Цели:
Обучающие: повторение и закрепление вывода формул, выражающих тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента, научить и отработать ЗУН решения тригонометрических уравнений универсальной тригонометрической подстановкой;
Развивающие: конструирование алгоритма решения тригонометрических уравнений, создание презентации на Power Point; развитие памяти учащихся, умение логически рассуждая делать выводы.
Воспитательные: развитие ораторских способностей; умение анализировать результаты своего труда.
Оборудование: компьютер, интерактивная доска, проектор, раздаточный материал.
Замечание:
За неделю до урока одному из учеников дается задание приготовить презентацию: вывод формул, выражающих связь тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. В начале урока к доске вызывается 2 ученика для работы по карточкам.
К-1. Решить уравнение с помощью формул двойного угла: 4 sinx+3 cosx=5.
К-2. Решить уравнение введением нового аргумента: 4 sinx+3 cox=5.
Ход урока
1. Организационный этап: (1мин)
Учитель формулирует тему и цель урока.
2. Актуализация знаний учащихся: (7 мин)
1) В данных решениях найти ошибки, объяснить и дать правильный ответ. (Фронтальная устная работа) (Приложение1)
- cos x=1/2; x=±
/6+2n; nЄZ - sin x =v3/2; x=/3+n; nЄZ
- sin2x-3cos2x=0;
- x=arctg(3/2)+2n; nЄZ
- tg2x -2tgx-3=0; x=-(/4)+ n; nЄZ
2) Заслушать ученика с выводом формул, выражающих связь тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. (Приложение2)
3. Изучение нового материала и закрепление знаний, умений:
1) Разбор решенных примеров. (4 мин) (Заслушать индивидуальное решение по предложенным заданиям К-1, К-2)
К-1. Решить уравнение с помощью формул двойного угла:
4 sinx+3 cosx=5;
4 ·2 sin(x/2)cos(x/2)+3(cos2 (x/2)-sin2 (x/2))-5(cos2 (x/2)+sin2 (x/2))=0;
8 sin(x/2)cos(x/2)-2 cos2 (x/2)-8 sin2 (x/2)=0;
т.к. sin и cos одного и того же угла одновременно не могут быть равны 0, то поделив обе части уравнения на cos2 (x/2) не равное 0 имеем:
4 tg2 (x/2)-4 tg(x/2)+1=0;
Пусть tg(x/2)=t, где t Є R, тогда
4 t2 -4t +1=0;
(2t-1)2 =0;
t=1/2.
Если t=1/2, то tg(x/2)=1/2;
х=2 arctg (1/2)+2n,
где n Є Z.
Ответ: 2 arctg(1/2) +2n,
где n Є Z.
К-2. Решить уравнение введением нового аргумента:
4 sinx+3 cox=5;
а2 +в2 =25;
(4/5) sinx + (3/5) cox=1;
т.к. (4/5)2 +(3/5)2 =1, то (4/5)= sin
и (3/5)=cos, где 0<< (/2). Тогда имеем:
sinsin x+ coscox=1;
cos (x -)=1;
x -=2n, где n Є Z
x = +2n, где n Є >Z
x=arccos (3/5)+ 2n, где
n ЄZ.
2) Учитель обращает внимание на разную запись ответов. На интерактивной доске демонстрируется заранее приготовленная запись доказательства равенства ответов. (Приложение 3)
3) Перед учениками ставится проблема:
-Нельзя ли решить данное уравнение другим способом?
-Рассмотреть решение данного уравнения, используя формулы универсальной подстановки. (6 мин) (Фронтальная письменная работа)
4 sinx+3 cosx=5;
8 tg2 (x/2)-8 tg(x/2)+2=0;
Пусть tg(x/2)=t, где t Є R, тогда
4 t2 -4t +1=0;
(2t-1)2 =0;
t=1/2.
Если t=1/2, то tg(x/2)=1/2;
х=2 arctg (1/2) +2n,
где n Є Z.
Проверка: если х=
, то
4sin+2k)+cos(+2k)=-3,
-3 не равно5 , значит, х= +2k не
является решением данного уравнения.
Ответ: 2 arctg (1/2) +2n, где n Є Z.
4)Обсуждается решение данного уравнения, учениками формулируется алгоритм решения тригонометрических уравнений универсальной подстановкой. (Приложение 4) (2мин)
5)Решить уравнение: (4 мин). (Фронтальная письменная работа)
tg (2x)+sin (2x)=(16/15) ctg x; ОДЗ: х 
(/4)+(n/2); хn.
4. Отработка ЗУН.
(Групповая форма организации учебной деятельности в парах).
Самостоятельная работа. Учитель проверяет и оказывает помощь. (12 мин)
Решить уравнения:
1) sin (2x) + tg x=0;
2) 4 sinx-6 cos x =1;
3)
(дополнительно)
Самопроверка по готовым решениям, предложенным на закрытых досках.
5. Домашнее задание. (2 мин)
Выучить изученные формулы, алгоритм. Решить 3 любых предложенных уравнения. Одино из них решить несколькими способами.
2 sin(2x) +tgx=5;
sinx - v2 cos x =3;
sin (3x) +5 cos (3x) +5=0;
cos2 x -2 cosx = 4 sin x- sin (2x);
(1/3)2 sin(2x) =(1/9).
6. Итог урока. (2 мин)