Урок по теме: "Производная. Применение производной к исследованию функции. Касательная к графику функции"

Разделы: Математика


Цели.

  • Обобщить и систематизировать правила дифференциирования;
  • Повторить алгоритм построение касательной к графику функции, схему исследования функции;
  • Решение задач на применение наибольшего и наименьшего значения функции.

Оборудование. Плакат “Производная. Правила вычисления производных. Применения производной”.

Ход урока

По картам у учащихся повторение теоретического материала.

1. Дайте определение производной функции в точке. Что называется дифференциированием? Какую функцию называют дифференциируемой в точке?

(Производной функции f в точке х называется число, к которому стремится отношение

Функцию, имеющую производную в точке х 0, называют дифференциируемой в этой точке. Нахождение производной f называется дифференциированием.)

2. Сформулируйте правила нахождения производной.

(1. Производная суммы (u + v)'=u'+v';
2. О постоянном множителе (Cu)'=Cu';
3. Производная произведения (uv)'=u'v+uv';
4. Производная дроби (u/v)'=(u'v-uv')/v2;
5. Производная степенной функции (xn)'=nx n+1.)

3. Чему равны производные следующих функций:

4. Как найти производную сложной функции?

(Надо последовательно представить ее в виде элементарных функций и взять производную по известным правилам).

5. Чему равны производные следующих функций:

6. В чем заключается геометрический смысл производной?

(Существование производной в точке эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (х 0 ,f(x0)) графика функции, причем угловой коэффициент этой касательной равен f '(x 0)).

7. Какой вид имеет уравнение касательной к графику функции в точке (x0 ,f(x0))?

(Уравнение касательной имеет вид у=f(x0)+f'(x0)(x-х0))

8. Сформулируете алгоритм построения графика функции с помощью производной.

(1. Найти ООФ.
2. Исследовать на четность.
3. Исследовать на периодичность.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат.
5. Найти производную функции и ее критические точки.
6. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
7. Построить таблицу по результатам исследования.
8. Построить график функции.)

9. Сформулировать теоремы, с помощью которых модно построить график функции.

( 1. Признак возрастания (убывания).
2. Необходимый признак экстремума.
3. Признак максимума (минимума).)

10. Какие формулы существуют для приближенных вычислений функций?

Практикум. (Приложение)

Индивидуальная работа.

Уровень А (три варианта), уровень Б (один вариант).

Уровень А.

Вариант 1.

1. Запишите уравнение касательной к графику функции

f(x)=(x -1)2 (x -3)3 параллельной прямой у=5-24х.

2. Число 18 педставьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в два раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.

3. Найдите производную функции :

4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=(x-1) eх+1.

Вариант 2.

1. Под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная к графику функции f(x)=0,x2+x-1,5 в точке с абсциссой х 0 = - 2? Напишите уравнение этой касательной и выполните рисунок к этой задаче.

2. Как в В. 1.

3. Найдите производную функции:

х2
4. Найдите точки максимумов функции f(x)=x(1/e).

Вариант 3.

1. Запишите уравнение касательной к графику функции f(x)=2x2-2x3+5, параллельной прямой у=3-10х.

2. Как в В. 1.

3. Дана функция f(x)=e -2х cos 3x. Найдите f'(x), f'(0).

х2-3х
4. Найдите точки максимума и минимума функции f(x)=e.

Уровень Б.

1. Найдите производную функции:

а) f(x) = e -5х;
б) f(x) = log3 (2x2-3x+1).

2. Напишите уравение касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 , если f(x)=e, х0 = 1.

3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x·e.

Итог урока.

Проверяется работа, выставляется отметка за теорию и практику.

Домашнее задание дается индивидуально:

1.

а)повторить производные тригонометрических функций;
б)метод интервалов;
в)механический смысл производной.

2. А: №138, №142, Б: №137(а,б), №140(а).

3. Возмите производную функций:

а) f(x)=x4-3x2-7;
б) f(x)=4x3-6x;
в) f(x)=-2sin(2x-4);
г) f(x)=cos(2x-4).

4. Назовите схему исследования функции.