Урок алгебры и начала анализа по теме "Решение показательных уравнений и неравенств". 11-й класс

Цели урока:

1. образовательные – формирование знаний свойств показательной функции; способов решения показательных уравнений и неравенств; продолжение обучения работе с тестовым заданием;
2. воспитательные – работать над повышением грамотности устной и письменной речи учащихся; воспитание чувства патриотизма у учащихся; подготовка к жизни и выбору профессии;
3. развивающие- развитие у учащихся интереса к предмету через решение нестандартных задач.

Урок комбинированный, методы частично поисковые, форма коллективная.

Оборудование:

1. таблица «Показательная функция».
2. магнитная доска, магниты.
3. записаны на доске вопросы к уроку.
4. оценочные листы у каждого ученика.
5. доска с координатной плоскостью.
6. листы с самостоятельной работой.
7. контрольные талоны.
8. план урока.
9. конверт с НМО.
10. телевизор.
11. видеомагнитофон.
12. кассета с видеофильмом.
13. запись теоремы: а^f(x) = a^{g (x)} f(x) = g(x)
14. запись теоремы: а^f(x) > a^{g (x)} f(x) >g(x), если а > 1.
15. запись теоремы: а^f(x) > a^{g (x)} f(x)< g(x), если 0 < а < 1.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Учитель: Французский писатель Анатоль Франс (1844–1924 гг.) заметил:

«…учиться можно только весело…
Чтобы переварить знания,
Надо поглощать их с аппетитом».

Последуем совету писателя: будем на уроке активными, внимательными; «поглотим» знания с большим желанием, ведь они скоро вам понадобятся.

Сегодня нам предстоит:
Повторить свойства показательной функции; типы, методы и особенности решения показательных уравнений и неравенств.

На столах у вас:

1. план урока (ознакомьтесь с ним).
2. оценочные листы.
3. контрольные талоны и индивидуальные задания.

2. Проверка домашнего задания:

На дом вам давалось творческое задание: нужно было представить себя в роли рекламодателя показательной функции.

1-ий отдел готовил рекламу для основания, большего 1, а 2-ой отдел – для положительного основания, меньшего 1.

Давайте проверим: как ваши рекламные отделы справились с заданием.

Ученик: - Здравствуйте! Я сотрудник 1-го рекламного отдела. Вашему вниманию я хочу представить показательную функцию с основанием, большим 1.

Ученик рассказывает по плану:

• Определение показательной функции с основанием, большим 1;
• Свойства функции;
• Симметрия обратных функций относительно оси ординат;
• Теоремы решения показательных уравнений и неравенств
  (а^{f (x)} =a ^{g (x)} f (x) = g (x) , а^{f (x)} > a ^{g (x)} f (x) >g(x) , если а > 1).
• Методы решения показательных уравнений (функционально-графический, уравнивания показателей, введения новой переменной и др.)
• Применение в реальной жизни (геометрическая прогрессия, закон радиораспада N = N₀ ^. 2^-t/T).

Ученик: 2-ой рекламный отдел представляет показательную функцию с положительным основанием, меньшим 1.

Ученик рассказывает по плану:

• Определение показательной функции с положительным основанием, меньшим 1;
• Свойства функции;
• Симметрия обратных функций относительно оси ординат;
• Теоремы решения показательных уравнений и неравенств
  (а^{f (x)} = a ^{g (x)} f (x) = g (x), а^{f (x)} > a ^{g (x)} f (x)< g (x) , если 0<a<1).
• Методы решения показательных уравнений (функционально-графический, уравнивания показателей, введения новой переменной и др.)
• Применение в реальной жизни (доза принятия лекарств).

Сообщение ученика о дозе принятия лекарств:

- Каждому известно, что таблетки, рекомендуемые врачом для лечения, нужно принимать несколько раз в день, иначе они будут неэффективны. Необходимость повторного введения лекарства для поддержания постоянной его концентрации в крови вызвана происходящим в организме разрушением лекарства. На рисунке показано, как в большинстве случаев изменяется концентрация лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения.

Уменьшение концентрации лекарства может быть аппроксимировано экспонентой, показатель которой содержит время. Очевидно, что скорость разрушения лекарства в организме должна быть пропорциональна интенсивности метаболических процессов.

Известен один трагический случай, который произошел из-за незнания этой зависимости. С научной точки зрения очень интересным для психиатров и нейрофизиологов является препарат ЛСД, вызывающий у нормальных людей своеобразные галлюцинации. Одни исследователи решили изучить реакцию слона на этот препарат. Для этого они взяли количество ЛСД, приводящее в ярость кошек, и умножили его на столько, во сколько раз масса слона больше массы кошки, считая, что доза вводимого препарата должна быть прямо пропорциональна массе животного. Введение такой дозы ЛСД слону привело через 5 минут к его гибели, из чего авторы заключили, что слоны обладают повышенной чувствительностью к этому препарату. Появившаяся позднее в печати рецензия на эту работу назвала ее «слоноподобной ошибкой» авторов эксперимента.

Учитель: - Спасибо! К вашим проектам, при подведении итога урока, мы еще вернемся. Следующим этапом творческой работы будет опрос «Шагаем по экспоненте».

3. «Шагаем по экспоненте».

Учитель: - Руководители двух отделов покажут работу своих сотрудников.( руководители выходят к доске и отвечают на вопросы к уроку, по порядку).

1.1. Что такое функция? Способы задания функции.
1.2. Что такое область определения, множество значений функции?
2.1. Изобразите схематично графики функций: у = (π)^х, у = е^х, у = 5^х +2.
2.2. Изобразите схематично графики функций: у = ( 0,3)^-х, у = π ^х, У = (1/3)^х- 4.
3.1. Укажите способ решения уравнения: 9^х – 3^х +2 = 0
3.2. Укажите способ решения уравнения: 7^х – 7^х-1 = 6; 5^х = 8^х.
4.1. Решите уравнение (это задание выполняют все ученики в тетрадях):7^{1- х} = 49;
4.2. Решите уравнение: 10^х – 5^{х-1 .} 2^х-2 = 950.
5.1. Решите неравенство: х^{2 .} 5^х – 5^2+х < 0.
5.2. Решите неравенство: 4 ^х+1 > 16.

Учитель: - Вы хорошо себя показали как теоретики, практики и конструкторы. А теперь вам каждому дается задание, которое необходимо выполнить в кратчайшее время. Результаты своей работы занесите в контрольный талон.

( Каждому ученику раздается свой вариант работы и контрольный талон. Ответы пронумерованы от 1 до 36. Самостоятельная работа проводится в виде теста, т.е. в каждом задании в ответе надо записать не корень уравнения или конечный результат, а цифру, под которой записан правильный ответ. При этом эту же цифру надо вычеркнуть в контрольном талоне. Решение записывается в тетради. Контрольные талоны сдаются).

Контрольный талон.

1 вариант.

1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 25^3-х = 1/5.
13.(0;1). 17.(1;2). 33.(2;3). 6.(3;4).

2. Найдите произведение корней уравнения 3^х-1 = 243.
9. 6. 4. -4. 23. 4. 24. -6.

3. Укажите промежуток, являющийся решением неравенства 3^х < 3⁴.
3.(- ;4). 16.(4;9). 10.(9;16). 30.(4; + ).

2 вариант.

1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: ( 1/3)^х-1 = 9.
4.. 20. +) . 15. . 29..

2. Найдите произведение корней уравнения: 4^х-1 = 256.
1.-5. 31. 5. 28. -3. 12. 3.

3. Укажите промежуток, являющийся решением неравенства ( ½) ^х > (½)^5.
25. (5; + ). 36.( - ;5). 7.(5;10). 2.(10; ; + ).

Учитель:- Проверку этой работы осуществите сами по коду правильных ответов.
(На доске проектируется код правильных ответов.)

1вариант.

2 вариант

Учитель: Занесите в оценочные листы результаты своей работы.

4. Рефлексия:

- Сегодня на уроке «Решение показательных уравнений и неравенств» мы:

• Повторили основные свойства показательной функции;
• Способы решения показательных уравнений и неравенств;
• Оценили свои знания и возможности;
• Задумались о выборе профессии.

- Оценочные листы сдайте руководителям рекламных отделов.

Н - неопознанный

М - математический

О – объект

Учитель: - В этом конверте находится одно из замечательных иррациональных чисел. При изучении показательной функции мы встречались с этим числом – это было лишь мгновенье, но впереди встреча с логарифмической функцией, где это число играет важную роль. Обозначено это число в честь академика Петербургской Академии наук Эйлера, который жил в 1707-1783 гг. Его труды относились ко всем областям естествознания, в которых можно применять математические методы. А называют это число еще и в честь шотландского любителя математики Джона Непера (1550- 1617 гг.) – « неперов число». Джон Непер впервые составил таблицы, имеющие отношение к этому числу. Что это за число?
(Ответ: е 2,718…, 2 < е < 3)

5. Домашнее задание.

1. 4^sjnх + 2^{5-2 sjnх} =18; (Ответ:(-1)^{п . +п}, п)
2. ( 2^х/3 )^3/4х : 4^-8= 12¹⁶ / 3^0,25х(Ответ:-8;8.)

6. Технический прогресс и его последствия.

- А теперь, как я и обещала, вернемся к домашней работе. Сотрудником 1-го рекламного отдела было упомянуто применение показательной функции в реальной жизни: в законе радиораспада. Предлагаю вашему вниманию видеофрагмент «Последствия техногенных катастроф» о новинках технического прогресса и их чудовищных последствиях.

«Океан седой гремит набатно,
Он таит обиду в глубине,
Черные, раскачивая пятна
На крутой разгневанной волне.
Стали люди сильными, как боги,
И судьба Земли у них в руках.
Но темнеют страшные ожоги
У земного шара на боках.
Мы давно освоили планету,
Широко шагает этот век,
На Земле уж белых пятен нету,
Черные сотрешь ли, человек?