Задачи:
- Образовательные – показать практическое применение признаков подобия треугольников для решения задач.
- Развивающие – развивать творческое мышление, смекалку, познакомить с некоторыми фактами из истории геометрии, познакомить с профессией “инженер”, поработать с различными единицами измерения длины, в частности, с футом.
- Воспитательные – учить правильно выражать свою мысль и аргументированно её отстаивать, учить работать в группе, вызвать чувство патриотизма, пробудить желание прочитать роман Ж. Верна “Таинственный остров”.
Оборудование: шест высотой около 1 метра, шест высотой с рост ученика, небольшая дощечка, булавки, чертёжные принадлежности, плоское зеркало, книга Ж. Верна “Таинственный остров” (любое издание).
Учебно-методическое обеспечение: Л. С. Атанасян “Геометрия 7 – 9”
Время реализации занятия: 1 час 30 минут (2 урока)
Ход урока
Урок проводится на улице (если позволяет погода).
Проблемная задача перед учащимися: Как измерить высоту дерева, не срубая его и не влезая на него?
- Выслушиваются и обсуждаются самые различные предложения ребят. Тут же можно попытаться решить задачу одним из предложенных способов.
- Рассказ учителя о том, как греческий мудрец Фалес определил высоту пирамиды в Египте. (Он воспользовался её тенью, избрав день и час, когда длина его собственной тени была равна его росту. Чтобы воспользоваться тенью для решения задачи, надо было знать некоторые геометрические свойства треугольника, – именно следующие два (из которых первое Фалес сам открыл):
1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно – что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою;
2) сумма углов любого треугольника равна 1800 ( т. е. двум прямым углам)
- У нас выбрать день и час, когда длина тени равна длине предмета очень трудно, поэтому нужно усовершенствовать решение Фалеса.
Какие будут предложения? (Выслушиваются предложения учеников.)
В ходе рассуждений учащиеся приходят к выводу, что в солнечный день можно воспользоваться любой тенью. Измерив длину шеста (ав) и длину его тени (вс), вычисляют искомую высоту из пропорции: АВ : ав = ВС : вс.
- Далее дети самостоятельно (или в группах) производят необходимые измерения и вычисляют высоту дерева. Сравнивают полученные результаты.
- Д/З. а) Попробуйте применить это правило к теням, отбрасываемым при свете уличного фонаря. (Самое интересное, что оно не оправдается. Объясните, почему в случае с солнечными лучами этот способ применим, а в случае с уличным фонарём – нет); б) Рекомендую прочитать роман Ж. Верна “Таинственный остров” и найти там другой способ измерения высоких предметов.
На втором уроке рассматриваются различные способы измерения высоты.
- Обсуждение выполнения домашнего задания.
- На прошлом уроке мы узнали, как можно определить высоту дерева.
Проблемный вопрос: существуют ли другие способы измерения высоких предметов? (выслушиваются версии учащихся, обсуждается их точность и выполнимость)
Класс делится на группы, каждая группа рассматривает свой способ, потом рассказывает его всему классу. Учащиеся получают задание на карточке.
Другие способы измерения высоты.
I. Изготовление простейшего прибора – “высотомера”:
Любая дощечка (можно использовать кору дерева, если у неё есть плоская сторона) и 3 булавки. На этой дощечке намечают три точки – вершины равнобедренного прямоугольного треугольника, и в них втыкают булавки. Если под рукой нет чертёжной линейки для построения прямого угла и нет циркуля для отложения равных сторон, можно воспользоваться листом бумаги: перегните лист бумаги, затем поперёк первого сгиба ещё раз так, чтобы обе части первого сгиба совпали – получился прямой угол. С помощью этого же листа можно отмерить равные расстояния.
Использование высотомера: Отойдя от измеряемого дерева, держите прибор так, чтобы один из катетов треугольника был направлен отвесно, для чего можно воспользоваться нитью с грузом, привязанной к верхней булавке. Приближаясь к дереву или удаляясь от него, найдите такое место, из которого глядя на булавки а и с, увидите, что они покрывают верхушку дерева С: это значит, что продолжение гипотенузы ас проходит через точку С. Тогда, очевидно, расстояние аВ равно СВ, т . к. угол ? = 450. Следовательно, измерив расстояние аВ и прибавив ВD, т. е возвышение аА над землёй, получите искомую высоту дерева.
 |
 |
II. Использовать шест. Необходимо воткнуть этот шест отвесно в землю так, чтобы выступающая часть была равна вашему росту. Затем необходимо лечь на землю так, чтобы, упираясь ногами в шест, вы видели верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Т. к. треугольник Авс – равнобедренный и прямоугольный, то угол А = 450 и, следовательно, АВ = ВС, т. е. искомой высоте дерева.
Этот способ описан у Жюля Верна в романе “Таинственный остров”.
“– Сегодня нам надо измерить высоту площади далёкого Вида, – сказал инженер.
– Вам понадобится для этого инструмент? – спросил Герберт.
– Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу.
Юноша, стараясь научиться возможно большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега. Взяв прямой шест, футов 12 длиною, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был ему хорошо известен. Герберт же нёс за ним отвес, врученный ему инженером: просто камень, привязанный к концу верёвки. Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест в песок фута на 2 и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы, лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно пометил колышком.
– Тебе знакомы начатки геометрии? – спросил он Герберта, поднимаясь с земли.
– Да.
– Помнишь свойства подобных треугольников?
– Их сходственные стороны пропорциональны.
– Правильно. Так вот, сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же – мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.
– Понял! – воскликнул юноша. – Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.
– Да. И, следовательно, если мы измерим два первых расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый, неизвестный нам член пропорции, т. е. высоту стены.
Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее – 500 футам.
По окончании измерений инженер составил следующую запись:
15 : 500 = 10 : х,
500 • 10 = 5 000
5 000 : 15 = 333,8.
Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам”
Вопросы к тексту: – Кто такой инженер?
– Что такое фут? Переведите эту единицу длины в понятные нам метры. (можно воспользоваться справочником)
IV. При помощи зеркала. Глядя на рисунок, сообразите, как измерить высоту дерева, выполните измерение.
V. Высотомер лесоводов. (очень удобен, если по какой- либо причине подойти к дереву невозможно)
VI. Измерение высоты дерева при помощи шеста (случай из истории Великой Отечественной войны).
Вот как однажды было на одном из фронтов Великой Отечественной войны. Подразделению лейтенанта Иванюк было приказано построить мост через горную реку. На противоположном берегу засели фашисты. Для разведки места постройки моста лейтенант выделил разведывательную группу во главе со старшим сержантом Поповым… В ближайшем лесном массиве они измерили диаметр и высоту наиболее типичных деревьев и подсчитали количество деревьев, которые можно было использовать для постройки.
Высоту деревьев измерили при помощи вешки (шеста) так, как показано на рисунке.
Этот способ состоит в следующем.
Запасшись шестом выше своего роста, воткните его в землю отвесно на некотором расстоянии от измеряемого дерева. Отойдите от шеста назад, по продолжению Dd до того места А, с которого, глядя на вершину дерева, вы увидите на одной линии с ней верхнюю точку b шеста. Затем, не меняя положения головы, смотрите по направлению горизонтальной прямой аС, замечая точки с и С, в которых луч зрения встречает шест и ствол. Попросите помощника сделать в этих местах пометки, и наблюдение окончено. Остается только на основании подобия треугольников аbс и аВС вычислить ВС из пропорции
ВС : bс = аС : ас,
откуда
ВС = вс(аС/ас).
Расстояния bс. аС и ас легко измерить непосредственно. К полученной величине ВС нужно прибавить расстояние СD (которое тоже измеряется непосредственно), чтобы узнать искомую высоту дерева.
Задание:
- Выполните измерение данным способом.
- Подумайте, как можно подсчитать количество деревьев на достаточно большой площади?
Подведение итогов
Домашнее задание
Решить на выбор одну из задач № 581, 579, 582.