Цель: пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике.
Рекомендации:
- Вечер проводится с учащимися 8-х классов.
- Рекомендуется изготовить костюмы.
- При желании некоторые задачи можно заменить, а можно придумать и продолжение истории.
- Вечер проводится в игровой форме.
- При подготовке вечера создаются инициативные группы, которые готовят различные выступления.
Сценарий вечера
В Десятичном королевстве жили цифры, математические фигуры, символы и знаки. И была у них традиция: раз в год собирались они в своем главном городе Цифрограде, где во дворце Усердия король Ноль и королева Единица устраивали бал. На этом балу каждое графство показывало то новое, что оно узнало за прошедший год.
Жители графства Геометряндии прибыли на бал в необычных костюмах, у каждого на груди был квадрат, у одних поменьше, у других – побольше. И на них в определенном порядке были изображены числа. Все очень заинтересовались такими необычными костюмами. Тогда представители графства рассказали следующую историю: “ В общем случае магическим квадратом является расположение чисел от 1 до n2 в виде квадрата так, что числа в каждом столбце, строчке и диагонали дают одинаковую сумму S, называемую магической суммой.
Для каждого числа n существует только одна магическая сумма S, которую легко найти.
S – сумма чисел в каждом столбце
N – количество столбцов
n • S – сумма всех чисел в магическом квадрате.
Но сумма всех чисел от 1 до n2 равна 
Во времена средневековья странные свойства этих квадратов считались волшебными и поэтому магические квадраты служили талисманами, защищающими тех, кто их носил, от несчастий. Часто воспроизводится магический квадрат, присутствующий на знаменитой гравюре Альбрехта Дюрера “Меланхолия”. Этот квадрат выглядит следующим образом:
Средние числа в последней строке изображают год 1514, в котором была создана эта гравюра.
Для чисел, больших 3, можно построить великое множество магических квадратов. В XVI и XVII вв., и даже позже, составление магических квадратов столь же процветало, как и составление кроссвордов в наши дни.
Бенджамин Франклин, выдающийся американский общественный деятель, дипломат и ученый (1706–1790 гг) составил квадрат 8х8, обладающий следующими свойствами: S=260, сумма четырех чисел, стоящих в углах равна 260, сумма чисел, стоящих в центре квадрата равна 260, сумма чисел, стоящих на линиях одинакового цвета равна 260.
Неожиданно королю и королеве принесли конверт, вскрыть который можно было только, выполнив следующее предписание: “ Напишите на конверте трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались друг от друга более чем на 1. Поменяйте местами крайние цифры и вычтите из большего числа меньшее. В результате опять поменяйте крайние цифры и получившееся число прибавьте к разности первых двух. У вас получилось число 1089.” Конверт был вскрыт и там то же был лист бумаги, на котором написано 1089.
Король и королева обратились к присутствующим с просьбой объяснить это. Один из гостей предложил такое решение:
100а+10b+c-(100c+10b+a)=99(a-c), делится на 99.
Так как крайние цифры отличаются более, чем на 1, то эта разность будет трехзначным числом, обозначим его 100k+10n+m=99k+(10n+m+k), т.к. разность делится на 99, то (10n+m+k) делится на 99. Значит n=9 , m+k=9 .
Число с переставленными крайними цифрами имеет вид: 100m+10n+k и сумма равна 100k+10n+m+100m+10n+k=100(k+m)+20n+(m+k)=100·9+20·9+9=1089.
Затем король и королева предложили всем потанцевать, а когда танец подходил к концу из дальнего угла зала послышался какой-то шум. Король потребовал доставить ему нарушителя порядка: “Как вы посмели нарушить спокойствие нашего вечера? Вы находитесь во Дворце Усердичя,одном из самых спокойных и уравновешенных заведений!”
– О, наш уважаемый король! Не гневись, выслушай нас, -сказал Корень Квадратный, представитель графства Иррациональности, – Всем известно, что 2х2=4. И я не могу согласиться с мнением Множителя о том, что 2х2=5.
– Все равно – 5, все равно! – прокричал Множитель.
– Успокойтесь, – сказал Король. – Мы готовы выслушать ваши аргументы. Прошу вас, Множитель!
– Докажем, что 2х2=5.
16-36=25-45
Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получаем
– Вот и все! – заключил множитель.
– А вот и не все! – Воскликнул Корень. – Ошибка
проскользнула в следующем заключении : из того,
что 
Был сделан вывод, что 
.
Но из того, что квадраты чисел равны, вовсе не следует, что равны первые степени этих чисел.
Спорщики успокоились и танцы продолжились.
Тут слово попросил Многочлен: “Можно задать всем присутствующим задачу? На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга – с восемью, Вера – с девятью и т.д. до Нины, которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?”
Свое решение предложила Погрешность: “Задача решается очень просто, если удачно выбрать неизвестное. Будем искать не число танцоров, а число танцорок, которое обозначим через х.
Вдруг сверкнула молния, свет в зале погас, а когда снова включился, все увидели Уравнение со своей свитой.
– Ах, это вы, Уравнение? – воскликнула Королева. – Вы всегда появляетесь так неожиданно и всегда в вас скрыта какая-то загадка. А есть ли у вас для нас что-нибудь новенькое?
– О да, моя Королева. Мы покажем вам новый фокус. Пусть кто-нибудь напишет на листе бумаги тайно от меня какое-нибудь трехзначное число. Припишите к нему это же число еще раз. У вас получится шестизначное число. Передайте лист соседу, и пусть он разделит это число на 7. Результат вручите своему соседу, не сообщая мне, пусть он разделит его на 11. Передайте результат дальше. Разделите его на 13. Дайте мне лист. Вот з адуманное число. (Демонстрирует последнюю запись.)
Решение:
Например, 872872=872000+872=872·1000+872=872·(1000+1)=872·1001, т.е.
задуманное число умножили на 1001.
Затем это произведение разделили на 7, на 11, на 13,
т.е. на 7х11х13, т.е. на 1001 .
А в конце бала Король и Королева предложили всем маленькое поппури на математическую тему:
- Между числами 2 и 3 поставьте знакомый вам математический символ., чтобы получилось число больше 2, но меньше 3. (Ответ: 2,3.)
- Сумма какие трех положительных чисел равна их произведению. (Ответ: 1+2+3=1·2·3 )
- Почему крышки уличных люков делают не квадратными, а круглыми? (Ответ: Если квадратную крышку люка поставить на ребро, то она может соскользнуть в люк.)
- Много лет назад в одну душную июльскую полночь в Омахе пошел сильный дождь. Возможно ли, чтобы через 72 часа в Омахе сияло солнце? (Ответ: Нет. Будет полночь.)
Гости быстро справились с заданием.
На протяжении всего вечера по указанию Короля и Королевы работала комиссия, которая выявляла наиболее активных участников. В заключении вечера Король и Королева наградили победителей.