Цели игры:
- Формирование умения применять формулы для объемов тел при решении задач.
- Развитие логического мышления и математической эрудиции.
- Воспитание познавательного интереса у учащихся.
Правила игры:
1. В игре участвуют 2 команды по 7-8 человек.
2. Выбирается жюри.
3. Обе команды слушают зачитываемый учителем
вопрос. Отвечает первая команда, если ответа нет
– то вторая, если снова нет ответа –
зачитываются подсказки болельщиков.
Вопросы для разминки (по 5 вопросов поочередно)
1. Назовите автора «Начал».
2. Что означает слово «цилиндр»?
3. Что означает слово «конус»?
4. Развертка цилиндра.
5. Развертка конуса.
6. Что такое тетраэдр?
7. Что такое октаэдр?
8. Что такое гексаэдр?
9. Что такое додекаэдр?
10. Что такое икосаэдр?
Конкурс «Теоретический» (по 5 вопросов)
1. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда? (Первой команде)
2. .Чему равен объем прямой призмы? (Второй команде)
3. Чему равен объем цилиндра?
4. Чему равен объем пирамиды?
5. Чему равен объем конуса?
6. Чему равен объем шара?
7. С объемами различных предметов, или, как говорят в геометрии, с объемами тел, мы часто сталкиваемся в повседневной жизни. Мы говорим: ведро вмещает 10 литров воды. Это означает, что объем ведра – 10 литров. Другой пример: на строительство садового домика понадобилось 15 кубометров древесины, которая пошла на строительство. Как на практике найти объем того или иного тела? Как найти объем оловянного солдатика? (Его нужно опустить в мензурку с делениями).
8. Мы рассмотрели формулы для вычисления объемов некоторых многогранников и круглых тел. Как давно появились эти формулы и кто первым открыл их? (Еще до нашей эры формулы объемов параллелепипеда, призмы и цилиндра были известны. Позднее благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евдокса и Архимеда были открыты формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса, шара и др.тел).
9. В современных учебниках формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса и шара выводятся на основе интегральной формулы.Кто доказал формулы таким простым и изящным способым? (Этот способ появился благодаря трудам И.Ньютона и Г.Лейбница гораздо позже того, как были открыты сами формулы).
10. На предыдущем уроке мы с вами говорили о том, как стремительно развивается геометрия, а также о том, что евклидова геометрия не единственна, упоминали о геометрии Лобачевского. А есть ли геометрии, отличные и от геометрии Евклида, и от геометрии Лобачевского? (Да, такие геометрии есть! Одна из них – сферическая геометрия. О ее существовании говорили, когда знакомились со сферой).
Конкурс «Эрудит»
1. Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?
2. Во сколько, примерно, раз великан ростом в 2 м тяжелее карлика ростом в 1 м?
3. Продаются два арбуза разных размеров. Один на четвертую долю шире другого, а стоит он в полтора раза дороже. Какой из них выгоднее купить?
4. Продаются две дыни одного сорта. Одна окружностью 60, другая – 50 см. Первая в полтора раза дороже второй. Какую дыню выгоднее купить?
5. Мякоть вишни окружает косточку слоем такой же толщины, как и сама косточка. Будем считать, что и вишня и косточка имеют форму шариков. Можете ли вы сообразить в уме, во сколько раз объем сочной части вишни больше объема косточки?
6. Башня Эйфеля в Париже, 300 м высоты, сделана целиком из железа, которого пошло на нее около 8000000 кг. Я желаю заказать точную железную модель знаменитой башни, висящую всего 1 кг. Какой она будет высоты? Выше стакана или ниже?
7. Имеются две медные кастрюли одинаковой формы и со стенками одной толщины. Первая в 8 раз вместительнее второй. Во сколько раз она тяжелее?
8. На морозе стоят взрослый человек и ребенок, оба одетые одинаково. Кому из них холоднее?
9. Что тяжелее: стакан сахарного песку или такой же стакан колотого сахара?
10. Почему лучина загорается скорее, чем толстое полено, от которого она отколота?
Решения и ответы к конкурсу «Эрудит»
1. Ответ, что игрушечный кирпичик весит 1 кг (всего вчетверо меньше) ошибочен. Кирпичик ведь не только вчетверо короче настоящего, но и вчетверо ниже да еще вчетверо уже, поэтому объем и вес его меньше в 4 * 4 * 4 = 64 раза. Игрушечный кирпичик весит 4000 : 64 = 62,5 г.
2. Так как фигуры человеческого тела приблизительно подобны, то при вдвое больше росте человек имеет объем не вдвое, а в 8 раз больший. Значит, наш великан весит больше карлика раз в 8. Самый высокий великан, о котором сохранились сведения, был один житель Эльзаса ростом в 275 см – на целый метр выше человека среднего роста. Самый маленький карлик имел высоту меньше 40 см, т.е. был ниже исполина – эльзасца круглым счетом в 7 раз. Поэтому если бы на одну чашку весов поставить великана – эльзасца, то на другую надо бы для равновесия поместить 7 * 7 * 7 = 343 карлика, т.е. целую толпу.
3. Объем большого арбуза превышает объем меньшего в 1,25 * 1,25 * 1,25 = 125/64 раза, т.е. почти вдвое. Выгоднее значит купить крупный арбуз, он дороже только в полтора раза, а съедобного вещества в нем больше раза в два.
4. Длины окружностей относятся как диаметры. Если длина окружности одной дыни 60 см, другой 50 см, то отношение их диаметров 60 : 50 = 1,2 , а отношение их объемов 1,2 * 1,2 * 1,2 = 1,73. Большая дыня в 1,73 раза дороже меньшей, т.е. дороже на 73 %. Просят же за нее всего на 50 % больше. Ясно, что выгоднее ее купить.
5. Из условия задачи следует, что диаметр вишни в 3 раза больше диаметра косточки. Значит, объем вишни больше объема косточки в 3 * 3 * 3 = 27 раз; на долю косточки приходится 1/27 объема вишни, а на долю сочной части – остальные 26/27. Следовательно, сочная часть вишни больше косточки по объему в 26 раз.
6. Если модель легче натуры в 8000000 раз и обе сделаны из одного металла, то объем модели должен быть в 8000000 раз меньше объема натуры. Объемы подобных тел относятся, как кубы их высот. Следовательно, модель должна быть ниже натуры в 200 раз, потому что 200 * 200 * 200 = 8000000. Высота подлинной башни 300 м. Отсюда высота модели должна быть равна 300 : 200 = 1,5 м. Модель будет почти в рост человека.
7. Обе кастрюли – тела, геометрически подобные. Если большая кастрюля в 8 раз вместительнее, то все ее линейные размеры в два раза больше: она вдвое выше и вдвое шире. Поэтому ее поверхность больше в 2 * 2 = 4 раза (поверхности подобных тел относятся, как квадраты линейных размеров). При одинаковой толщине стенок вес кастрюли зависит от величины ее поверхности. Ответ: большая кастрюля вчетверо тяжелее меньшей.
8. Ребенок, стоящий на морозе, зябнет больше, чем одинаково одетый взрослый; количество тепла, возникающего в каждом куб.см тела, у обоих приблизительно одинаково, но остывающая поверхность тела, приходящаяся на каждый куб.см, у ребенка больше, чем у взрослого.
9. Куски колотого сахара рассматриваются как тела, геометрически подобные частицам сахарного песку и притом расположенные подобным же образом. Предположим, что куски колотого сахара в поперечнике больше частичек песка в 100 раз. Представим себе теперь, что все частицы песка увеличились в поперечнике в 100 раз вместе со стаканом, в который песок насыпан. Вместимость стакана увеличится в 100 * 100 * 100 = 1000000 раз; во столько же раз увеличится и вес содержащегося в нем сахара. Отсыплем мысленно один нормальный стакан этого укрупненного песку, т.е. миллионную часть содержимого стакана – гиганта. Отсыпанное количество будет весить столько, сколько весит обыкновенный стакан обыкновенного песку. Отсыпанный укрупненный песок не что иное, как колотый сахар. Значит, колотого сахара в стакане заключается по весу столько же, сколько и песку.
10. Если толщина полена в 10 раз больше толщины лучины, то боковая поверхность полена больше поверхности лучины тоже в 10 раз, объем же его больше объема лучины в 100 раз. Следовательно, на каждую единицу поверхности в лучине приходится вдесятеро меньший объем, чем в полене: одинаковое количество тепла нагревает в лучине вдесятеро меньше вещества, – отсюда и более раннее воспламенение лучины, чем полена, от одного и того же источника тепла.
Итог турнира
Команда победительница определяется по наибольшему количеству баллов.
Используемая литература:
1. Геометрия, 11 класс. Методическое пособие.
Автор: Д.Ф. Айвазян.
2. Занимательные задачи. Автор: Я.И. Перельман.