Тема урока: Решение уравнений высших степеней различными способами (9 класс).
Цели урока:
- повторить алгоритм решения квадратных и биквадратных уравнений;
- познакомить учащихся с различными способами решения уравнений высших степеней;
- способствовать развитию навыка решения уравнений высших степеней.
- развивать позитивные индивидуальные способности учащихся, интеллектуальную исследовательскую культуру.
ХОД УРОКА
1. Учитель. Уравнение одно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Из общих методов решения уравнений высших степеней, которые встречаются чаще всего, используют:
- метод разложения левой части уравнения на множители;
- метод замены переменной (метод введения новой переменной);
- графический способ.
2. Устная работа
а) Определение уравнения, корня уравнения.
Что значит решить уравнение?
Какие существуют способы решения уравнений второй степени?
б) Решите уравнения.1) 463x2 – 102x – 361 = 0;
2) 4x4 – 3x2 – 1 = 0.
в) Является ли 17 корнем уравнения
x3 – 19x2 + 213x – 1000 = 0.
Ответ. Нет, так как левая часть равенства
173 – 172 · 19 + 17 · 213 = 1000 кратна 17, а правая нет.
г) Докажите, что уравнение x4 – 2x2 – 2x + 1 = 0 не имеет отрицательных корней.
3. Учитель. Однажды в ноябре 1594 года во дворе Генриха 4 (Франция) Нидерландский посланник рассказал об известной задаче знаменитого математика Адриска Ван Ромена. Это был вызов математикам всего мира. Речь шла о решении уравнения 45 – й степени. В списке тех, кому следовало направить его научный вызов, Ван Ромен не указал ни одного француза и посланник заметил, что по видимому, во Франции нет математиков. “Но почему же? – возразил король. У меня есть математик и весьма выдающийся”. Он послал за Виетом Франсуа (1540 – 1603 г.). Один корень Виет нашел сразу же, а на следующее утро представил 22 решения этого уравнения.
4. Учитель. Лучший способ научиться решать уравнения состоит в том, чтобы эти уравнения решать самому. Желательно научиться решать уравнения третьей, четвертой и более высоких степеней.
Продолжим изучение новых способов решения уравнений.
Пример 1. Решите уравнение x3 – 3x – 2 = 0 различными способами (ученики решают самостоятельно).
а) Разложим левую часть уравнения на множители.
x3 + x2 – x2 – x – 2x – 2 = (x + 1)2(x – 2); (x + 1)2(x – 2) = 0; x = – 1, x = 2.
б) Воспользуемся тем, что любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена (следствие теоремы Безу (1730–1783)).
Среди делителей свободного члена ± 1; ± 2 находим корни уравнения.
в) Графический способ (демонстрирует учитель с помощью графопроектора).
Перепишем в виде x3 = 3x + 2. На одной координатной плоскости строим графики функций у = x3 и у = 3x + 2. Графики функций пересеклись в двух точках, абсциссы которых – 1 и 2.
Пример 2. x4 – 2x3 – 3x2 + 4x + 4 = 0.
Уравнение x4 – 2x3 – 3x2 + 4x + 4 = 0 удобно решать выделением полного квадрата (метод Феррари (1522–1565) в честь итальянского математика).
x4 – 2x3 + x2 – 4x2 + 4x + 4 = 0; (x2 – x)2 – 4(x2 – x) + 4 = 0.
Вводим замену t = x2 – x и решаем уравнение t2 – 4t + 4; t = 2; x = – 1 или x = 2.
Пример 3. (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40.
Уравнение вида (x – а)(x – b)(x – с)(x – d) = m, m = / = 0 сводится к биквадратному, при выполнении одного из условий a + b = c + d или а + с = b + d или a + d = b + c.
В нашем случае 1 + 5 = 2 + 4.
а) Введем замену t = x + 3, тогда x = t – 3.
Перепишем уравнение (t – 2)(t – 1)(t + 1)(t + 2) = 40,
t4 – 5t2 – 36 = 0; t = ±3; x = – 6; x = 0.
б) (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40,
(x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40,
Заменим x2 + 6x = t и решим уравнение t2 + 13t = 0.
Пример 4. 6x4 – 35x3 + 62x2 – 35x + 6 = 0.
Уравнение 6x4 – 35x3 + 62x2 – 35x + 6 = 0 называется симметричным (возвратным).
Возвратные уравнения: аx4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Т.к. x =/= 0, то обе части уравнения делим на x2 и группируем члены с одинаковыми коэффициентами.
а (x2 + 
) + b (x + 
) + c = 0.
Разделим обе части уравнения на x2 (x =/= 0) и сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами
6 x2 – 35x + 62 – 35 • + 6 • = 0,
6 (x2 + )
– 35(x + ) + 62 = 0.
Введем замену x + = t, тогда x2 + 
= t2 – 2.
Решим уравнение 6t2 – 35t + 50 = 0, t =
, t = 
.
x = 
; x = 
; x = 2; x = 3.
Пример 5. 
+ 
= 3.
а) При x=/= – 3, x=/= ±
получим уравнение
x4 – 4x3 – 31x2 + 46x + 168 = 0.
Используя следствие теоремы Безу наxодим корни уравнения.
б) Решим это уравнение нестандартно.
Перепишем уравнение в виде
– 4 + 
+ 1 = 0;
+ 
= 0;
(x2 – 5x – 14) (
+ 
) = 0, x
=/= – 3, x =/= ±
.
x2 – 5x – 14 = 0 или x 2 + x – 12 = 0.
Решая квадратные уравнения, получим x = – 4, x = – 2, x = 3, x = 7.
Пример 6. (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2.
Перепишем уравнение так:
(x + 2)2 – 1 + (x + 3)3 + (x + 4)4 – 1 = 0.
(x + 1)(x + 3) + (x + 3)3 + (x + 3)(x + 5)(x2 + 8x + 17) = 0.
После преобразований получим
(x + 3)(x + 5)(x2 + 9x + 19) = 0.
x = – 5, x = – 3, x = 
; x = 
.
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание
Решить уравнения:
а) x5 + x4 + 1 = 0.
б) (x + 1)4 + (x + 2)3 = 1.
в) Решить графически уравнение 
– 1 – (x + 1)3 = 0.
Литература.
1. М.Л. Галицкий и др. “Сборник задач по алгебре для 8 – 9 кл.” М.: Просвещение, 1995 г.
2. Л.М. Поповок “1000 проблемных задач по математике”. М.: Просвещение, 1995 г.
3. Л.Ф. Пичурин “За страницами учебника алгебры”. М.: Просвещение, 1995 г.
4. Н.Я. Виленкин и др. “За страницами учебника математики”. М.: Просвещение, 1996 г.