Все этапы урока, выделяясь как самостоятельные, подчинены триединой цели, вытекают один из другого, создавая единую логическую структуру.
В уроке использованы элементы исследовательских технологий, технология групповой работы, приём интерактивного обучения – обучение в общении, где главная идея – «все обучают каждого, каждый обучает всех».
Уже на самых первых этапах через предварительную проверку домашнего задания, через устную работу, работу с заданиями типа «Верно ли, что...» с применением компьютера и экрана, учитель имеет возможность быстро получить информацию о том, на сколько материал усвоен обучающимися.
Также у учителя появляется возможность (при необходимости) провести повторение и корректировку знаний и умений непосредственно перед выполнением заданий самостоятельно, определить круг тех учеников, которым будет необходимо поддержка учителя и тех, кому наверняка будут нужны дополнительные задания на продвинутом уровне, что, собственно, и предусмотрено самообучающей самостоятельной работой, а затем контрольным тестированием.
Вторая часть урока фактически проводится самими учащимися. Используя самостоятельно изученный материал, презентацию, наиболее подготовленные учащиеся учатся объяснять материал своим товарищам, т.е. выступают в роли учителя, что, несомненно, обеспечивает положительную мотивацию учения, позволяет обучающимся испытать удовлетворение от сознания: « я умею», «я могу».
Выбранные методы организации учебно-позновательной деятельности, методы контроля и самоконтроля, позволяют реализовать цели личностно-ориентированного обучения на данном уроке, а сама форма его проведения, в силу его нестандартности, учета возрастных особенностей семиклассников, придаст дополнительный интерес не только к овладению знаниями и умениями по теме, но и к изучению математики в целом.
Цели урока:
- Обобщить и систематизировать материал по данной теме.
- Провести диагностику усвоения системы знаний и умений, ее применения для решения задач с переходом на более высокий уровень.
- Развивать познавательные интересы, память, внимание, наблюдательность и сообразительность.
- Повысить интерес учащихся к нестандартным заданиям, сформировать у них положительный мотив учения.
Тип урока: обобщение и систематизация знаний, умений и навыков.
Оформление доски к началу урока:
Экран |
Дата. Тема урока |
Устный счет |
Плакат «4 кита» |
1 человек за доской на перемене готовит решение задачи из дом. Работы двумя способами.
Оборудование:
- компьютер;
- проектор;
- экран;
- плакат с изображением 4-х китов;
- 15 папок с тестами и дом. Заданием;
- сигнальные карточки;
- презентация по теме «Треугольник Паскаля»
- «Правило возведения многочлена в квадрат».
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
– Ребята, как известно, алгебра стоит
на 4-х китах: число, уравнение, тождество, функция.
Сегодня мы еще раз уделим внимание киту
«тождество», в частности «тождествам умножения»:
обобщим и систематизируем наши знания по этой
теме.
– Что называется тождеством?
– Что такое тождественные преобразования
выражений?
– Какие тождественные преобразования
выражений мы изучили в этом году?
– Какие преобразования выражений позволяют
выполнять формулы сокращенного умножения?
II. Устно
1) Прочитайте выражения: (а + 5)2; (х
– у)3; а + 52; а – 52
– Какие из этих выражений не являются
произведениями?
– Можно ли их представить в виде
произведения?
2) Представьте трехчлен х2 + 4х + 4 в виде произведения?
3) х3 – 8
4) Какое слагаемое нужно вставить на
пропущенное место, чтобы трехчлен можно было бы
представить в виде произведения b2 – b
+ …
Назовите формулу?
5) (– а – 3)2. Представьте в виде многочлена.
6) Найдите наименьшее значение выражения (а + 5)2. При каком значении переменной?
(х – 3)2 + 2. При каком значении переменной?
7) Верно ли, что при b = – 5,23 значение выражения b2 – 8b + 16 равно – 6
8) Решите уравнение: х2 – 25 = 0 р2 – 2р + 1 = 0
9) Вычислите:
; 
; 372 – 272.
Какие формулы используете?
III. Проверка домашнего задания
– А сейчас проверим выполнение одного из заданий домашней работы:
Найти значение выражения: (х + 1)2 – 2(х
+ 1) (х – 1) + (х – 1)2 при х
=  |
1 способ: (х + 1)2 – 2(х + 1)(х – 1) + (х – 1)2 = х2 + 2х + 1 – 2х2 + 2 + х2 – 2х +1 = 4.
2 способ: (х + 1)2 – 2(х + 1)(х – 1) + (х – 1)2 = (х + 1) – (х – 1)2 = (х + 1 – х + 1)2 = 4.
– Какой способ понравился больше?
– Почему? (Красивее).
– На примере этого задания мы лишний раз
убеждаемся в том, что к математике нельзя
относиться догматически, нужно всегда
стремиться искать рациональные пути решения, как
говорят более красивые.
IV. «Верно ли что?»
– Ребята, ко мне случайно попал листок, где учащийся, надеюсь не из нашего класса, выполнил некоторые задания, и как раз по нашей теме.
Давайте проверим его.
| 1) (x + 10)(x + 10) = x2 + 100 2) (3y – 1)(1 + 3y) = 1 – 9y2 3) 4х2 – 6х + 9 = (2х – 3)2 4) а + 4b = (3a + b)2 5) (2x + 3) (4x2 – 12x + 9) = 8x3 + 27 6) (2x – 3) (4x2 – 6x + 9) = 8x3 – 27 |
V. Самопроверка
– А теперь проверим себя.
– У вас на столах лежат папки: выньте задание № 1.
и выполните его (3 мин.)
| Замените … одночленом так, чтобы равенство
стало тождеством: 1) … – 4b2 = (a –
…)(a + …) |
Проверьте себя! На экран выводятся правильные решения, выделенные ярким цветом.
VI. Тест (контрольный)
– Выньте из папок условия теста и выполняем его (6 мин.), затем сдаем. Результаты – на следующем уроке.
| I вариант | II вариант |
| 1. Выполните действия: (5a – b)(b + 5a)
|
1. Выполните действия: (7 + 3a)(3a – 7)
|
| 2. Представьте выражение в виде
многочлена: (x + 4)2
|
2. Представьте выражение в виде
многочлена: (a – 9)2
|
| 3. Какой одночлен нужно вставить …,
чтобы данное равенство стало тождеством? (2a – 3)(4a2 + … + 9) = 8a2 – 27
|
3. Какой одночлен нужно вставить …,
чтобы данное равенство стало тождеством? 125x3 + 1 = (5x + 1)(25x2 – … + 1)
|
| 4. Упростите выражение: (a – 5)(25 + a2)(5 + a)
|
4. Упростите выражение: (x + 2)(x2 – 4)(x – 2)
|
| 5. Решите уравнение: (x – 2)(x + 2) = (x – 2)2
|
5. Решите уравнение: (b – 5)2 = b(b – 8)
|
| 6. Запишите на математическом языке
следующее выражение: «Отношение суммы кубов двух выражений к сумме этих выражений равно …» |
6. Запишите на математическом языке
следующее выражение: «Отношение разности кубов двух выражений к разности этих выражений равно…» |
– Сдаем работы!
VII. Домашнее задание
– Ребята, у вас в конвертах лежат листы с домашним заданием: домашняя контрольная работа. Прошу к следующему уроку выполнить ее на двойных листах.
VIII. Подведение итогов первой части урока и переход ко второй части
– Итак, мы с вами изучили 5 основных тождеств
сокращенного умножения.
– Зачем мы изучаем эти формулы? В чем их
польза?
– Возникает вопрос: «А нет ли еще каких-либо
формул аналогичных, позволяющих упрощать
вычисления? Оказывается – есть!!! И об этом нам
расскажут представители творческих групп,
которые проводили исследования по этому вопросу.
1-я группа.
Наша группа заинтересовалась вопросом:
– Есть ли такие тождества, с помощью которых
можно было бы быстрее возводить в квадрат сумму
не только двух, но и более выражений?
Оказалось, что есть!!!
Мы провели свой эксперимент и, используя правило
умножения многочлена на многочлен, получили
следующие результаты:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +2bc
(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
Мы заметили, что существует закономерность: правые части этих равенств содержат квадраты каждого выражения и их удвоенные произведения, взятые попарно.
Изучив дополнительную литературу по математике, мы нашли правила, подтверждающее нашу гипотезу:
Квадрат суммы нескольких выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенные произведения каждого из них на каждое последующее.
Используя это правило, рассмотрим пример:
(3 + b + 2с)2 = 9 + b2 + 4с2 + 6b + 12с + 4bс
Если же рассматривается алгебраическая сумма, то при вычислении удвоенных произведений учитывается знак « – ».
(3 – b – 2с)2 = 9 + b2 + 4с2 – 6b – 12с + 4bс
Для тех, кто желает попробовать свои силы, мы предлагаем дома представить в виде многочлена: (4а + 3b + с)2
2-я группа.
Наша группа заинтересовалась вопросом:
– Есть ли такие формулы, которые могли бы
помочь возводить двучлен в целую
неотрицательную степень. И вот, что мы
получили.
Рассмотрим двучлены:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1а + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
Составим таблицу из коэффициентов в треугольной форме:
1
1 1
1
2 1
1
3
3 1
Можно заметить закономерность в составлении таблицы: по краям стоят 1, а каждое число нижней строки равно сумме предшествующего и последующего чисел верхней строки.
Продолжив составление этой таблицы, получаем:
1
1 1
1
2 1
1
3
3 1
1
4
6
4 1
1 5
10 10
5 1
1 6 15
20
15 6
1
Можно продолжать до бесконечности.
Эта таблица называется «треугольник Паскаля» по имени французского ученого Блеза Паскаля, жившего в 17 веке, который изобрел первую счетную машину и очень много сделал в области математики, которая называется комбинаторика.
Блез Паскаль (1623-1662)
Пользуясь этой таблицей, рассмотрим пример:
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10а3b2 + 10а2b3 + 5аb4 + b5
Если же (a – b)5, то знаки чередуются, т.к. отрицательное слагаемое – b в нечетной степени дает отрицательный результат.
Для тех, кто желает, мы предлагаем дома выполнить:
(a + b)4; (a + b)5,
IX. Завершающее слово учителя
– Ребята, действительно этой таблицей удобно пользоваться при возведении двучлена в любую натуральную степень. Плохо только то, что эта таблица строится рекуррентно, т.е. чтобы возвести двучлен, например, в 7 степень (a + b)7, приходится возвращаться ко всем предыдущим строкам, чтобы узнать коэффициенты размножения.
X. Итоги урока
Подведение итогов. Выставление отметок.
– Всем спасибо!!