Учебная программа курса по выбору для учащихся 9-х классов "Элементы финансовой математики"

1. Пояснительная записка

В настоящее время остро стоит вопрос выбора профиля обучения. Кроме того, актуален вопрос функциональной грамотности выпускников общеобразовательной школы. Выходя в общество, они с первых шагов сталкиваются с проблемами, связанными с такими социально значимыми в жизни человека структурами, как банк, налоговая инспекция, страховая компания. Большую помощь для ориентирования в данных вопросах облегчит процесс усвоения учебного материала по теме “Проценты”.

В рыночных отношениях современного общества каждому выпускнику школы необходимо владеть общей экономической культурой и информацией о мире как социуме и функциональной грамотности в нём, о профессиях и способах успешного конструирования собственного образовательного маршрута, что обуславливает актуальность темы элективного курса “Элементы финансовой математики”.

В содержании программы предусматривается выход за пределы традиционного школьного курса математики основной школы. В нём заложена возможность ознакомления обучающихся со способами решения экономических задач, в частности задач на банковские расчёты (начисление процентов на вклады и кредиты). Это обеспечивает создание проблемных ситуаций, решение которых требует от школьников синтезирование знаний по математике и экономике, а значит, требует активизации мыслительного процесса.

Этот курс имеет практическую направленность и способствует формированию умений ориентироваться в услугах банка. Он ориентирован на совершенствование системы ранее приобретённых знаний.

Цели курса:

1. Формирование функциональной грамотности по теме “Проценты”.
2. Рассмотрение связи между предметами прикладного характера: математикой, химией, физикой, экономикой.
3. Создание условий для развития способностей обучающихся к самоопределению, с дальнейшей ориентацией на профессии, связанные с ней.
4. Обобщение и систематизация понятия “процент”, а также с основных понятий банковского дела.
5. Выявление случаев практического применения математических задач в других сферах, т. е связать с жизнью и применение рациональных решений в условиях рыночной экономики; учитывающие экономические факторы и последствия выбора, связанные с налогами, банковскими операциями, страхованием.
6. Сплочение ребят в команду, использование дифференцированного подхода к учащимся;

Задачи курса:

1. Формировать математические умения, необходимые при решении задач экономической направленности.
2. Совершенствовать представление о специфике учебной деятельности в классах математического или экономического профиля.
3. Развивать познавательный интерес к математике и экономике.
4. Повторить нахождение процент от числа, число по его процентному содержанию, процентное отношение двух чисел с помощью алгоритмов, а также показать с использованием понятия “Процента” решение задач разными способами с тем, чтобы выбрать затем рациональный.
5. Формировать умения работать в группе, отстаивать свою точку зрения, обосновывая решение.
6. Формировать умение выбора задач соответственно своему уровню развития математических способностей.
7. Развивать интеллектуальные и творческие способности учащихся в процессе самостоятельного приобретения различных знаний и умений по математике с использованием различных источников информации, в том числе средств информационных технологий.
8. Формировать положительные мотивации обучения на планированном профиле.
9. Подчеркнуть значение образования и достижения профессионального и жизненного успеха.

Содержание курса составлено в соответствии с учебной программой для основной школы и ориентировано на установление межпредметных связей с учебным предметом экономика. На занятиях рассматриваются как чисто математические, так и прикладные задачи. Предлагается рассматривать несколько способов решения задач, что отвечает таким качествам экономического мышления, как системность, многовариантность, избирательность. Соответствие математическому стилю мышления проявляется в дедуктивном способе развёртывания содержания.

Методика реализации данной темы ориентирована, прежде всего, на овладение практическими навыками на основе минимального объема теорий.

В курсе заложена возможность дифференцированного подхода к учащимся в зависимости от их уровня обучаемости. Система прикладных задач включает задачи разной сложности. При выполнении самостоятельных работ одни учащиеся могут решать задачи несколькими способами или более сложные задачи, другие – одним способом или более простые задачи.

Тема “Проценты” изучается в 5-6-х классах в объеме 10 часов. На изучение данной темы выделяется недостаточно учебного времени. Практика показывает, что умения и навыки учащихся по оперированию процентами, как на уроках математики, так и на других уроках (химии, физики и др.), а также в окружающей жизни недостаточно сформированы. В старших классах стандартами не предусмотрены вопросы, связанные с обобщением и систематизацией данной темы. Тема “Проценты” имеет практическую направленность, так как она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни. Особенностью курса по выбору является то, что содержание задач на проценты приближено к современной жизни и опыту подростков. Представлены задачи, применяемые в реальных жизненных ситуациях.

Содержание курса по выбору построено по модульному принципу. Данная программа содержит 3 блока.

Первый блок: систематизирует ранее полученные знания о процентах на уроках математики в 5 – 6 классах, без которых ребята невозможно продвинуться дальше в решении даже простейших задач.

Второй блок: включает задачи прикладного характера, встречающиеся на уроках математики, химии, физики, экономики.

Третий блок: включает задачи о сберегательных услугах банков.

На проведение итогового зачётного занятия планируется 2 часа.

Методические рекомендации. При проведении занятий должны использоваться:

1) практико-ориентированные, проблемно – поисковые методы обучения

2) технологии проблемного и развивающего обучения.

При изучении темы “Проценты” необходимо привлечение учащихся к составлению задач на местном материале, при этом формирование происходит через умения работать с различными источниками информации.

Изучение курса может проводиться в различных формах работы: индивидуальной, групповой, коллективной. Образовательные результаты изучения данного курса могут быть выявлены в рамках следующих форм контроля:

1. Текущий контроль (беседы с учащимися по изучаемым темам, активность и качество работы ученика на занятиях). Активная работа на уроке оценивается в один балл.
2. Тематический контроль (проверочные работы). Наибольшее количество баллов за правильность выполнения задания – три балла.
3. Обобщающий контроль в форме презентации личных достижений учащихся (самостоятельно подготовленных энциклопедических справок, устных и письменных сообщений, рефератов, практических работ) – оценивается в четыре балла.

Если учащийся проявил большую активность по сравнению с остальными в диспутах и обсуждениях проблем, поставленных и решаемых в данном курсе; кроме того, отличился творческим подходом при освоении курса и при выполнении порученных ему учителем заданий, а также в полной мере усвоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных математических задач – то он получает наивысшее количество баллов – двадцать семь баллов.

При обучении задач на проценты учащиеся знакомятся с разными способами решения задач. В это время они овладевают разнообразными способами рассуждения, обогащая свой арсенал приёмов и методов. Эффективность программы обеспечивается последовательностью изучения материала: новые задания опираются на ранее пройденный и легко восстанавливаемый в памяти учебный материал. Программа применима для различных групп школьников, в том числе, не имеющих хорошей подготовки. Она построена таким образом, что позволяет продвигаться вперёд в своём определённом темпе, основанном на уровне знаний каждого ученика.

Далее рассматриваются более сложные задачи. Они требуют достаточно прочного навыка представления процентов дробью и наоборот, умение находить процент от величины, понимание того, какая из величин, участвующих в задаче, принимается за 100%.

2. Содержание курса

Что надо знать о процентах.

История возникновения процента. Цель и значение элективного курса, систематизируются знания учащихся о процентах, полученные в 5 – 6 классах.

Понятие процента, выражение числа в процентах, вычисление процентов арифметическим и алгебраическим способами. Решение простейших задач на проценты: на нахождение процента от числа, числа по его процентному содержанию, процентного отношения двух чисел.

Представление процентов дробью и наоборот; нахождение процента от величины, выбор величины, участвующей в задаче, принимаемой за 100%

Проценты в средней школе.

Решение задач с помощью уравнений и неравенств, задачи на процентное содержание, задачи на выведение химических формул. Задачи на проценты физического содержания. Алгебраические методы решения задач на проценты из физики и химии. Предполагаются задачи разных уровней сложности.

Что значит жить на проценты.

Эта тема направлена на то, чтобы вооружить желающих знаниями обеспечения процентов в повседневной жизни: при расчёте выгодности банковской сделки, рентабельности сделки, бизнеса, коммерческого предложения. Ведь нередко тем, у кого есть сбережения, приходится решать вопрос, как их сохранить или преумножить.

3. Требования к уровню освоению курса

В результате изучения курса учащиеся:

будут иметь представление:

– о процентах как специальном способе выражения доли величины;

– о практическом применении математических знаний в современном мире;

– о понимании того, что успех в предпринимательской деятельности зависит и от способности “понимать цифры”, вести расчёты, для чего необходимо изучать специальные математические методы;

– о способах решения экономических задач.

Знать:

– определение процента;

– алгоритм нахождения процента от числа;

– алгоритм нахождения числа по его процентам;

– алгоритм нахождение процентного отношения (отношение двух чисел, выраженное в процентах).

Уметь:

– находить процент от числа;

– находить число по его процентам;

– находить отношение двух чисел, выраженное в процентах;

– соотносить процент с соответствующей дробью;

– выполнять прикидку и оценку;

– переводить ту или иную словесную формулировку с участием процентов в – соответствующую словесную формулировку;

– обобщать и систематизировать учебный материал;

– последовательно излагать мысли их аргументации;

– самостоятельно работать с источниками информации

– выбирать задачи, адекватные уровню развитие способность.

– умение применять метод математического моделирования при решении задач.

Использовать знания в окружающей жизни:

Выполнять оценку выгодности покупки при скидках, распродажах; вычислять процент годовых при банковских услугах, понимание кредитных операций, в том числе ипотечное кредитование, автокредиты, определение величины вклада.

Ожидаемым результатом является:

• получение представления о роли и месте данной темы в курсе математики и экономики;
• овладение простым и эффективным средством решения, более широкого по сравнению с рассматриваемыми на уроке в школе задачами;
• развитие опыта самостоятельного приобретения новых знаний, анализа и оценки новой информации;
• приобретение опыта поиска информации по заданной теме;
• сознательное самоопределение ученика относительно профиля дальнейшего обучения или профессиональной деятельности;

4. Тематический план:

5. Информационно-методическое обеспечение

Рекомендуемая литература

Для учащихся

1. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. ср. щк. / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1994.
2. Алгебра: Учебник для 8 класса средней школы / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова. – М., 1995.
3. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика: Учебник для 6-го класса: Часть 3. – М., 2000
4. “Квант” для младших школьников: Математика 6-8. – М.: Бюро Квантум, 1988..Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. – М., 1988.
5. Рельманд Ф.Г., Рудзатис Г.В. Химия: Учебник для 9-х классов.– М., 1994.
6. Россия. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. – Лениздат, 1991.
7. Трушанина Г.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9-м классе. – М., 1994.

Для учителя

1. БарановО.О. Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления./ Математика в школе. 2003г – № 5.
2. БашаринГ.П. Элементы финансовой математики: приложение к газете “Первое сентября” – 1сентября 1995 – № 27, 1996 – № 16.
3. Вигдорчик Е.А. “ Элементарная математика в экономике и бизнесе” – М,1999
4. Мицкевич А.А “ Финансовая математика в экономической теории и практике” М, 1995
5. Математика: Путеводитель абитуриента и старшеклассника. / Авт.-сост. А.С. Зеленский, Н.В.Нетребко. – М.: Начно – технический центр “Университетский”, 1999.
6. Мирошникова М.М. Контроль знаний по математике с применением ЭВМ. – М., 1990.
7. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс / Г.В.Дорофеев, Г.К.Муравин, Е.А.Седов. – 5-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 2002.
8. Симонов А.С. “ Экономика на уроках математики” М,1999
9. Симонов А.С “Экономические задачи на уроках математики” М,1997 №4, №5.
10. Совалейко В.К. Система обучения математике в 5 – 6 х. классах.– М., 1991.
11. Сурвилло Г.С., Сурвилло Г.Ф. Элементы финансовой математики. Учебное пособие для студентов. Абакан. – Издательство ХГУ им. Катанова, 2002.
12. Шарыгин И.Ф. Решение задач. – М.,1994.

6. Учебно-методическое обеспечение

Содержание беседы по теме “История возникновения процентов”

Процент в переводе с латыни – сотая часть. Знак %, говорят, возник из-за ошибки наборщика, у которого сломалась литера, в результате чего и возник этот причудливый знак, признанный затем всем миром.

Проценты были известны индусам ещё в V веке нашей эры. Это не удивительно, потому что в Индии с давних пор счёт вёлся в десятичной системе. В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввёл бельгийский учёный Симон Стевин. Он же в 1584 году впервые опубликовал таблицу процентов.

Введение процентов оказалось удобным не только для оценки одного вещества в другом. В процентах стали измерять изменение производства товаров, денежных доходов.

Что только не измеряют в процентах, даже двоечников в школе.

А теперь решим несколько задач на проценты.

1. Купец торговал положенными в торг 100 рублями с убытком, так, что оставшаяся сумма после первого года без 4/25 всего (начального) капитала, равна оставшейся сумме после двух лет. Спрашивается: поскольку он получил убытка от 100 рублей в прошлый год?

Ответ: 80 или 20 руб.

2. Положим, например, что отдан в ломбард капитал, состоящий из 10000 руб. по 5 процентов, и ежегодно еще вносится по 800 руб. Спрашивается: после 12 лет сколь велик, капитал сей будет?

Ответ: 30692 руб. 26 коп.

3. Цену товара уменьшили на 10%, а потом ещё на 10%. Стал бы он дешевле, если его цену сразу снизили бы на 20%?

Анализ вариантов вступительных экзаменов показал, что многие ВУЗы ежегодно предлагают абитуриентам задачи на проценты. Такие задачи включены и в ЕГЭ. Например, в ЕГЭ 2005 года была предложена следующая задача:

1. Для определения оптимального режима повышения цен социологи предложили фирме с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами.

В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с 1 февраля) на 2 %, в другом – через каждых два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и тоже число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковы.

На сколько процентов надо повышать цену товара через каждые два месяца во втором магазине?

Решение: Пусть искомая цена товара была Х.

В первом магазине через один месяц будет Х + 0,02 Х = 1,02 Х,

через два месяца 1,02 Х + 0,02 • 1,02 Х = 1,02 Х (1 + 0,02) = 1,02² Х,

через три месяца 1,02² Х + 0,02 • 1,02² Х = 1,02² Х и т.д.

Через шесть месяцев получим 1,02 ⁶ Х.

Во втором магазине – пусть повышена цена товара на У %, тогда через один месяц

Х + У/100 • Х = Х (1 + У/100), через три месяца Х (1 + У/100) + У/100 • Х (1 + У/100) =  Х (1 + У/100)², через шесть месяцев Х(1 + У/100)² + У/100 • Х (1 + У/100)² = (1 + У/100)² • Х (1 + У/100) = Х(1 + У/100)³, т.к. по условия задачи через полгода т.е. 1 июля цены станут одинаковыми, то 1,02 ⁶ Х = Х(1 + У/100)² разделим обе части уравнения на Х, получим:

1,02 ⁶ = (1 + У/100)³

1,02² = 1 + У/100

102² : 100² = (100 + У):100

102² = 100 (100 + У)

100У = 102²– 100²

100У = 2 • 202

У = 4,04

Ответ: На 4,04% надо повысить цену.

2. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билета. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала первоначальной?

3. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала повышать сотруднику зарплату на 2%. Однако в связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько процентов фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы 1 января следующего года зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения предусмотренной в договоре?

Решение задач с помощью систем уравнений

Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4%-ный раствор некоторого химического вещества и 10%-ный раствор этого же вещества и получил 75 мл 8%-го раствора. Сколько миллилитров 4%-го раствора и сколько 10%-го раствора было взято?

Решение. Обозначив через х. и у количества 4%-го и 10%-го раствора, запишем первое уравнение системы: х +у = 75.

Второе уравнение системы связывает количество соли в 4%-ном, 10%-ном и в получившемся растворах: 0,04х + 0,1у = 0,08(х+у).

Решим систему уравнений:

х+у=75	х+у=75
0,04х+0,1у=0,08(х+у)	4х+10у=8х+8у
х+у=75	х=25
2х-у=0	у=50

В банк внесен вклад в размере 500 руб. Выясните, через сколько лет вклад удвоится, если банк выплачивает 8 % годовых (можно воспользоваться калькулятором)

Решение: Через год сумма вклада увеличится на 8% и составит 108% от первоначальной. Поэтому, чтобы найти новую сумму, нужно 500 руб. умножить на 1,08. Через два года новая сумма увеличится в 1,08 раза и т.д. Последовательным умножением на 1,08 найдем с помощью калькулятора, что через 9 лет величина вклада удвоится.

2.1. Вычисления количеств по процентам

В городе N состоялись выборы в городскую думу, в которых приняли участие 75% избирателей. Только 10% от числа принявших участие в выборах отдали голоса партии “зелёных”. Сколько жителей проголосовали за эту партию, если в городе всего 1 миллион избирателей?

2.2. Вычисление процентов по количествам

В одном городе Канады 70% жителей знают французский язык и 80% – английский. Сколько процентов жителей этого города знают оба языка?

Распродажа

Задача 1. Зонт стоил 360 руб. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре – ещё на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение. Стоимость зонта в ноябре составила 85% от 360руб.т. е 360•0,85=306руб. Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90% от 306руб., т.е.306•0,9=275,4руб.

Дополнительный вопрос. На сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел зонт?

Решение. Найдём отношение последней цены к исходной и выразим его в процентах. Получим 76,5%. Значит, зонт подешевел на 23,5%.

Задача 2 . На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной тонны лука. Ему известно, что при хранении урожая теряется до 15% его массы, а при транспортировке – до 10%. Сколько лука должен собрать фермер, чтобы осуществить свой план?

Решение. Просчитаем худший вариант. Пусть нужно собрать Х т лука. Тогда после хранения может остаться 0,85х, то и на ярмарку будет доставлено – 0,9•0,.85х. Составим уравнение 0,.9•0,.85х=1, откуда х1,3. Ответ: не менее 1,3т

Задача 3. На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на24%, а потом ещё на 10%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили 593 руб.?

Решение. В реальной жизни часто вместо точных подсчётов удобно выполнять прикидку. В нашем случае 593 руб.– это примерно 600 руб.; а 24% – это примерно 1/4. Четверть от 600 руб. составляет 150 руб. и составила примерно 450 руб. После второй уценки новая цена кроссовок снизилась ещё примерно на 45 руб. В итоге кроссовки подешевели примерно на 195 руб.

Тарифы

Задача 4. В газете сообщается, что с 10июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3р.15к. вместо 2р75к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%?

Решение. Разность тарифов составляет 0,4р., а её отношение к старому тарифу равно 0,145445… . Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,5%.

Ответ: да, соответствует.

Дополнительный вопрос. Сколько будет стоить отправка заказного письма, если сейчас эта услуга оценивается в 5р.50к.?

Ответ: 6р.30к.

Штрафы

Задача 5. Занятие ребёнка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 руб. Оплата должна производится до 15-го числа каждого месяца, После чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придётся заплатить родителям, Если они просрочат оплату на неделю?

Решение. Так как 4% от 250 руб. составляют 10 руб., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 руб. Родителям придётся заплатить – 250 +10•7=320 (руб.)

Голосование

Задача 6. Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении Ученического совета участвовали 88% учащихся. На вопрос референдума 75% принявших участие в голосовании ответили “да”. Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно?

Решение. Выразим проценты дробями и вычислим число учащихся, утвердительно ответивших на вопрос референдума: 550•0,88•0,.75=363(чел.)

Теперь найдём ответ на вопрос задачи:

363:550=0,66 – это 66%.

Дополнительный вопрос. Можно ли ответить на вопрос задачи, не зная числа учащихся школы?

Ответ: да.

Банковские операции

Задача. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8 % годовых. Вкладчик положил на счет 5000р и решил в течение 5 лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год, через два года, через пять лет?

Решение.

Так как 8% от 500р. составляют 400 р., то через один год на счете окажется 5000+400=5400 (р.).

В конце второго года банк будет начислять проценты уже на новую сумму. Так как 8% от 5400 р. составляют 432 р., то через 2 года на счете окажется 5400+432=5832 (р.) Вычисляя последовательно, найдем, что через 5 лет на счете вкладчика будет 7346р. 64 коп.

Задачи для самостоятельного решения.

1. При двух последовательных одинаковых процентных повышениях зарплата в 1000 рублей обратилась в 1254 рубля. На сколько процентов каждый раз повышалась зарплата.

2. Цену товара повысили на 50%, затем новую цену снизили на 30%. На сколько % повысилась цена товара? (на 5%)

3. Число деталей, которое рабочий должен изготовить по плану, составляет 80% числа фактически изготовленных деталей. На сколько процентов рабочий перевыполнил план? (25%).

Сюжеты задач взяты из реальной жизни – из газет, объявлений, документов.

Распродажа

1. Антикварный магазин приобрёл старинный предмет за 30 тыс.р. и выставил его на продажу, повысив цену на 60%. Но этот предмет был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цену на 20%. Какую прибыль получил магазин при продаже антикварного предмета? (8,4 тыс. р.)

2. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350р. Уценили на 40%, а через неделю ещё на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить этот шарф и насколько рублей? насколько рублей

3. Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 р. За коробку продавали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок? (примерно 6 тыс. р.)

Тарифы

1. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3р. 15к. вместо 2р. 75к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%, и почему? (да).

2. Дополнительный вопрос. Сколько будет стоить отправка заказного письма, если сейчас эта услуга оценивается в 5р. 50к.? (6р. 30к.).

3. В начале года тариф на электроэнергию составлял 40к. за 1 кВт ч. В середине года он увеличился на 50%, а в конце года – еще на 50%. Как вы считаете, увеличился ли тариф на 100%, менее чем на 100%, более чем на 100%? (увеличился на более чем на 100%.

4. Стоимость проезда в городском автобусе составляла 5р. В связи с инфляцией она возросла на 200%. Во сколько раз повысилась стоимость проезда, а автобусе? Можно ли ответить на поставленный вопрос, не зная стоимости проезда? (в 3 раза, пусть попробуют сделать рисунок).

5. В этом году тарифы на услуги лодочной станции оказались на 20% ниже, чем в прошлом году. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20% выше, чем в нынешнем году? (нет).

Банковские операции

1. За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы лишается 25% месячного оклада, и, кроме того, за каждый просроченный месяц к штрафу прибавляется 5% месячного оклада. Оклад сотрудника 10 тыс.р. В каком размере он должен заплатить штраф при нарушении сроков на 5 месяцев? (5 тыс.р.)

2. Вкладчик открыл счёт в банке, внеся 2000 р. На вклад, годовой доход по которому составляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счету через год; через два года; через 6 лет? (2240р.; 2508р.80к.; 3947р. 65к.)

3. Банк обещает вкладчикам удвоить их сбережения за пять лет, если они воспользуются вкладом “Накопление” с годовой процентной ставкой 16%. Проверьте, выполнит ли банк своё обязательство, (да, вклад увеличится более чем в два раза.).

4. В прошлом году Антон для оплаты своего обучения воспользовался кредитом сбербанка, взяв сумму 40тыс.р. с обязательством возвратить кредит (с учётом 20% годовых) через три года. В этом году снижены процентные ставки для кредита на оплату обучения в образовательных учреждениях: с 20% до 19% годовых. Поэтому у Бориса, последовавшего примеру брата, долг окажется меньше. На сколько рублей уменьшится его долг? (на 1700р.)

Голосование

1. Собрание гаражного кооператива считается правомочным, если в нём приняли участие 2/3 всех его членов, и вопрос считается решённым, если за него проголосовали не менее 50% присутствовавших. В гаражном кооперативе 240 человек. На собрание пришли 168 членов кооператива, за положительное решение обсуждаемого вопроса проголосовали 86 человек. Какое принято решение (положительное или отрицательное)? (Положительное).

Вычисления количеств по процентам

1. В городе N состоялись выборы в городскую думу, в которых приняли участие 75% избирателей. Только 10% от числа принявших участие в выборах отдали голоса партии “зелёных”. Сколько жителей проголосовали за эту партию, если в городе всего 1 миллион избирателей?

Вычисление процентов по количествам

1. В одном городе Канады 70% жителей знают французский язык и 80% – английский. Сколько процентов жителей этого города знают оба языка?
2. Цены на промышленные и продовольственные товары снизилась на 25%. На сколько процентов повысилась реальная заработная плата?
3. Во время предвыборной кампании социологический центр “Зевс” поднял цену социологических исследований на 300%. Но отсутствие спроса заставило вернуться к прежнему уровню. На сколько процентов была снижена цена?

2.3. Ненормативное сравнение процентов

1. Два куска латуни имеют массу 30кг. Первый кусок содержит 5кг чистой меди, а второй кусок – 4кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 15% больше первого?

2. К раствору, содержащему 40г соли, добавили 200г воды, после чего массовая доля растворённой соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была в нём массовая доля соли?

Приложение № 2

Контрольная работа

1 вариант

1. Стоимость товара сначала снизили на 12%, а затем новую стоимость снизили ещё на 5%. Сколько процентов от первоначальной стоимости составляет окончательная стоимость этого товара после двух последовательных снижений и на сколько процентов, в общем, снижена была стоимость товара? (83,6%; на 16,4%).
2. Некоторое число уменьшено на 25%. На сколько процентов нужно увеличить получившееся число, чтобы получить первоначальное число? (на 33 1/3).
3. Цену на пылесос снизили на 10%, в результате чего он стоит теперь 38,7руб. Сколько стоил пылесос до снижения цены? (43руб.).
4. За пересылку денег по почте с отправителя взимают 2% переводной суммы. Какую наибольшую сумму денег можно перевести, имея на руках ровно 100руб.? (98руб. 3коп.)

2 вариант

1. Цену товара повысили на 50%, а затем новую цену снизили на 30%. На сколько процентов повысилась цена товара?

2. Число увеличено на 25%. На сколько процентов нужно уменьшить результат этого увеличения, чтобы получить первоначальное число? (на 20%).

3.Две шкурки общей стоимостью в 2250 тыс. руб. были проданы на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй – 50%? (900руб. и 1350руб.).

4. Какое наименьшее число работников может быть в кооперативе, если известно, что мужчины составляют в нём строго меньше 50%, но строго больше 40%? (9)