Геометрия возникла в глубокой древности – несколько тысячелетий до нашей эры. Самые древние памятники культуры говорят о том, что уже 4-5 тысяч лет назад люди знали многие геометрические факты, изучаемые в настоящее время в школе.
Проникновение геометрии из Междуречья и Египта в Грецию привело к тому, что отрывочные, опытные, на глаз установленные факты здесь начинают превращаться в цепь связанных между собой предложений; каждое из них занимает в этой цепи определенное место и логически вытекает из предыдущих. Соответственно этому развитие геометрии шло в Греции в двух направлениях: во-первых, стремились логическими средствами найти возможно большее число геометрических истин; во-вторых, старались свести к возможному минимуму те геометрические факты, которые устанавливаются опытом.
Несмотря на то, что первые попытки обосновать геометрию предпринимались задолго до Евклида (одна из таких попыток принадлежала древнегреческому геометру Гиппократу Хиосскому, V век до н.э.), все они поблекли и были забыты после появления гениального творения Евклида. Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно, что в течение двух тысячелетий для математиков «Начала» были образцом для подражания, а для прочих – единственным учебником, по которому учились как взрослые, так и дети. «Начала» Евклида в качестве учебника царили вплоть до XVIII в., а в некоторых странах и дольше [2].
Математиков особенно интересовал последний, пятый постулат. Он читается так: «…если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов оказалась меньше двух прямых, то эти прямые при достаточном их продолжении пересекаются и при этом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых».
Необходимость последнего, пятого постулата для построения геометрии не кажется очевидной: сам Евклид доказывает целый ряд теорем, не опираясь на него, и совершенно не ясно, почему в этот ряд не могут быть включены все теоремы евклидовой геометрии. Особая роль пятого постулата, его сложность и недостаточная наглядность привели к тому, что математики позднейших времен стали пытаться доказать его как теорему.
Одни математики старались доказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые можно вывести из последних, не используя сам пятый постулат. Все такие попытки оказались неудачными. Их общий недостаток в том, что в доказательстве неявно применялось какое-нибудь предположение, равносильное доказываемому постулату: «через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данной», «сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым» и т.д. Многие попытки доказательства проводились методом доказательства от противного, т.е. предполагалось, что пятый постулат неверен, и из этого делался ряд выводов.
Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели, в конце концов, к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней пятый постулат не выполняется.
В 1826 году впервые в истории математики Н.И. Лобачевский высказал мысль о том, что пятый постулат Евклида не зависит от остальных аксиом геометрии. Это сообщение оказало поистине революционное воздействие на дальнейшее развитие науки. Не случайно впоследствии, когда идеи русского ученого получили всеобщее призвание, математики стали называть Лобачевского Коперником геометрии.
В противоположность пятого постулата Евклида, Лобачевский принимает в основу построения теории параллельных линий следующую аксиому: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, более одной прямой, не пересекающей данную прямую. В самом деле пусть прямая СС¢ не пересекает АА¢
тогда все прямые, проходящие внутри углов ВРС и В¢РС¢ также не пересекаются с прямой АА¢ [3].
23 февраля 1826 года Лобачевским был прочитан доклад под названием «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных линиях», в котором были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии», как он называл систему, позднее получившую название неевклидовой геометрии. Именно эта дата рассматривается как день рождения неевклидовой геометрии. Доклад 1826 года вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии – статьи «О началах геометрии», напечатанной в журнале Казанского университета «Казанский вестник» в 1829 – 1820 годах дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены мемуары «Воображаемая геометрия», «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках» соответственно в 1835, 1836 и 1835-1838 годов. Переработанный текст «Воображаемой геометрии» появился во французском переводе в Берлине, там же в 1840 году вышли отдельной книгой на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных линий» Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 годах он издал в Казани на русском и французском языках «Пангеометрию» [1].
Одной из предпосылок геометрических открытий Н. И. Лобачевского (1792-1856) стал его материалистический подход к проблемам познания. Лобачевский был твердо уверен в объективном и не зависящем от человеческого сознания существовании материального мира и в возможности его познания. В речи «О важнейших предметах воспитания» (Казань, 1828) Лобачевский приводит слова Ф. Бэкона: «оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины, и на все вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно». В своем сочинении «О началах геометрии» Лобачевский писал: «первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным – не должно верить». Тем самым Лобачевский отвергал идею об априорном характере геометрических понятий, поддерживавшуюся И. Кантом [1].
Высоко оценил «Геометрические исследования» Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства. Однако в печати с оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил.
Развивая свою геометрию, которую он назвал "воображаемой", Лобачевский получил стройную логическую систему, в значительной степени отличавшуюся от геометрии Евклида, не получив логического противоречия.
В мемуаре «О началах геометрии» (1829) Лобачевский определяет основные понятия геометрии, не зависящие от V постулата, и, заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть больше p, Лобачевский заявляет: «Мы видели, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть больше p. Остается предполагать эту сумму меньше p или равную p. То и другое может быть принято без всякого противоречия впоследствии, от чего и происходят две Геометрии: одна, употребительная доныне по своей простоте, соглашается со всеми измерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая и потому затруднительная в своих вычислениях, допускает возможность зависимости линий от углов».
Лобачевский указывает, что в «воображаемой геометрии» сумма углов треугольника всегда меньше p и две прямые могут не пересекаться в случае, когда они образуют с секущей углы, в сумме меньшие p.
Параллельные прямые определяются как такие, которые не пересекаются, но могут быть получены предельным переходом из пересекающихся. Через каждую точку плоскости проходят две прямые, параллельные данной прямой, лежащей в этой плоскости; эти прямые делят пучок прямых, проходящих через данную точку, на четыре области, в двух из которых проходят прямые, пересекающие данную прямую, а в двух – прямые, которые не пересекают эту прямую и не могут быть получены предельным переходом из пересекающихся – такие прямые называются расходящимися; параллельные прямые разграничивают пресекающие прямые от расходящихся. На следующем рисунке изображены прямые r и r¢, проведенные через точку А параллельно прямой p, прямые q и q¢, проведенные через точку А и пересекающие прямую p, и прямые s и s¢, расходящиеся с прямой p.
Угол a между прямой, проведенной через точку А параллельно прямой p, и перпендикуляром, опущенным из А на p, Лобачевский называет «углом параллельности». Лобачевский устанавливает также, что расходящиеся прямые обладают общим перпендикуляром и удаляются друг от друга по обе стороны от него, а две параллельные прямые приближаются друг к другу и расстояния точек одной из них от другой стремится к 0 при неограниченном удалении этих точек. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше p и если d - «угловой дефект» треугольника, то есть разность между p и суммой его углов, то площадь треугольника S равна q2d, где q служит на плоскости Лобачевского абсолютной единицей длины, аналогичной абсолютной единицей длины, аналогичной единице угла в евклидовом пространстве [3].
Круг при стремлении его радиуса к бесконечности переходит в системе Лобачевского не в прямую, а в особого рода кривую «предельного круга» - в настоящее время такие кривые называют орициклами. Сфера при тех же обстоятельствах переходит не в плоскость, а в кривую поверхность, которую Лобачевский назвал «предельной сферой», а в настоящее время именуют орисферой. Лобачевский отмечает, что на орисфере имеет место евклидова геометрия, причем роль прямых на ней играют орициклы. Это позволяет Лобачевскому, опираясь на евклидову тригонометрию на орисфере, вывести тригонометрию на плоскости в его геометрической системе. Название «воображаемая геометрия» подчеркивает, что эта геометрия относится к евклидовой, «употребительной», по терминологии Лобачевского, как мнимые числа, «воображаемые», по его терминологии, к действительным.
Лобачевский сразу же поставил вопрос об экспериментальной проверке того, какая геометрия имеет место в реальном мире – «употребительная» или «воображаемая», для чего он решил измерить сумму углов треугольника, образованного двумя диаметрально противоположными положениями Земли на ее орбите и Сириусом и, считая один из углов этого треугольника прямым, а другой – равным углу параллельности, Лобачевский нашел, что эта сумма отличается от p на разность, меньшую ошибки угломерных инструментов в его время. «После того, - пишет Лобачевский, - можно вообразить, сколько эта разность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех вычислений обыкновенной геометрии и дозволяет принятые начала рассматривать как бы строго доказанными».
Это объясняет, что под «строгим доказательством теоремы о параллельных» в докладе 1826 года Лобачевский понимал невозможность установить экспериментальным путем, какая из двух геометрий имеет место в реальном мире, откуда вытекает, что на практике можно пользоваться «употребительной геометрией», не рискуя впасть в ошибку.
Но новая геометрия не получила признания при жизни ее творца. Большинство ученых считало идеи Лобачевского бессмысленными – авторитет Евклида все еще был столь велик, что сделать шаг навстречу новой геометрии было отнюдь не просто. Однако на сегодняшний день геометрия Лобачевского нашла свое применение во многих областях науки: в общей теории относительности, в теории геометризованной гравитации Марселя Гросмана-Гильберта-Эйнштейна (1913-1915). Довольно неожиданно, еще раньше была установлена cвязь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией Лобачевского. В 1909 году Зоммерфельд показал, что закон сложения скоростей данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса (подобное соотношение также отмечал и Лобачевский). В 1910 году Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на плоскости Лобачевского [4].
Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах. Современная теория квант все с большей настоятельностью выдвигает необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам микромира.
Геометрия Лобачевского нашла интересные приложения и в ряде областей математики. Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определенных интегралов. А французский математик Анри Пуанкаре использовал геометрию Лобачевского при построении теории автоморфных функций. Геометрия Лобачевского нашла применение и в одном из разделов теории чисел: геометрии чисел.
С открытием неевклидовой геометрии закончились бесплодные попытки доказательства V постулата. Формально эта проблема была решена после смерти Лобачевского путем установления непротиворечивости геометрии Лобачевского. Таким образом, Лобачевским была решена проблема, о которую в течение 2000 лет разбивались тщетные усилия математиков.
Говоря о гигантском вкладе в науку Н. И. Лобачевского можно отметить следующее: «в истории математики, в истории точного знания и философии Лобачевский всегда будет принадлежать к числу величайших основоположников наряду с Архимедом, Коперником и Ньютоном» [1].
Литература
- Каган В.Ф. Лобачевский. – М.: Просвещение,1944.–312с.
- Рыбников К.А. История математики: учеб. для ВУЗов. – М.: изд-во МГУ, 1994.-496с.
- Силин А.В., Шмакова Н.А. Открываем неевклидову геометрию. – М.: Просвещение, 1988.–127с.
- Смышляев В.К. О математике и математиках. – М.: Наука, 1977.–247с.