Вход в Личный кабинет

Подписка

  • Цветной журнал с электронными приложениями;
  • Бумажные и электронные версии;
  • Скидки постоянным подписчикам.

Вы можете ознакомиться с номером журнала.

Оформить подписку

Делимость суммы и произведения

Разделы: Преподавание математики


Цели урока:

  • выработка навыка решения заданий на применение свойств делимости суммы и произведения;
  • включение каждого учащегося в осознанную учебную деятельность;
  • Развивать творческие способности, математическую культуру, умение выявлять закономерности, обобщать.

Оборудование: доска, таблица, учебная литература, компьютер, проектор, экран.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний

Математический диктант

1 вариант 2 вариант
1. Какие из высказываний верные:

а) если число а делится на 6, то оно делится на 12*;

б) если число а не делится на 6, то оно не делится на 12

1. Какие из высказываний верные:

а) если число а делится на 12, то оно делится на 6;

б) если число а не делится на 12, то оно не делится на 6

2. Пусть F – множество чисел, кратных 33. Принадлежит ли множеству F:

а) любое число, кратное 90

2. Пусть F – множество чисел, кратных 33. Принадлежит ли множеству F:

а) любое число, кратное 11

3. Найдите пересечения:

а) множества четных чисел и множества чисел, кратных 4

3. Найдите пересечения:

а) множества чисел, кратных 3, и множества чисел, кратных 7

3. Усвоение новых знаний

Учащиеся делятся на 4 группы. Каждая группа изучает одно из свойств, доказательство этого свойства.

Рассмотрим некоторые свойства делимости суммы и произведения.

1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Доказательство проведем для трех слагаемых. Если числа a, b, и c делятся на p, то a=pk, b=pm, c=pn, где k,m и n – целые числа. Тогда

a+b+c=pk+pm+pn=p(k+m+n),

и так как k +m+n – целое число, то a+b+c делится на p.

В случае произвольного числа слагаемых прием доказательства остается тем же. Очевидно, что обратное утверждение неверно.

2. Если два целых числа делятся на некоторое число, то их разность делится на это число.

Это свойство следует из предыдущего, так как разность a-b всегда можно представить в виде суммы a+(-b) .

3. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.

Пусть числа a и b делятся на p, а число c не делится на p. Докажем, что сумма a+b+c не делится p. Предположим противное: пусть a+b+c делится на p. Тогда в разности (a+b+c)-(a+b) уменьшаемое делится на p по предположению, а вычитаемое делится на p по свойству 1, и поэтому по свойству 2 разность делится на p. Однако эта разность равна c и на p по условию не делится. Мы пришли к противоречию. Следовательно, сделанное нами предположение неверно и сумма a+b+c делится на р, что и требовалось доказать.

Заметим, что так как разность a-b можно рассматривать как сумму a+(-b), то доказанные свойства суммы относятся к любой алгебраической сумме чисел.

4. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то произведение делится на это число.

Если а делится на с, то a=ck, где k –целое число. Тогда ab=(ck)b т.е ab=c(kb), причем kb – целое число, так как произведение целых чисел является целым числом. Значит ab делится на с.

При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением целых чисел. Например:

Одно из п последовательных целых чисел делится на п;

Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;

Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6;

Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.

Решение задач с применением свойств делимости суммы и произведения.

Пример 1

Докажите, что сумма 333555+ 555333 делится на 37.

Решение:

333555 + 555333= (3*111)555 +(5*111)333 = 111*(3555*111554 + 5333*111332). Так как 111 делится на 37, то данное выражение делится на 37.

Пример 2

Выясним, принадлежит ли графику уравнения 15х + 25 y= 114 хотя бы одна точка, координатами которой являются целые числа.

Решение:

Допустим, что график проходит через точку М (а; в), где а и в целые числа. Тогда верным является равенство 15