"Планиметрия и ЕГЭ". Открытый урок по геометрии

Ханюкова Тамара Владимировна

“Умение решать задачи – такое же практическое искусство,как умение плавать или бегать на лыжах.Ему можно научиться только путем подражания или упражнения”.

(Д. Пойа)

Цель урока:

Систематизировать знания учащихся по ключевым разделам планиметрии. Создать содержательные и организационные условия для применения школьниками комплекса знаний для решения задач, включаемых в материалы ЕГЭ.
Развивать личностно-смысловые отношения учащихся к изучаемому предмету. Способствовать формированию коллективной и самостоятельной работы, формировать умение четко и ясно излагать свои мысли.
Прививать учащимся интерес к предмету через совместную творческую работу; формировать умение аккуратно и грамотно выполнять геометрические построения и математические записи.

Ход урока.

Актуализация знаний.

а) Устные упражнения.

1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 15см и 20 см, а гипотенуза 25 см. Найти радиус вписанной окружности.

Ответ.5см.

2. Сторона равностороннего треугольника равна 2см. Найти его площадь.

Ответ.

wpe15.jpg (2242 bytes)

3.Можно ли описать около четырехугольника АВСД окружность, если А=70, а С=110

4.Можно ли описать около треугольника АВС окружность, если АВС=60,а АОС=120, где О- точка, лежащая внутри треугольника?

Индивидуальная работа по карточкам.

Стороны прямоугольного треугольника АВС равны 6 см, 8см, 10 см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Ответ.2см.

В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС = 20см, а проекция катета АС на гипотенузу равна 9 см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Решение.r =.Пусть ВД-х,тогда АВ=9+х. ВС=;Решая это уравнение получим:ВС=16см.АВ=АД+ДВ.АВ=25см.

АС= ; АС=15см. Следовательно, r=5cм.

Ответ. 5см.

3. Стороны треугольника равны 12см,16 см, 20 см.Найдите высоту, проведенную из вершины большего угла.

Решение.S=,S==96. S=.СД=9,6см.

Ответ.9,6см.

4. Периметр прямоугольного треугольника 72 см, а радиус вписанной окружности 6 см. Найдите диаметр описанной окружности.

Решение. .r=p-c,где p-полупериметр треугольника

6=36-c, c=30

Ответ.30см.

5. Проекция катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 9см и 16см.Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Решение.АВ=АД+ДВ,АВ=25см.

АС=,АС=15см.

ВС=,ВС=20см. Таким образом, r==5.

Ответ.5см.

II Решение задач.

1.Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него окружности и описанной около него окружности равны 2см 5см.

Решение.CE=CF=2cм. Пусть ВЕ=х,тогда ВК=х. АК=АF=10-х.

По теореме Пифагора имеем: АВ=АС+ВС

Решая уравнение 100=(2+х)+(12-х),получим АС=6, ВС=8.

Следовательно, S==24 см.

Ответ. 24 см.

2 В треугольникеАВСА=50, В = 60. На сторонах АВ и ВС выбраны такие точки Д и Е, что ДСА = ЕАС = 30. Найти СДЕ.

Решение.

На этом рисунке можно и нужно провести сразу две вспомогательных окружностей. Пусть точка О пересечение ДС и ЕА – центр описанной окружности. Треугольник АОС равнобедренный, поэтому АОС = 120. Т.к. О + В = 180, то через точки В,Д, О,Е можно провести вторую окружность. Теперь искомый СДЕ опирается на дугу ОЕ, на которую опирается ОВЕ, следовательно СДЕ = 60 – 20 = 40

Ответ.40

Групповая работа.

1.В остроугольном треугольнике АВС В=40проведены высоты АД и ВЕ.Найдите ВЕД.

Решение. Углы АДВ и АЕВ опираются на сторону АВ,значит точки А,В,Д,Е лежат на окружности.Следовательно, ==50

Ответ.50.

2. В четырехугольнике АВСД известны углы: ВАД=96,ВАС=54,. Чему равен .

Решение:DAC=BAD-BAC=96-54=42, т.е DAC=CBD. Но тогда около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Следовательно, BDC=BAC=54(как вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу).

Ответ. 54

3. В четырехугольнике ABCD известны углы: CBD=58, ABD=44, ADC=78 .Найти угол САD.

Решение: АВС=АВД+СВД= 44+58=102. Но тогда АВС+АДС=102+78=180 и, следовательно, около четырехугольника АВСД можно описать окружность. Поэтому САД=СВД=58(как вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу)