Использование монотонности функций при решении уравнений

Цель урока: Научиться использовать свойства монотонности функций при решении уравнений.

Задачи урока:

• Научиться анализировать уравнение на наличие в нем монотонных функций;
• Приводить уравнение к виду: в одной части уравнения возрастающая функция, в другой - убывающая.
• Находить корень уравнения.
• Научиться оценивать возможности графического метода решения уравнений с монотонными функциями.

Пусть функция возрастает, а функция убывает на промежутке - общей части (пересечении) областей существования этих функций. Если число M и справедливо равенство , то - единственный корень уравнения .

Задача 1. Решите уравнение .

Функция возрастает, а функция g(x) убывает на промежутке М=( - общей части областей существования этих функций. Проверка показывает х =10 – корень.

Ответ. 10.

Задача 2. Решите уравнение

Левую часть уравнения можно рассматривать, как возрастающую функцию, правую, как убывающую. Уравнение определено на множестве действительных чисел. Следовательно возможно единственное решение. Проверка показывает, что х=0 – корень.

Ответ. 0.

Задача 3. Решите уравнение

Левую часть уравнения можно рассматривать, как возрастающую функцию, правую, как убывающую. Уравнение определено на множестве действительных чисел. Следовательно возможно единственное решение. Проверка показывает, что х=0 – корень.

Ответ. 0.

Задача 4. Определите количество корней уравнения.

Ответ: 3

Чтобы ответить на этот вопрос, придется провести серьезный анализ. Часто при исследовании функций на монотонность учащиеся опираются на графики этих функций и количество пересечений определяют визуально, что может привести к серьезным ошибкам.

Рассмотрим уравнение, одной частью которого является логарифмическая функция, а другой - показательная, причем с одинаковыми основаниями:

log_a x = a^x, a > 0, a  1. (1)

Исследование уравнения (1) проводилось с помощью компьютера, что позволило проанализировать количество корней в зависимости от значения оснований вышеуказанных функций, что было бы невозможно при построении графиков вручную.

Рассмотрим уравнение log₂ x = 2^x, графическое решение которого приведено на рисунке 1.

Показательная функция лежит выше прямой y = x, а логарифмическая – ниже. Следовательно, уравнение решений не имеет. Для всех оснований показательной и логарифмической функций a >1 картина принципиально не изменится. Другое дело при a < 1. 

Возьмем уравнение .

Его решение изображено на рисунке 2.

Так как показательная и логарифмическая функции с одинаковыми основаниями являются взаимообратными, то их графики симметричны относительно прямой y = x, а значит, одно решение лежит на биссектрисе первого координатного угла. И вроде бы никаких других корней быть не должно, хотя утверждать это, конечно, мы не имеем право. Тем не менее в рассматриваемом случае решение все-таки одно.

Рассмотрим другое уравнение:

Оно очень похоже на предыдущее, у него есть решение, лежащее на биссектрисе угла первой четверти, но при этом присутствует достаточно большой кусок, на котором графики фактически сливаются, как говорится — картина “смазана”, и визуально никакого заключения сделать нельзя (рис. 3). 

Возникает искушение провести аналогию с первым случаем и сделать вывод о единственном корне уравнения. Однако имеются еще два решения:

Их легко проверить подстановкой.

Возьмем еще одно аналогичное уравнение:

Его графическое решение приведено на рисунке 4, на котором хорошо видно наличие трех корней.

Вручную просчитать точки и построить графики второго и третьего уравнений просто нереально.

Итак, еще раз напомним условие существования единственного корня уравнения на некотором промежутке.

Пусть функция возрастает, а функция убывает на промежутке - общей части (пересечении) областей существования этих функций. Если число M и справедливо равенство , то - единственный корень уравнения .

Литература.

1. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Потапов. Алгебра и начала анализа.11 класс. Издательство “Просвещение”. Москва. 2013.
2. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбуд. Алгебра и математический анализ.11 класс. Издательство “Мнемозина” Москва.2006.
3. Нина Астрахарчик, Григорий Астрахарчик. Наглядная интерпретация. ИКТ в образовании №9(19) 2008
4. Астрахарчик Н.А. “Решение трансцендентных уравнений численными методами”. Материалы XX Международной конференции “Применение новых технологий в образовании”. 26-27 июня 2009 г.
5. Г. Астрахарчик, Н. Астрахарчик. Сколько корней имеет уравнение? Ответ ищем с помощью компьютера. “Математика”. №08 (694), 16-30.04.2010 Издательский дом “1 сентября”.