Рейтинг@Mail.ru

Урок по теме: "Производная: от формального знания к пониманию"

Разделы: Математика


Цели урока:

  1. Обучающая: ввести определение производной. её физический и геометрический смыслы; выяснить вопрос о её существованиии.
  2. Развивающая: формирование умений выполнять обобщения и конкретизацию, развитие качеств мышления: гибкость. целенаправленность. рациональность. критичность с учётом индивидуальных особенностей учеников.

Организация работы на уроке:

- Класс делится на четыре разноуровневые группы. Им присваиваются названия: архитекторы. физики, химики. математики.

Оборудование:

  • мультимедийный проектор,
  • плакат “Девиз урока ”,
  • индивидуальные модели – вращающающаяся модель декартовой плоскости,
  • закрытые доски,
  • карточки для работы в группах.

Девиз урока записан на плакате и вывешивается перед уроком:

Кто такой учёный?

Определение.

Тот. кто ночами. забыв про кровать.
Усердно роется в книжной груде.
Чтобы ещё кое-что узнать
Из того. что знают другие люди. (П. Хейн)

Ход урока

1. Организационный момент.

Звучит музыка. учитель читает стихи:

"Мир - рвался в опытах Кюри
Атомной. лопнувшею бомбой
На электронные струи"
Невоплощённой гекатобомбой...

Знакомы ли вам эти строчки? Нет? Это в 1921 году написал Андрей Белый. Вдумайтесь только 1921 год! За полтора десятка лет до того. как учёные начали работать над созданием бомбы и почти за четверть века до Хиросимы! Поэт предсказал вступление в атомный век! Но как он смог?! Андрей Белый - это литературный псевдоним. а настоящее его имя Борис Николаевич Бугаев. Учился он на физико-математическом факультете Московского университета. Но почему же мы так много знаем о литературных достижениях Андрея Белого и так мало о математике Борисе Бугаеве?! Дело в том. что мир узнаёт о каком-то великом человеке. когда он получает всемирное признание и ему вручают премию за достижения. Премий много. но самая престижная - Нобелевская (она вручается за заслуги в самых различных областях). Так мир узнал о великом русском поэте Николае Гумилёве. Но в списках нобелевских лауреатов вы не найдёте ни одного человека. которому бы её вручили за математику! Почему? Потому что у её основателя Нобеля была невеста и друг – математик. который отбил её у него и Нобель завещал: за математику премию не вручать! И сейчас я предлагаю вам на уроке стать учёными. т.е. совершить открытие. вывести формулы самим, и как знать. может уважаемая комиссия Нобелевской премии восхитится вашими математическими способностями и, наконец-то, обратит внимание на математиков! Итак начинаем исследовательскую часть."

2. этап. Исследовательская работа. Работа идёт в группах. Ученики берут лист №1 с заданием и выполняют это задание в тетрадях самостоятельно. но разрешается вести обсуждение внутри группы.

Физики. Лист №1: Пусть есть электрическая цепь с некоторым источником тока. Обозначим через q(t) - количество электричества (в кулонах). протекающеее через поперечное сечение проводника за время t. Количество электричества есть функция времени. которая каждому значению t ставит в соответствие определённое q. Пусть h - приращение времени с момента to до to+h. Найдите:

а) среднюю силу тока за отрезок [to;to+h].

б) Мгновенную силу тока в момент времени to.

План оформления:

1. q(t)- это...

2. h-это....

3. I средняя =....

4. I(to)=.......

Химики. Лист №1: Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества. вступившего в реакцию в момент времени t. обозначим m(t)- это функция времени. которая каждому значению времени ставит в соответствие определённую массу. Пусть это приращение времени с момента времени to до to+h.

Найдите:

а) Среднюю скорость химической реакции за [ to;to+h].

б) Мгновенную скорость химической реакции в момент времени to.

План оформления:

1. m(t)-это....

2. h-это......

3. v средняя=....

4. v(to)=........

Архитекторы. Лист №1: Пусть имеется балка. Плотность балки в определённой точке х (длина балки) обозначим за(x)

Пусть h - приращение длины балки от точки xo до xo+h. Найдите: а) среднюю плотность балки на [xo; xo+h];

б) Точную (мгновенную) плотность балки в точке xo.

План оформления:

1.(x)-это.....

2.h-это.....

3. средняя =.....

4. (xo)=.....

Математики. Лист №1: Пусть дан график f(x). Рассмотрим точку М с абсциссой xo. Пусть h - это приращение абсциссы от точки xo до xo+h. MN - секущая. TM- касательная. Найдите а) угловой коэффициент секущей (это средняя скорость изменения функциии);

б)угловой коэффициент касательной (подсказка: касательная - это предельное положение секущей)

План оформления:

1. f(x)-это.....

2. h-это…..

3. k – секущей=…..

4. k касательной =......

Ученики 5 минут обсуждают решения в группах. а затем представители от групп оформлляют все решения на доски и защищают свои решения.

3. этап. Открытие нового понятия. Учитель: "А теперь давайте подведём итоги вашей исследовательской работы. Вы все решали различные задачи. но все они привели к одной и той же математической модели: пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при . Многие задачи физики. химии. экономики в процессе решения приводят к такой же модели! Значит. этому пределу надо:

1. Дать название

2. Дать обозначение

3. Изучить его.

Математически предел при отношения приращения функции к приращению аргумента называется производной в точке xo и обозначается q'(t),m'(t),?'(x),f'(x). Давайте это определение запишем в тетрадях: пусть функция f(x) определена в т. xo и в некоторой её окрестности. Дадим т.xo приращение h, чтобы не выйти из этой окрестности. Тогда производной в точке xo называется.....(далее определение дописывает ученик ).Теперь посмотрите на ваши задачи и сформулируйте план нахождения производной. Ученики должны ответить: 1. Задать функцию. 2. Задать приращение аргумента h. 3. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента. 4. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Далее класс самостоятельно формулирует и записывает в тетради физический смысл производной: s'(t)=v(t),v'(t)=a(t) и её геометрический смысл: f'(x)=k касательной в точке хо = tg? наклона касательной. Т.е. из геометрического смысла получается.что если существует производная в точке хо. то можно провести что? (обычно дети говорят: что можно провести касательную в т.хо. и наоборот. если можно провести касательную в т.хо. то в этой точке существует поризводная. На ошибку в формулировке учитель пока не обращает внимания. записывает фразу на доске в таком виде и дальше продолжает обсуждение)."

4 этап. Изучение нового понятия. Учитель:" Подведём итог: вы сами дали мне определение производной. но встаёт вопрос: а всегда ли существует производная в точке? Возьмите модели в руки и скажите существует ли производная в т. хо? Ответ объясните.”

Image803.gif (7275 bytes)

Учитель: "А теперь давайте покрутим маленькую окружность вокруг центра и посмотрим, существует ли теперь производная в т.хо "

Учитель: " Существует теперь производная? И почему? " (нет, т.к. нельзя провести касательную в т.хо) Учитель: "Ещё раз покрутим окружность. "

Учитель: " Существует ли касательная в т.хо? (да). Какая это касательная? (вертикальная). Чему равен угол наклона вертикальной касательной? (90°). Чему равен тангенс угла наклона вертикальной касательной? (не существует). Чему равен угловой коэффициент вертикальной касательной? (не существует). Давайте вернёмся к геометрическому смыслу производной: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной. проведённой в этой точке. Существует ли производная в данной точке? (нет). Как же так? Вы же сами сказали и написали. что если есть касательная в точке. то в точке есть и производная! Вот пример: есть касательная. но нет производной?! Подумайте. что же вы сделали не так и исправьте фразу. " Далее ученики возвращаются к предложению. написанному на доске и самостоятельно исправляют ошибку. Должно получиться: если в точке можно провести невертикальную касательную. то в этой точке существует производная. и наоборот. если в точке существует производная. то в этой точке можно провести невертикальную касательную.

5. этап. Закрепление нового понятия. На мультимедиа изображены рисунки и группы работают по ним. Вопрос один и тот же: существует ли производная в точке? ответ обосновать.

6. этап. Самостоятельная работа в группах. Учитель: " Вот теперь вы готовы к работе с производной и можете приступить к выполнению задания №2 "

Архитекторы. Лист №2: 1. Придумайте пример функции. не имеющей производной ровно в двух точках (область определения функции вся числовая ось) 2. Найдите а) f(x)=x2 f'(3)-? б)(x2)'-?

Физики. Лист №2: 1. Придумайте пример функции (область определения вся числовая ось). которая имеет производную ровно в одной точке. 2. Найдите а) f(x)=x f'(8)-? b) (x)'-?

Химики. Лист №2: 1. Придумайте пример функции (область определения вся числовая ось). имеющей производную ровно в двух точках. 2. Найдите а) f(x)=x? f'(3)-? б) (x?)'-?

Математики. Лист № 2: 1. придумайте пример функции (область определения вся числовая ось). которая имеет производную ровно в n точках 2. Найдите а) f(x)=3x3-2x+8 f'(1)-? б) (3x2-2x+8)'-?

Затем все задачи оформляют ученики на доску и защищают свои решения.

7 этап. Домашнее задание.

1. Выучить теорию.

2. По учебнику Виленкина № 392 (2,5,6,7)

8 этап. Итог урока.

Учитель: что называется производной в точке?

Сформулируйте физический смысл производной? Геометрический смысл?

Когда существует производная?

Какой момент был самым интересным на уроке?

Какой был самым трудным?

Что же, вы доказали. что смогли сами определить и исследовать понятие производной и я хочу вам вручить долгожданную Нобелевскую премию - вы настоящие учёные! Откройте свои конверты и достаньте оттуда грамоты в виде крокодила. Почему крокодил? Потому что это животное. которое никогда не отступает и не пятится назад! Этого я и вам желаю! "

Затем лидеры в группах объявляют оценки и дают краткую характеристику работы каждого члена группы.