Обобщающий урок – КВН по теме "Решение тригонометрических уравнений и неравенств"

Цель: обобщение изученного материала по теме, формирование умений применять математические знания к решению уравнений и неравенств. Развитие познавательной активности, творческих способностей, воспитание интереса к предмету.

На доске написано:

(Ниже ведется запись полученных очков)

Ход урока

1 этап. Разминка.

На доску проецируются задания.

1. Вычислите:

• arcsin 3/2 + arccos(-1/2) + arctg1;
• arcsin1/2 + arccos1 + arctg 3.

2. Решите уравнения:

• 2sin²х + sinх – 1 = 0;
• sin3х = -1;
• ctg1/2х = - 3.

От каждой команды выделяется 1-2 консультанта, которые собирают тетради в развернутом виде и передают консультантам другой команды для проверки. Побеждает та команда, у которой больше сумма оценок.

2 этап. Блиц – турнир.

На доску проецируются задания.

Найдите ошибку:

• 2 sin2 х cos2х = cos4х;
• sin(3 /2 + ) = sin;
• sin/4 cosх + sinхcos /4 = cos(х + /4 );
• cosх = -1/2; х = - /3 + 2 n, n є Z.
• sinх = -2/2; х = - /3 + n.

За найденную ошибку команда получает 2 балла.

3 этап. Конкурс капитанов.

Капитанам предлагаются задачи, написанные на листочках.

• Задание 1. Sinx + 7cosx = 5
• Задание 2. 8sin²x/2 + 3sinx = 4

Решение 1

Sinx + 7cosx = 5
2sinx/2cosx/2 + 7(cos²x/2 – sin²x/2) = 5(cos²x/2 + sin²x/2)
2sinx/2cosx/2 + 2cos²x/2 – 12sin²x/2 = 0
tgx/2 + 1 – 6tg²x/2 = 0
Пусть tgx/2 = а, тогда данное уравнение принимает вид
-6а² + а +1 = 0
Д = 25
а₁ = 1/2; а₂ =1/3
tg x/2 = 1/2;
x/2 = arctg1/2 + n, n є Z,
x = 2arctg1/2 + 2n, n є Z,
tgx/2 = -1/3
x = 2arctg(-1/3) + 2n, n є Z,

Ответ: 2arctg1/2 + 2n, n є Z, 2arctg(-1/3) +2 n, n є Z,

Решение 2

8sin²x/2 + 3sinx = 4
8sin²x/2 + 3*2sinx/2 cosx/2 – 4(cos²x/2 + sin²x/2) = 0
4sin²x/2 + 6sinx/2cosx/2 – 4cos²x/2 = 0
2tg²x/2 + 3tgx/2 – 2 = 0
Tgx/2 = y
2y² + 3y – 2 = 0
Д=25
Y₁ = - 2; Y₂ = 1/2
Tgx/2 = 1/2
x/2 = arctg1/2 + n, n є Z,
x = 2arctg1/2 + 2n, n є Z,
tgx/2 = -2
x = 2arctg(-2) + 2m, m є Z,

Ответ: 2arctg1/2 + 2n, n є Z; 2arctg(-2) + 2m, m є Z,

В процессе решения задач капитанами, учащиеся решают задачи капитанов противоположных команд и готовят для него вопросы по теме задания. По результатам решения задач и ответов на вопросы, капитаны получают соответствующие баллы.

4 этап. Конкурс консультантов.

Консультанты получают задания написанные на листочках.

• Решите неравенство: Sinx 3/2
• Решите неравенство: Cosx > -3/2

Победителем в этом конкурсе объявляется та команда, члены которой, включая консультантов, решили задания первыми.

5 этап. Конкурс эрудитов. (ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ)

1. Решите уравнения. При каких значениях а, данное уравнение имеет решение.

4sin(x + /3) cos(x – /6) = a² + 3 sin2x – cos2x

Решение:

4*1/2(sin(x+/3 + x – /6) + sin(x +/3 – x + /6)) = 2(sin(2x + /6) + +sin/2)=
=2(sin2x cos/6 + sin/6 cos2x + 1) = 2(3/2 sin2x +1/2 cos2x + 1)= 3 sin2x + cos2x + 2
3sin2x + cos2x + 2 = a² + 3 sin2x – cos2x
2cos2x + 2 = a²
Cos2x + 1 = a²/2
2cos²x = a²/2
cos²x = a²/4
cosx = ±a/2

cosx = a/2

• Если а/2 > 1, т. е. а>2, то уравнение корней не имеет.
• Если а/2 < -1, т. е. а<-2, то уравнение корней не имеет.
• Если -1<а/2<1, т.е. -2<а<2, то уравнение имеет корни X = ±arccosa/2+2 n. n є Z
• Если а = -2, то уравнение имеет вид cosx = -1, то x = + 2 n, n є Z
• Если а = 0, то уравнение примет вид cosx = 0, x = /2 + n, n є Z
• Если а = 2, то уравнение имеет вид cosx = 1, то x = 2 n, n є Z

Cosx = -a/2

• Если -a/2>1, т.е. а<-2 уравнение корней не имеет.
• Если –а/2<-1, а>2, корней нет
• Если -1<а/2<1, то -2<а<2, то х= ±arccos(-a/2) + 2n, n є Z или x= ±( – arccos a/2) + 2n, n є Z
• Если а = 2, cosx = -1 x = + 2 n, n є Z
• Если а = -2, cosx = 1 x = 2 n, n є Z
• Если а = 0, cosx = 0 x = /2 + n, n є Z

2. Решите уравнение

3sin² 2x – 0,5 sin 4x – 4 cos² 2x = 0

3(1-cos 4x)/2 – 0,5 sin 4x – 4(1+ cos4x)/2 = 0
3 – 3 cos 4x – sin 4x – 4 – 4 cos 4x = 0
1 + 7 cos 4x + sin 4x = 0
Cos² 2x + sin² 2x + 7(Cos² 2x - sin² 2x) + 2 sin 2x cos 2x = 0
8 Cos² 2x - 6sin² 2x + 2 sin 2x cos 2x = 0
8 – 6 tg² 2x + 2 tg 2x = 0
Пусть tg 2x = а, тогда уравнение имеет вид:
-6а² + 2а + 8 = 0
3а² – а – 4 = 0
Д = 49
а₁ = 4/3 ; а₂ = -1
tg 2x = 4/3
2x = arctg 4/3 + k, k є Z
X = 1/2arctg4/3 +1/2 k, k є Z
tg 2x = -1
2x = -/4+ k, k є Z
X = - /8+ k/2, k є Z

Ответ: 1/2 arctg 4/3 + 1/2 k, k є Z ; X = - /8+ k/2, k є Z

Этот конкурс является дополнительным. В нем участвуют ученики, которые готовятся к поступлению в технические ВУЗЫ.

6 этап. Подведение итогов.

Выигравшая команда объявляется победительницей, а многие учащиеся получают оценки.

7 этап. Задание на дом.

Решите уравнения.

1. Sin (x + 30^о) + cos (x + 30^о) = 0;
2. 3sin²x – 4 sin cosx + 5 cos²x = 2;
3. 3 sin3x – cos3x =1;
4. Sin6x + sin4x cos²x = sin³x cos³x + sinx cos⁵x;
5. Sinx + 3 cosx = 1;
6. 12 sinx 43 cos ( – x) = 3;
7. 1+ cos(2x +630^о) + sin(2x + 810^о) / 1 – cos(2x – 630^о) + sin(2x + 630^о) = ctg
8. tg4 – cos^-14 = sin2x – cos2x / sin2x + cos2x
9. cos²x + cos²x = cos² 3x + cos²4x
10. (Cos(/2 – x)) / (1 + cosx) =sec²x/2 – 1
11. 2 – sinx cos2x – sin2x cosx = [cos(/4 – 3x/2) – sin(/4 – 3x/2)]²

8 этап. Графический (дополнительный)

1. Построить график функции y = tg |x|.
2. Построить график функции y = |sinx|.

Решение задания №1

Строим график y = tg x для х 0 и симметрично отображаем относительно оси оу

Решения задания №2

Для построения этого графика строим:

• График функции y = sinx.
• Участки графика, где sinx<0 отображаем вверх относительно оси абсцисс.

10 этап. Исторический.

• Доклад “Об истории тригонометрии” стр. 82-83. Учебного пособия “Алгебра и начало анализа 10 – 11 класс” А. Н. Колмогоров
• Доклад “Из истории понятия функции” стр. 85-86.

ЛИТЕРАТУРА:

1. “Алгебра и начала анализа” 10 – 11 класс А. Н. Колмогоров.
2. “Абсолютная величина” И.И. Гайдуков Просвещение 1968.
3. “Сборник задач по математике, предлагаемых на вступительных экзаменах в ВУЗЫ”. Н.П. Антонов Москва 1954. Государственное издательство Технико-теоритической литературы.
4. “Сборник заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы” Дрофа. Москва 2002.
5. “Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в ВУЗЫ”. М.И. Сканави Москва. “Высшая школа” 1978.