Цели урока:
1.Обобщить материал об изученных видах уравнений.
2. Ознакомить с симметричными уравнениями и алгоритмом их решения.
3. Ознакомить с уравнениями, решаемыми с помощью теоремы Безу и следствий.
Материал: презентация, мультимедийный аппарат, интерактивная доска, дополнительная литература.
ХОД УРОКА
1. Актуализация знаний. (Открыт первый слайд презентации с темой урока)
Ребята, вспомним, чем мы занимались на прошлом уроке? Да, готовили базу знаний для сегодняшнего урока. Ведь сегодня мы проходим тему, которой нет в ваших учебниках. Откроем тетради и запишем тему урока.
Задание: разделить многочлен на многочлен углом.
1 вариант: х4 + х3 + х2 + 3х +2 на х + 1
2 вариант: х3 + х + 2 на х + 1.
Проверка выполненных заданий.
На прошлом уроке мы просмотрели довольно интересные замены. Вспомним. Если выражение х + 1/х = у, то х2 + 1/х2 = у2 -2, х3 + 1/х3 = у3 – 3у. Всё это нам нужно будет при усвоении новых знаний. Итак, перейдём к теме урока.
2. Усвоение новых знаний.
Тема “Уравнения” является одним из самых важных разделов математики. Ею начали заниматься давным-давно. По второму слайду ознакомимся с историческим материалом.
1) Египедские и вавилонские мудрецы нашли способы решения квадратных уравнений.
2) III век - древнегреческий математик Диофант в основном своем труде “Арифметика” дал решение задач, приводящих к так называемым диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру.
3) Рубеж VI–VII вв. - творчество Омара Хайама, среднеазиатского поэта и математика (изложил решения уравнений до третьей степени включительно).
4) Конец XV в.- Лука Пачоли, итальянский математик, изложил правила арифметических действий, решения некоторых алгебраических уравнений, их приложения к геометрии, теорию геометрических пропорций.
5) 1545 г. - Джероламо Кардано нашел формулу решения неполного кубического уравнения.
6) 1591 г. - французский математик Франсуа Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений.
7) П. Руффини (1765–1822) - итальянский математик, дал доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени.
8) Нильс Хендрик Абель (1802–1829) - занимается теорией интерполирования функций, теорией функциональных уравнений и теорией чисел.
9) Труды французского математика Эвариста Галуа (1811–1894) - по теории алгебраических уравнений положили начало развитию современной алгебры.
Перейдём к третьему слайду. Вопрос: что значит решить уравнение? Какое число является корнем уравнения? Правильность ваших ответов проверим по новому слайду, к которому перейдем по гиперссылке через слово “уравнения” и вернёмся обратно. Вы, наверное, обратили внимание на то, что в первом столбике записаны виды уравнений в одинаковых фигурах. Это знакомые вам уравнения. Давайте вспомним их:
- линейные уравнения;
- линейные уравнения с модулем;
- квадратные уравнения;
- дробно-рациональные уравнения.
Для каждого вида учащиеся дают общую формулу и обговаривают количество корней. Правильность ответов проверяют по скрытым слайдам по гиперссылке. А вот уравнения высших степеней для вас ново. Щёлкнем по этому названию. Уравнениями высших степеней занималось несколько математиков: итальянский математик Сципион Дальферро, итальянский учитель математики Николо и врач, философ, математик и механик Джероламо Кардано. Последний математик вывел формулу вычисления корней уравнения третей степени, данных в виде х3 + pх + q = 0. Просматриваются скрытые слайды, и возвращаемся к первоначальному третьему слайду.
Ребята, давайте вспомним алгоритмы решения знакомых нам уравнений.
По четвёртому слайду проводится устная работа по решению уравнений:
5х-2=3
4(х+2)=4х-1
-6х+1=5(0,2-1,2х)
х2+7х+10=0
3х2-7х+4=0
4х2+6х+2=0
6х2-2х=0
5х2+1=0
3х2-27=0
А вы помните как решаются уравнения с модулем?
По пятому слайду учащиеся вспоминают алгоритм решения уравнений с модулем: |2х-3|=4х-2; 2х-3=0; х=1,5;
1) х<1,5; 2x-3<0; -2x+3=4x-2; -6x=-5; x=5/6; (Входит в рассматриваемый промежуток)
2) х>1,5; 2х-3>0; 2x-3=4x-2; -2x=1; x=-0,5; (Не входит в рассматриваемый промежуток)
Ответ: х=5/6.
Примечание: в домашнем задании будет подобное.
А теперь разминка.
Я проговариваю предложения. Если оно справедливо – вы встаёте, если нет – то остаётесь сидеть.
- Уравнение 5х = 7 имеет единственный корень.
- Уравнение 0х = 0 не имеет корней.
- Если Д > 0, то квадратное уравнение имеет два корня.
- Если Д < 0, то квадратное уравнение имеет один корень.
- Количество корней уравнения не больше степени уравнения.
Перейдём к уравнениям высших степеней. Уравнение третей и более степени называется уравнением высших степеней. (Открывается 6 слайд) Мы с вами рассмотрим два вида: симметричные уравнения и уравнения, решаемые с помощью теоремы Безу и её следствий.
(7 слайд) Уравнения, у которых коэффициенты членов равноудаленных от “начала” и “конца” уравнения равны между собой, называются симметричными.
6х4-35х3+62х2-35х+6=0
Ознакомимся с порядком решения таких уравнений.
Т.к, конечно, х
0,
то разделим на х2:
6х2 - 35х + 62 - 35/х + 6/х2 = 0.
Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:
6(х2 + 1/х2) - 35(х + 1/х) + 62 = 0.
!!Фокус!! Если х+1/х = у, то (х+1/х)2=у2; х2+1/х2= у2-2;
6(у2 - 2) - 35у + 62 = 0; 6у2 - 35у + 50=0; у1=5/2; у2=10/3; х + 1/х =5/2 и х + 1/х =10/3
Решая эти уравнения, получим: х1=1/2; х2=2; х3=1/3; х4=3.
По восьмому слайду разбирается решение уравнения с помощью теоремы Безу.
Теорема Безу.
Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х - а равен значению многочлена при х = а. Р(х)=(х- а)Д(х)+R, где R= p(a)
Следствие:
Если а - корень многочлена Р(х), то этот многочлен без остатка делится на двучлен х - а.
Теорема:
Целые корни уравнения n-й степени могут быть только среди делителей свободного члена.
Пример:
x4+х3+х2+3х+2=0.
Делители свободного члена + - 1; + - 2. Подстановкой убеждаемся, что х = - 1 – корень уравнения. Для нахождения остальных корней воспользуемся теоремой Безу:
Легко проверить, что многочлен х3+х+2 имеет корень x=-1:
Уравнение х2-х+2=0 действительно корней не имеет.
Ответ: х = -1
3. Закрепление знаний.
Учащиеся работают в тетрадях. Записывается определение симметричных уравнений.
Уравнения, у которых коэффициенты членов, равноудалённых от начала и конца уравнения, равны между собой, называются симметричными. уравнениями. Выберите из группы заданных симметричные уравнения.
6х3 – 7х2 – 16х + 12 = 0
7х4 + 16х3 +12х2 + 16х + 7 = 0
х3 – 3х + 2 = 0
4х2 + 12х + 12/х + 4/х2 = 47
х3 – 2х2 – 3х + 10 = 0
х4 – 2х3 – х2 +2х = 0
Запишем следствия из теоремы Безу.
- Если а – корень многочлена, то этот многочлен без остатка делится на выражение х – а.
- Целые корни уравнения п-ой степени могут быть только среди делителей свободного члена.
4. Выводы по уроку.
Что изучено, роль этого урока среди других. Отмечаются активные учащиеся, оцениваются.
5. Домашнее задание.
Решить уравнения:
|3х – 4| = 2х + 1
2(2х–1)4 + 5(2х–1)2 – 7 = 0