В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Её идеи, методы и результаты не только используются, но и буквально пронизывают все естественные и технические науки, экономику, планирование, организацию производства, связи, а также такие далекие, казалось бы, от математики науки, как лингвистику и археологию. Без хорошего представления о том, что явления и процессы, с которыми мы имеем дело, подчиняются сложным законам теории вероятностей, невозможна продуктивная деятельность людей ни в одной сфере жизни общества.
В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о себе самом и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности.
Мы должны научить жить наших детей в вероятностной ситуации, а это, значит, извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.
Как известно, современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых методик, изменения в требованиях к математической подготовке учащихся. И с этой точки зрения, когда речь идет о формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей.
Одновременно с этим само знакомство школьников с этой, очень своеобразной, областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначным "да" и "нет" существует еще "быть может", причем это "быть может" поддается строгой количественной оценке, способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроках математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. Согласно данным ученых-физиологов и психологов, а также по многочисленным наблюдениям учителей математики, в среднем звене школы заметно падение интереса к математике и связано это с тем, что у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми абстрактно-формальными объектами и реальным миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, - стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету "математика", пропаганде его значимости и универсальности.
Как известно, опыт преподавания в школе основ теории вероятностей в период реформы 60-70 гг. на формально-логическом уровне дал в основном негативные результаты, что привело к изъятию этого раздела из школьных программ: материал оказался сложным, плохо усваивался учащимися. К тому же неоднократно проводимые исследования знаний учащихся старших математических классов показали, сколь мало эти знания способствуют развитию вероятностной интуиции и статистического мышления.
Однако совсем недавно было вновь принято решение ввести этот материал в курс математики основной школы. Внедрение вероятностно-статистической линии в базовый школьный курс математики породило немало проблем. К его появлению оказались не готовы буквально все - от учителей математики до авторов учебников. Удивительно, но, обладая одной из наиболее известных и признанных во всем мире академических школ теории вероятностей, мы до сих пор не имеем ни общей концепции преподавания этого раздела математики в школе, ни достаточного количества учебных пособий для школьников, содержащих соответствующий материал.
Как показывает анализ учебников и учебных пособий, содержащих материал по данной теме, существуют проблемы как в вопросах изложения этого достаточно сложного материала в школьном курсе, так и в определении содержания, необходимого для успешного усвоения и понимания основ теории вероятностей и статистики и его соответствия содержанию и требованиям государственного стандарта по математике. Содержание материала, обязательного изучаемого по данной теме в курсе основной школы, должно включать:
- Понятие и примеры случайных событий;
- Понятия частоты события и вероятности;
- Равновозможные события и подсчет их вероятности;
- Представление о геометрической вероятности;
- Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков;
- Средние результаты измерений;
- Понятие о статистическом выводе на основе выборки.
Согласно требованиям стандарта по математике после изучения данной темы учащиеся должны уметь:
- Находить вероятности случайных событий в простейших случаях;
- Находить частоту событий, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;
- Вычислять средние значения результатов измерений;
- Сравнивать шансы наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией;
- Понимать статистические рассуждения;
- Анализировать реальные числовые данные, представленные в виде диаграмм, графиков, таблиц.
Таким образом, актуальность темы обусловлена:
- необходимостью полноценного изучения важнейших элементов теории вероятностей и математической статистики в основной школе в связи с огромной значимостью и важностью этого материала;
- «новизной» изучаемого материала, который долгое время отсутствовал в курсе математики основной школы;
- недостаточной разработанностью методики преподавания этого материала в школьном курсе математики;
- существованием проблем в вопросах изложения этого материала в различных учебных пособиях.
В связи с этим тема «Понятие вероятности и элементы статистики в основной школе» определяет проблему: поиск путей совершенствования методики изучения вероятностно-статистической линии в основной школе, которая, в свою очередь, выявляет объект исследования - процесс изучения элементов теории вероятностей и математической статистики в курсе математики основной школы.
Основные цели - изучить теоретические аспекты, разработать практические рекомендации по методике изучения стохастической линии в курсе математики основной школы, применить некоторые из них при изучении этого раздела школьниками, проанализировать и сделать выводы о правильности и целесообразности разработанных практических рекомендаций. Добиться того, чтобы изучение вероятностно-статистической линии школьниками на основе разработанной методики способствовала полноценному и качественному усвоению этого достаточно сложного материала, развитию правильных представлений о данном разделе математики и умений применять полученные знания в практической жизни.
Определим задачи:
- изучить и проанализировать научную, учебно-методическую и психолого-педагогическую литературу по теме исследования;
- на основе анализа литературы разработать методику изучения некоторых вопросов стохастической линии в курсе математики основной школы;
- на основе применения разработанных методических рекомендаций сделать выводы об их правильности и целесообразности;
- на основе опытного преподавания проанализировать, как воспринимается этот материал учащимися: степень заинтересованности при изучении этого материала, уровень доступности, трудности, возникающие при изучении этого материала, качество усвоения.
Для достижения целей и решения поставленных задач используются следующие методы:
- изучение учебных пособий и методической литературы, содержащей этот материал;
- анализ психологической, педагогической и методической литературы по данной теме;
- опытное преподавание.
Представляю методику изучения стохастической линии в основной школе по учебному комплекту А.Г. Мордкович и др. по классам.
5 – 6 классы: Достоверные, случайные и невозможные события, Равновероятностные события; дерево вариантов (5 класс). Правило умножения для комбинаторных задач; понятие «Вероятность», подсчёт вероятности (6 класс)
7 класс: Опираясь на знания детей решать простейшие комбинаторные задачи, изучить подробно понятия и формулы «Комбинаторики».
Занятие 1.
Понятие о науке «Комбинаторика»
Цели занятия:
- дать понятие науки «Комбинаторика»;
- познакомить учащихся с историей данной науки;
- привести примеры нескольких комбинаторных задач с решениями для привития интереса учащимся к данной науке.
Занятие 2.
Правило произведения
Цели занятия:
- на простейших комбинаторных задачах вспомнить дерево вариантов и правило произведения в комбинаторике;
- познакомить учащихся с понятием «факториал»;
- закрепить на задачах пройденный материал.
Занятие 3.
Размещения
Цели занятия:
- проверить усвоение правила произведения;
- сформулировать определение размещений с повторениями и без повторений;
- закрепить на задачах число размещений с повторениями и без повторений.
Занятие 4.
Перестановки
Цели занятия:
- проверить усвоение темы прошлого занятия через проверку домашнего задания;
- познакомить учащихся с перестановками без повторений и с повторениями;
- закрепить новую тему при решении задач.
Занятие 5.
Сочетания
Цели занятия:
- дать понятие сочетаний с повторениями и без повторений;
- закрепить тему при решении задач.
Занятие 6.
Решение задач
Цель занятия: закрепить навыки решения комбинаторных задач простейшего типа.
Занятие 7.
Решение задач
Цель занятия: закрепление навыков решения простейших комбинаторных задач.
Занятие 8.
Зачет
Цель занятия: контроль за усвоением материала, выявление уровня усвоения.
8 класс: Т. к. детьми уже были рассмотрены первые представления о понятии и подсчёте вероятности наступления события, то считаю целесообразным подробно рассмотреть раздел «Вероятность»
Занятие1.
История развития теории вероятностей.
Предмет теории вероятностей.
Цель занятия:
- повторить основные элементы комбинаторики
- рассмотреть этапы развития теории вероятностей
Занятие2.
События достоверные, невозможные и случайные.
Цель занятия:
- разобрать основополагающее понятия теории вероятности;
- разобрать типы событий;
- рассмотреть примеры, поясняющие те или иные события.
Занятие3.
Классическое определение вероятности.
Комбинаторные методы решения задач.
Цель занятия:
- разобрать понятие классической вероятности;
- рассмотреть свойства вероятности.
Занятие 4.
Статистическое определение вероятности.
Комбинаторные методы решения задач.
Занятие 5.
Геометрическое определение вероятности.
Комбинаторные методы решения задач.
Занятие 6.
Вероятность суммы несовместных событий.
Вероятность противоположного события
Занятие 7.
Решение задач.
Занятие 8.
Зачётное занятие.
9 класс: Последний раздел стохастики – «Статистическая обработка данных».
Занятие 1.
Введение в статистику.
Место статистики в изучении окружающего мира.
Занятие 2.
Сбор и группировка статистических данных.
Занятие 3.
Среднее арифметическое. Размах. Мода.
Занятие 4.
Медиана.
Занятие 5.
Понятие выборки генеральной совокупности.
Занятие 6.
Наглядное представление статистических данных.
Занятие 7.
Наглядное представление статистических данных.
Занятие 8.
Творческий отчёт. Исследовательская работа.