Тригонометрический лабиринт

«Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий,
и путь опыта – это путь самый горький»
Конфуций

Цели и задачи урока:

• повторить формулы тригонометрии, методы преобразования выражений;
• проверить умение учащихся применять свои знания при преобразовании тригонометрических выражений различного уровня сложности;
• воспитывать у учащихся умение отстаивать свое мнение;
• развивать мышление, внимание, память через постоянное обращение к имеющимся знаниям учащихся;
• формировать интерес к математике.

I. Вступительное слово учителя

В начале урока мне хочется обратить ваше внимание на слова китайского философа Конфуция, записанные на доске.

Сегодня от вас потребуется: и умение размышлять (при выполнении каждого задания), и умение подражать (точное знание формул и их применение), и опыт (навык преобразования тригонометрических выражений). И я надеюсь, что все эти пути действительно приведут вас к знаниям, которые позволят вам в будущем успешно сдать ЕГЭ и продолжить свое образование в Вузах.

А тема сегодняшнего урока – «Тригонометрический лабиринт». Почему тригонометрический, наверное, понятно, а что такое «лабиринт»? Слово «лабиринт» греческое и означает большое сооружение со сложными переходами, поэтому, говоря о лабиринте, подразумевают какое-то запутанное расположение или сочетание чего-нибудь (словарь Сергея Ивановича Ожегова).

Древние считали задачи, связанные с лабиринтом, вообще неразрешимыми. Человек, попавший в лабиринт, не мог уже из него выйти, если только какое-либо чудо или случай не приходили ему на помощь.

Однако безвыходных лабиринтов нет, разобраться и найти выход из самого запутанного лабиринта не составляет особого труда, если только знать, как действовать.

Софья Ковалевская говорила, что «у математиков существует свой язык – это формулы». И сегодня на уроке с помощью этого языка мы попытаемся преодолеть все трудности, не заблудиться и не потеряться в лабиринте тригонометрических выражений.

Итак, сегодня на уроке мы занимаемся преобразованиями тригонометрических выражений. Эта тема очень важна, т.к. из года в год в ЕГЭ включаются такие задания и в часть А, и в часть В.

Что используют для преобразования тригонометрических выражений?

• формулы тригонометрии;
• свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса;
• общие правила тождественных преобразований, такие как:

- приведение дробей к общему знаменателю;
- сокращение дробей;
- формулы сокращенного умножения;
- др.

Обычно целью преобразования является упрощение тригонометрического выражения. Вспомним некоторые формулы, знание которых нам сегодня понадобится.

II. Индивидуальная работа у доски

1) на доске на карточках записаны части формул, ваша задача восстановить каждую из формул:

2) дома вам предлагалось вывести формулы sin3a и cos3a (это новые для нас формулы, мы пока ими не пользовались)

– 2 человека у доски:

а) sin3 = sin(2 + ) = sin2cos + sincos2 = 2sincoscos + sin(1 – 2sin²) = 2sincos² + sin – 2sin³ = 2sin(1 – sin²) + sin – 2sin³ = 2sin – 2sin³ + sin – 2sin³ = 3 sin – 4sin³.

sin3 = 3sin – 4sin3

б) cos3 = cos(2 + ) = cos2cos – sinsin2 = (2cos² – 1)cos – 2sincossin = 2cos³ – cos – 2sin²cos = 2cos³ – cos – 2(1 – cos²)cos = 2cos³ – cos – 2cos + 2cos³ = 4cos³ – 3cos.

cos3 = 4cos3 – 3cos

III. Устная работа класса (Приложение1) – применение ноутбука и мультимедийного проектора).

Верите ли Вы, что…

IV. Проверка работы у доски

1) Посмотрите на формулы. Есть замечания? Все верно?

Убедимся в правильности ответа. Перевернем карточки правого столбца, прочитаем слово (с обратной стороны карточек правого столбца написаны буквы, которые образуют слово «Бернулли»).

Иоганн БЕРНУЛЛИ – швейцарский математик, который впервые ввел современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos в 1739 г. в письме к петербургскому математику Леонарду Эйлеру. Эйлер пришел к выводу, что эти обозначения очень удобны, и стал употреблять их в своих математических работах.

2) Вывод формул cos3 и sin3 – учащиеся объясняют.

V. В тетради: число, классная работа, тема урока

1) Добавим к нашему списку формул формулы тройного угла. Запишите их в тетради.

Задание

Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения:

Ответ: 6 – наибольшее значение, –6 – наименьшее значение.

2) Презентация (Приложение 2) – применение ноутбука и мультимедийного проектора.

Проверим, насколько хорошо мы владеем изученными формулами. Я предлагаю вам задания, вы их решаете в тетради (даете краткое решение), выбираете правильный ответ и заносите в бланк (аналогичный экзаменационному бланку) номер правильного ответа (зафиксируйте № правильного ответа у себя в тетради). На экзаменационную работу отводится 4 ч, но помните, что большую часть времени, наверное, надо потратить на решение заданий части С. А решение заданий частей А и В надо довести до автоматизма. Поэтому время проверочной работы я вам сегодня ограничу.

Учащиеся сдают бланки (аналогичные бланкам ЕГЭ).

Теперь проверим правильность своего решения (на экране остаются только верные ответы).

– Поднимите руки, кто в части А не допустил ни одной ошибки?
– Кто безошибочно справился с частью В?

3) Продолжаем преодолевать препятствия нашего тригонометрического лабиринта.

На доске записаны задания, посмотрите на них внимательно и выберите задания по своим силам.

а) Упростите выражение:

Ответ: –1;

б) Найдите значение выражения:

Ответ: –5;

в) Найдите sin³ – cos³, если sin – cos = 0,8

Ответ: 0,944

г) (резервное) Найдите 20cos( – ), если выполняются равенства

cos + cos = 0,3 и
sin + sin = –1,1

Ответ: –7;

д) (резервное) Найдите значение выражения:

sin240⁰(sin²75⁰ – sin² 165⁰)

Ответ: –0,75.

VI. Домашнее задание

Составить тест по теме «Преобразования тригонометрических выражений».

5 заданий части А и 2-3 задания части В.

Задания оформить на одном листе, их решения и ответы – на другом.

Для выполнения домашнего задания можно использовать учебник, различные пособия для подготовки к ЕГЭ.

VII. Итог урока

Подведем итог урока.

Чем сегодня занимались на уроке?
Что нового узнали?
Для чего надо знать формулы тригонометрии?

Мне хочется еще раз обратиться к словам Конфуция. Сегодня нам пришлось и размышлять, и подражать, и применять свой опыт при преобразовании тригонометрических выражений. И все эти пути, действительно, ведут к новым знаниям.

Подводя итог нашего урока, хотелось бы пожелать, чтобы вы всегда могли найти путь из любого лабиринта, и пусть ваши знания, умения и навыки помогут вам в этом, и помните, безвыходных лабиринтов нет!

Спасибо за урок.