Алгебра в широком смысле этого слова - наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами. Объектами алгебры логики являются высказывания. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт - истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.
В алгебре логики высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: "истина" (1) и "ложь" (0).
Рассмотрим два простых высказывания: А - "Два умножить на два равно четырем". В - "Два умножить на два равно пяти". Первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложно (В = О).
Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью связок "и", "или", "не", которые в алгебре логики заменяются на логические операции. Логические операции задаются таблицами истинности.
Рассморим логические операции в последовательности их выполнения в формулах.
Логическая операция, котороая одному простому высказыванию ставит в соответствие другое, истинность и ложность которого определяется по таблице
Обозначение: ¬, НЕ, NOT
A | ¬A |
0 | 1 |
1 | 0 |
Высказывание "Два умножить на два равно четырем" истинно, а высказывание, образованное с помощью операции логического отрицания, "Два умножить на два не равно четырем" - ложно.
Логическая операция, котороая двум простым высказываниям ставит в соответствие третье, истинность и ложность которого определяется по таблице
Обозначение: /\, *, И, AND
A | B | A/\B |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
По таблице истинности легко определить истинность составного высказывания, образованного с помощью операции логического умножения. Рассмотрим, например, составное высказывание " 2 х 2 = 4 и 3 х 3 = 10 " , Первое простое высказывание истинно (А = 1), а второе высказывание ложно (В = 0), с использованием таблицы истинности логического умножения определяем, что данное составное высказывание ложно.
Логическая операция, котороая двум простым высказываниям ставит в соответствие третье, истинность и ложность которого определяется по таблице
Обозначение: \/, +, ИЛИ, ОR
A | B | A/\B |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
По таблице истинности легко определить истинность составного высказывания, образованного с помощью операции логического сложения. Рассмотрим, например, составное высказывание "2 х 2 = 4 или 3 х 3 = 10". Первое простое высказывание истинно (А = 1), а второе высказывание ложно (В = О), с помощью таблицы истинности логического сложения определяем, что данное составное высказывание истинно.
Пример 1. Вычислить значение логической формулы: ¬X /\ Y \/ X /\ Z , если логические переменные имеют следующие значения: X=0, Y=1, Z=1.
1. ¬X = 1Пример 2. По мишени произведено 3 выстрела. Пусть Аk?{Мишень поражена при k-ом выстреле} Что означают следующие высказывания? (Переведите формулы на русский язык)
1) А1\/А2\/А3 : Мишень поражена при первом, втором или третьем выстреле