Интегрированный урок по теме: "Периодичность тригонометрических функций"

Цели урока:

• Показать методы познания научной картины мира (анализ, синтез, аналогии, сравнение, выбор)
• Определить понятие периода в жизни и в математике
• Формирование навыков построения графика периодичной функции по ее части
• Развивать навыки анализа, сравнения, аналогии, чертежные навыки, самоконтроля.
• Воспитание добросовестное отношение к учебе.

Знания, умения: Учащиеся должны усвоить определение понятия периодической функции, периода, уметь строить график периодической функции по ее части.

Оборудование: Кодоскоп, осцилограф, слайды, часы, таблицы по биологии (сердце, клетка), таблицы периодических функций – графики y = sin x, y = cos x., таблица орнаментов, элементы народного промысла, Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Часть 1: учебник 10-11 класс. Часть 2: задачник 10-11 класс. Мнемозина. Москва 2002.

Ход урока

1. Организационная часть.

2. Сообщение темы урока: периодичность тригонометрических функции y = sin x, y = cos x.

Каждый человек обладает определенными качествами: интеллект, воспитанность, жизнерадостность, твердая воля, аккуратность и т.д., качеств много, а потребностей у человека всего пять.

• Потребность в общении
• Потребность в творчестве
• Потребность в ощущении глубоких корней
• Потребность к уподоблению
• Стремление к познанию, к освоению мира

Сегодня попытаемся показать связь математике и общей картины мира, что все живое и не живое подчинены одним законам, которые можно описать математическими методами (сравнения, анализ, обобщение, выбор, отбрасывание несущественного и т.д.). Может кому-то понравиться заниматься исследовательской деятельностью и в дальнейшем будет изучать и развивать способы познания, интеллект, ум.

Одним из важнейших моментов получения новых знаний является повторение.

3. Распределение заданий.

а) На доске выполняют работу 3 учащихся.

б) Класс работает устно (кодоскоп, слайды):

Вычислить cos П/3, sin 0, tg П/6, ctg (-П/4), sin П, cos П/2, ctg П/3. При каких значениях t, tg t и ctg t не существуют.

Решить уравнения, используя тригонометрический круг: cos t = 1/2, sin t = -3/2, cos t = 1, sin t = 0.

Составить уравнения функций по графику

<Рисунок 1> (ответ y = sin (x + П/6) или y = cos (x-2П/3)

 

Рисунок 1

<Рисунок 2> (ответ y = cos x + 1/2)

Рисунок 2

<Рисунок 3> (ответ y = sin (x – П/3) + 1

Рисунок 3

Дополнительно построить график функции y = f (x),

Заранее на доске записаны уравнения функций. Построить схематически графики функций y = kx + b (k>0), y = kx + b (k<0), y = kxⁿ (nЄN, n – нечетное, k>0), y = kxⁿ (nЄN, n – четное, k>0), y = x ^–n (n – нечетное), y = x ^–n (n – четное), y= ax² + bx + c (a>0), y = x, y = |x|, y= cos x, y = sin x.

Учитель: На осциллографе показана кривая переменного тока. Чем построение графика, изображенного на осциллографе, отличается от построения графиков данных функции?

4. Объяснение.

К числу самых распространенных механических движений в природе относятся повторяющиеся движения. Приведите примеры повторяющихся движений (вращающиеся движения земли вокруг своей оси и вокруг солнца, вращение стрелок часов, колес автомобиля, биение сердца человека, морские приливы и отливы, смена дня и ночи, смена времен года, движение кольцевого автобуса по свому маршруту, работа двигателя внутреннего сгорания и другие).

Весьма разнообразными повторяющимися движениями являются колебательные движения, колебание маятника часов, автомобиля на рессорах, крыльев птиц, корабля на волнах и т.д.

Колебания широко используют в различных технологических процессах и машинах. Приходится учитывать их вредные действия.

Сообщение учащегося: “Статистика показывает, что около 80 % поломок и аварий в машиностроении является результатом недопустимых колебаний. Смертельною опасностью для самолетов одно время был так называемый “Флаттер” при некоторой заранее непредвиденной скорости самолет начинало трясти, и он разваливался в воздухе. Приходится учитывать возникновение колебаний при строительстве высотных сооружений, мостов (военные по мосту идут не в ногу).

Учитель: Циклы движения в одних случаях, у маятников часов повторяются без изменения, в течение строго определенного времени, а в других (морские приливы, движение поездов и т.д.) – значительно отличаются друг от друга. (проводится актуализация знаний учащихся). Точно повторяющиеся движения называются периодическими.

Учитель: Какую функцию будем называть периодической? Учащиеся ищут ответ на вопрос в учебнике и записывают в тетради, а учитель на доске символами.

Определение: Функцию y = f (x), x Є X, называют периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из множества Х выполняется двойное равенство: f(x – T) = f(x) = f(x + T). Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функций y = f(x).

– в переводе с греческого - обход, круговращение, определенный круг времени.

Учитель: Где вы встречались со словами период, периодический?

Ответы учащихся (учащиеся поясняют понятия):

Период в музыки – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль.

Период геологический – время, в течение которого отлагались осадки, образующие геологическую систему. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.

Период индукции в химии – время между началом реакции и моментом достижения ей скорости.

Период покоя растений – период, во время которого почти полностью приостанавливается ростовые процессы

Период полураспада радиоактивного вещества – время, в течение которого число атомов данного радиоактивного вещества уменьшается в два раза.

Периодическая дробь – бесконечная дробь, в которой, начиная с некоторого места, стоит только периодически повторяющиеся группы цифр.

Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки.

Периодическая система Менделеева – свойство простых тел, также формы и соединений элементов, находящихся в периодической зависимости.

Периодическое воспаление глаз – конъюнктивит.

Задание 1. Учитель: Какие из представленных функций являются периодическими?

Y = kx + b, y = kxⁿ, y = x ^{– n}, y = |x|, y = sin x, y = cos x

Учащиеся: у = sin x, y = cos x. Так как sin (x-2П) = sin x = sin (x + 2П)

cos (x – 2П) = сos x = cos (x + 2П) справедливы для любого х, то y = sin x, y=cos x являются периодическими, и число 2П служит периодом и той и другой функции.

Учитель: Как построить графики функций y = sin x, y = cos x, не перечисляя всех точек?

Учащиеся: построить волну [0; 2П] или [- П; П], а затем сдвинуть волну по оси х на 2П вправо, на 2П влево, на 4П вправо, на 4П влево. В итоге, с помощью одной волны мы можем построить весь график.

Учитель: сколько периодов у периодической функции?

Учащиеся самостоятельно ищут ответы в учебнике, стр. 55, а затем записывают в тетрадях: для функций y = sin x, y = cos x любое число вида 2Пк, где к = ± 1, ± 2, ± 3, …, является периодом функций. Т = 2 П – основной период и той и другой функции.

Учитель: Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?

Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество (таблица орнаментов, элементы вышивок).

Задание 2. Учитель: На рисунках изображены части графиков некоторых периодических функций. Определите период функции <рисунках 4, 5, 6, 7>.

Рисунок 4

Ответы: Т=2, Т=2, Т=4, Т=8.

Задание 3. На <рисунке 8> изображена часть графика периодической функции y = f (x) на [-1;1], длина которого равна периоду. Построите график функции а) на [1;3], б) на [-3;1], на [3;7]. После выполнения задания учащиеся сравнивают свои рисунки с изображением на доске.

Рисунок 8

Задание 4. Преобразовать заданное выражение (sin t или cos t) к виду sin t₀ или cos t₀, чтобы выполнялось соотношение t₀Є (0; 2П) и по возможности найти его значение: sin 11 П/3, cos 9П/2, sin 390⁰, cos 540⁰, sin 50.5П.

Задание 5. изучите по учебнику (стр.55) как найти основной период функции и найдите основные периоды следующих функций (самостоятельно): а) sin x/2, cos3x, sin 5x/4, cos 2x/3. (учащиеся сравнивают записи своих решений с изображениями на слайде).

Задание дополнительно.

Доказать тождество: sin²(x-8П) = 1-cos²(16П – х)

Обобщение. В живом организме органы, ткани, клетки работают ритмически, даже мембрана клетки пропускает ионы в определенном порядке. Нарушение ритма – признак нарушения жизнедеятельности организма. Схема ритмов многоярусна. На нижнем ярусе - клеточные и субклеточные. Более сложные – тканевые ритмы служат основой для ритмической деятельности органов, а последние обуславливают ритмичность организма в целом. Обитатели планеты Земля миллионы лет приспосабливались к ее движению вокруг оси и Солнца. День сменяет ночь, сон, бодрствование, прием пищи, подъем и спад работоспособности определяются движением Земли. Каждый организм подчиняется сезонной периодичности. Но и Солнце диктует также свои законы. Рост дерева изменяется в зависимости от состава и интенсивности солнечного излучения, а оно изменяется с периодом в 11 лет. Наиболее широкие кольца в поперечном разрезе дерева повторяются через каждые 10. Учащиеся приводят примеры периодических процессов живой и неживой природы из биологии. В результате приливно отливных явлений, вызванных Луной, дважды в сутки вздымается поверхность Земли, и Москва, со всеми своими зданиями, поднимается почти на 0,5 метра. Многие цветы закрывают венчики с наступлением темноты. У большинства животных наблюдается периодичность появления потомства. Имеются периодические изменения интенсивности фотосинтеза у растений. Сердце – пример колебательной системы. Работу живого сердца можно наблюдать на графике кардиограммы. Все периодические процессы можно описать с помощью тригонометрических функций и изобразить на графиках. По графикам можно определить отклонение в протекании процессов живой и неживой природы и предпринять необходимые меры.

Итог: Живая и неживая природа подчиняются одним и тем же законам диалектического развития.

Домашнее задание.