Квадратные уравнения. Способы решения

Разделы: Математика

Цель: научить решать квадратные уравнения различного вида разными способами.

План урока:

  1. Повторение темы “Линейные уравнения”.
  2. Новый материал. Тема “Квадратные уравнения”:
  3. Полные квадратные уравнения;
  4. Неполные квадратные уравнения;
  5. Из истории квадратных уравнений;
  6. Решение неполных квадратных уравнений;
  7. Способ выделения квадрата двучлена при решении полных квадратных уравнений;
  8. Графический способ решения квадратных уравнений;
  9. Вывод формул для решения полных квадратных уравнений;
  10. Теорема Виета.
  11. Обобщение темы.
  12. Задание к зачету.
  13. Викторина.
  14. Рефлексия.

Ход урока

1. Повторение темы “Линейные уравнения”.

Фронтальный опрос:

  • Что такое уравнение?
  • Что такое корень уравнения?
  • Что значит решить уравнение?
  • Сформулируйте свойства уравнений.
  • Виды уравнений.

Решение линейных уравнений:

3х – 2 = 5х + 4. (ответ: -3)

Іх - 1І + 2 = 3х. (ответ: )

(3х + 4b) – (7b + 2х) = 13b и указать при каких значениях b корень уравнения – положительное число.

Решение:

(3х + 4b) – (7b + 2х) = 13b

3х + 4b – 7b - 2х = 13b;

Х - 3b = 13b;

Х = 16b.

При b>0 корень уравнения х>0.

Ответ: 16b, корень уравнения положителен при b>0.

2. Новый материал. Тема “Квадратные уравнения”.

1) Определение квадратного уравнения.

2) Определение неполного квадратного уравнения.

3) Из истории квадратных уравнений: (сообщение готовит ученик)

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне примерно 2 тысячи лет до н.э.. Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский в 3 веке в книгах “Арифметика”, которые до настоящего времени не сохранились. Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ах2 + вх + с = 0, где а > 0, дал индийский ученый Брахмагупта (7в.). В трактате “Китаб аль-джебр валь-мукабала” хорезмский математик аль-Хорезми разъяснил приёмы решения уравнений вида: ах2 = вх; ах2 = с, ах2 + с = вх; ах2 + вх = с; вх + с = ах2, где а, в, с – положительные числа.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х2 + вх = с, было сформулировано немецким математиком М.Штифелем (1487 – 1567). После трудов нидерландского математика А.Жирара (1595–1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях записывается так: корнями уравнения (а + в) * х – х2 = ав, являются числа а и в.

4) Решение неполных квадратных уравнений:

  • ах2 + с = 0; х = , где < 0.

1. 8х2 – 8 = 0, х2 = 1, х = 1. Ответ: 1.

  • ах2 = 0; х2 = 0; х = 0.

1. 2х2 = 0; х2 = 0; х= 0. Ответ: 0.

  • ах2 + вх = 0; х(ах + в) = 0; х=0 или х = - .

1. 5х2 - 2х = 0; х(5х – 2) = 0; х = 0 или х = 0,4. Ответ: 0; 0,4.

5) Способ выделения квадрата двучлена при решении полных квадратных уравнений.

1. Решить уравнение х2 + 8х – 33 = 0.

Вспомним формулы квадрата суммы и квадрата разности и запишем их: (а в)2 = а2 2ав + в2 .

Выделим квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

х2 + 8х – 33 = (х2 + 2*4х + 16) – 16 – 33 = (х + 4)2 – 49.

Получим: (х + 4)2 – 49 = 0; (х + 4)2 = 49; х + 4 = 7; х1 = - 11, х2 = 3. Ответ: -11; 3.

2. Решить уравнение 2х2 - 9х + 4 = 0.

Вынесем в уравнении число 2 за скобки, как общий множитель:

2(х2 - х + 2) = 0; х2 - х + 2 = 0;

Выделим квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

х2 - х + 2 = (х2 -2· х + ) - + 2 = ( х - )2 - ;

( х - )2 - = 0; х - = ± ; х1 = 0,5; х2 = 4. Ответ: 0,5; 4.

6) Графический способ решения квадратных уравнений.

Если задана функция f (x) = ax2 + bx + c, то значения аргумента х, при которых функция обращается в нуль, называются нулями этой функции. Следовательно, корни уравнения ax2 + bx + c = 0 являются нулями функции f (x) = ax2 + bx + c.

Пример: решить графически уравнение х2 - 4х + 3 = 0.

Решение: f (x) = х2 - 4х + 3 = (х2 - 2 * 2х + 4) – 4 + 3 = (х – 2)2 – 1;

Х = 1, Х = 3 – точки пересечения графика функции f (x) = х2 - 4х + 3 с осью абсцисс, следовательно, Х = 1 и Х = 3 являются корнями данного квадратного уравнения.

Ответ: Х = 1, Х = 3.

7) Вывод формул для решения полных квадратных уравнений.

, где D = называется дискриминантом квадратного уравнения.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня;

если D = 0, то уравнение имеет один корень;

если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Пример: решить уравнение 2х2 - 5х + 2 = 0.

D = , D = 9, D > 0 - уравнение имеет два корня.

, х = , х = 0,5; х = 2. Ответ: 0,5; 2.

Любое полное квадратное уравнение можно привести к виду х2 + px + q = 0 делением обеих частей уравнения на а 0. Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по формуле х = - ± - q , где а = 1, в = р, с = q.

Пример: решить уравнение 2х2 +8х - 42 = 0.

Разделим обе части уравнения на 2 и получим равносильное уравнение х2 + 4х - 21 = 0.

Используя формулу корней для приведенного квадратного уравнения, получим: х1 = - 7, х2 = 3.

8) Теорема Виета.

Если полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна - , а произведение , т.е. х1 + х2 = - , х1 * х2 = .

Рефлексия: облако "тегов", которые необходимо дополнить.

  • сегодня я узнал...
  • было трудно…
  • я понял, что…
  • я научился…
  • я смог…
  • было интересно узнать, что…
  • меня удивило…
  • мне захотелось…