Цель: рассмотреть теорему Пифагора и обратную ей теорему, показать применение этих теорем при решении задач.
"Геометрия владеет двумя сокровищами:
Одно из них - это теорема Пифагора".
Иоганн Кеплер.
Ход урока
1. Проверка дом. задания.
2. Устные задачи по готовым чертежам.
А как найти другой катет?
Сегодня мы ответим на этот вопрос, доказав теорему Пифагора. (Выступление учащегося с сообщением). Пифагор Самосский - великий древнегреческий ученый, живший 580-500 лет до нашей эры. История математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. С именем Пифагора связывается много важных научных открытий. В геометрии- это знаменитая теорема Пифагора, а также построение некоторых правильных многоугольников, в географии и астрономии- представление о том, что Земля - шар и что существуют другие, похожие на нее миры, в музыке- зависимость между длиной струны арфы и звуком, который она издает. Считают, что теорема Пифагора была известна еще в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 200 лет до него. Но в историю она вошла под названием теоремы Пифагора. Легенда гласит, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков. Эту теорему называют магистром математики. И она имеет более100 доказательств.
Сейчас мы рассмотрим одно из доказательств.
3. Теорема: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дано: треугольник АВС - прямоугольный,
а, b - катеты, с - гипотенуза.
Треб. док.: с 2 = а2 + b2
Доказательство:
1) Нарисуйте прямоугольный треугольник, обозначьте катеты и гипотенузу
2) Постройте на этом треугольнике квадрат со стороной (а+b)
3) На сторонах квадрата отметьте по одной точке, делящей стороны квадрата на отрезки а и b так, чтобы к каждой вершине квадрата примыкали отрезки а и b.
4) Соедините последовательно эти точки отрезками. На какие фигуры при этом разбился квадрат?
5) Равны ли прямоугольные треугольники? И по какому признаку?
6) Чему равна у них гипотенуза? Обозначьте ее.
7) Чему равны стороны внутреннего четырехугольника?
8) Чему равны углы этого четырехугольника? Какой вывод отсюда следует?
9) Обозначьте площадь этого квадрата через S, а площадь исходного треугольника-S1 Запишите площадь квадрата со стороной (a+ b); S= (а + b)2
10) Запишите площадь квадрата как сумму площадей фигур, из которых он состоит S=4S1 +c2
11) Т.К. мы говорим об одном и том же квадрате, то приравняем эти равенства
(a+ b)2 = 4S1 + c2
12) Распишем формулу квадрат суммы и заменим площадь треугольника формулой S=0,5.a b
a2 + 2ab + b2 = 4.(0,5 . a. b) +c2, a2 + 2 a . b + b2 =2ab +c2,
Преобразуем это равенство и получим a2 + b2 =c2. Теорема доказана.
4. Вернемся к устным задачам и найдем второй катет.
5. Задача: Найдите гипотенузу, если катеты равны 4 и 3 (с = 5). Такой треугольник называется египетским. А тройки чисел (6;8;10) ,(3,4,5), (9,12, 15) - пифагоровыми тройками.
6. А можно ли узнать по тройкам чисел прямоугольный треугольник или нет? Например: a= 12, b= 5, c=13. Теперь прочитаем по учебнику теорему, обратную теореме Пифагора. Докажем ее.
7. Решим задачи № 484, №485, №487.
8. Д.З. №483, №498.