решает на другой стороне, затем учащиеся сверяют.

Ответ: х₁ = х₃ = 1; х₂ = -2.

Учитель: Вспомним, при решении биквадратных уравнений какой метод мы использовали? Самый распространенный из всех методов – да, метод замены переменной – метод подстановки. Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху. На сегодняшнем уроке мы это и рассмотрим.

Разберем решение данного уравнения:

Решение.

Освободимся от знаменателя, t² + 4t + 3 = 0, где t ? 0.

Отсюда t₁ = – 3; t₂ = -1.

Дорешать самостоятельно, дальнейшее решение проецируется на экран.

По формуле решаем второе уравнение =

= = = = =

Ответ: х₁ = -5, х₂ = 1, х₃ = , х₄ = .

Учитель: Рассмотрим уравнение вида

г) (х² + 10х )² + (х² + 5)² = 157.

Метод замены переменной легко увидеть, если воспользоваться формулой квадрата суммы для второй скобки. (х² + 10х )² + (х² +10х + 25) = 157; (Далее решает ученик у доски, а остальные – самостоятельно).

Решение.

Пусть тогда получим

х² + 10х = 11 или х² + 10х = -12. Решая эти уравнения, получим

Ответ: {-11; 1; -5 }. +

Учитель: Рассмотрим уравнение вида

Решение.

Найдем равенство сумм пар чисел -7 + 2 = -1 – 4,

Перемножим между собой первую и третью, вторую и четвертую скобки, получим (х² – 5х – 14) ((х² – 5х + 4) – 40.

Введем замену: х² – 5х – 14 = t, где t – любое число, получим t(t + 18) = 40, t² + 18t – 40 = 0.

(Работает учитель, показывая ход решения или ученик с помощью учителя).

Решим данное уравнение по т. Виета

где t₁ = – 20, t₂ = 2.

Решим систему уравнений

Ответ: х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = х₄ =

Решить самостоятельно

Проверка решения данного уравнения с помощью проекции решения на экране.

Решение.

+1 + 4 = + 2+ 3. Данное условие равенства выполняется, поэтому раскроем скобки, группируя первый множитель с последним и второй с третьим.

Тогда данное уравнение примет вид: (х² + 5х + 4) (х² + 5х +6) = 24.

Полагая х² + 5х = t, получим квадратное уравнение (t +4)(t +6) = 24,

решая его t²+ 10t =0, t(t + 10) =0, найдем корни t₁ =0, t₂= -10.

Затем решаем уравнения

Учитель: Уравнения вида а₀хⁿ + a₁x^n-1 + … + a_kx^k + … + a₁x + a₀ = 0, где коэффициенты членов, равно от стоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями.

Симметрические уравнения обладают следующими свойствами:

1. Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень х = -1, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой;

2. Уравнение четной степени 2n решаются с помощью подстановки

V = x + сводится к уравнению степени n.

Решим уравнение.

Решение.

Данное уравнение симметрическое, так как коэффициенты равно отстоящих от концов, равны между собой. Степень уравнения нечетная равная 5, поэтому корень данного уравнения х = – 1.

Пусть Разделим левую часть уравнения на х + 1 и получим симметрическое уравнение четвертой степени:

Разделим обе части уравнения на х²: 2х² + 3х – 16 + 3• + 2• 1/х² = 0, и сгруппируем члены уравнения: 2(х² + 1/х²) + 3 (1 + ) – 16 = 0.

Используем метод замены переменной при t = x + , возведем в квадрат обе части уравнения, получим t² = (x + )² = x² + 2• x • + 1/x², тогда x² + 1/x² = t² – 2, и после преобразований получим квадратное уравнение 2 t² + 3t – 20 = 0. Находим корни t = = = t₁ = , t₂ = -4. Таким образом , исходное уравнение четвертой степени равносильно совокупности уравнений x + и x + = -4.

Решив данные уравнения, получим еще четыре корня исходного уравнения.

Ответ: х₁ = -1, х₂ = -2+, х₃ = -2 – , х₄ = 2, х₅ = .

Учитель: Прошу вас, ребята, решить самостоятельно с последующей проверкой симметрическое уравнение четвертой степени. А почему оно симметрическое?

з) 2х⁴ + 3х³ – 16 х² + 3х + 2 = 0.

Решение.

Разделим обе части уравнения на х², получим 2х² + 3х – 16 + + 2/х² =0.

Сгруппируем (2х²+ 2/х²) + (3х+ ) – 16 = 0, 2(х²+12/х²) + 3(х+ ) – 16 =0.

Введем метод замены переменной, обозначим х+ = t, возведем в квадрат обе части равенства, получим t² = (x + )² = x² + 2• x • + 1/x², тогда x² + 1/x² = t² – 2, и после преобразований получим квадратное уравнение вида 2(t² – 2) + 3t – 16 =0. Решая уравнение по общему виду 2t² -4 + 3t -16 = 0, 2t² + 3t – 20 = 0, получим корни t₁ = , t₂ = -4. Можно не решать, а сразу же записать ответы предыдущего уравнения.

Ответ: х₁ = , х₂ = -2+, х₃ = -2 – , х₄ = 2.

Учитель: Мы рассмотрели симметрические уравнения, являющиеся частным случаем возвратных уравнений. Следовательно, и ход их решения будет похожим, но более подробно мы познакомимся с возвратными уравнениями и рассмотрим более подробно ход решения на следующем занятии. А сейчас,

я вам предложу домашнее задание на два варианта для самостоятельного решения. Дополнительно даны ответы ко всем уравнениям. Не сможете справиться, рассмотрим на уроке. а кто-то хочет больше решить, с довольствием приветствую вас.

Домашнее задание:

Вариант 1.	Вариант 2.
а) (х2 – 6х)2 -2(х – 3)2 = 81; б) х3 + х + 2 = 0; в) 6х4 – 35 х3 + 62 х2 – 35х + 6 = 0; г) (х –1)(х+2)(х-3)(х+4) = 144; д) (х2 + х + 1)(х2 + х + 2) = 12;	а) (х2 – 8х)2 + 3(х – 4)2 = 76; б) х3 + 3х2 + 2х = 0. в) 5х4 – 12х3 + 14х2 – 12х + 5 = 0. г) (х-1)(х-2)(х-3)(х-4) = 15. д) (3х +2)4 – 13(3х + 2)2 + 36 = 0.

Выберите ответы, выполняя домашнее задание.

Учитель: Подведем итог нашей темы. Уравнения третьей и четвертой степени решались в общем случае методом замены переменной, в который заключается в том, что для решения уравнения вида f(x) =0 вводят переменную t = g(x) и выражают f(x)через t, получая новое уравнение w(t) = 0. Решая затем уравнение w(t)= 0, находят его корни {t_1, t₂, … t_n}. После чего получают совокупность n – уравнений g(x) = t₁, g(x) = t₂, … g(x) = t_n, из которых находят корни исходного уравнения.